2014年10月04184自学考试线性代数试卷及答案.

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
04184线性代数（经管类）试卷
本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，
E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶行列式1
1
1
232221
13
1211
a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以2
1
-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2
1
-
C.21
D.2
3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量
B. B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4.设3阶矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特
征向量为 【 】
A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011
B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101
C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201
D.⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛211
5.二次型212
322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】
A.0
B.1
C.2
D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错误、不填均无分、 6.设1
3
12)(--=
x x f ，则方程0)(=x f 的根是
7.设矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0210A ,则*
A = 8.设A 为3阶矩阵，2
1
-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=43
21B ,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T
)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出
的表示式为
11.设向量组T
T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，
则数=k 12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+00
32
21x x x x 的基础解系中所含解向量的个数
为
13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2
A 15.设二次型212
22
1212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是
三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16.计算4阶行列式3
10013100
1310
013=
D 的值。

17.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=000
1001011223a a a
a a a A ，求1
-A 。

18.设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=110011111A ,且矩阵X 满足X A E AX +=+3,求X 。

19.设向量
T T T T k k k k )1,1,1,1(,)1,,1,1(,)1,1,2,1(,)1,1,1,1(2321+=++===βααα,
试确定当k 取何值时β能由321,,ααα线性表出，并写出表示式。

20.求线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=++=+++1
33212204321
4324321x x x x x x x x x x x 的通解（要求用其一个特解和导
出组的基础解系表示）。

21.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11131111x A 与对角矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=200020001B 相似，求数x 与可
逆矩阵P ，使得B AP P =-1。

22.用正交变换将二次型312
3222132122),,(x x x x x x x x f +++=化为标准
形，写出标准形和所作的正交变换。

四、证明题（本题7分）
23.设向量组321,,ααα线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。

证明：存在全不为零的常数321,,k k k 使得0332211=++αααk k k 。

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数（经管类）试题答案及评分参考
（课程代码04184）
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1.D
2.A
3.C
4.B
5.C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 6. 5 7. ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--0210 8. 4
1-
9. ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛22321 10. 2133ααα+-= 11. 1- 12. 1 13. 2
3-
14. E
15. 0＜t ＜1
三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分） 16.解
3
100131001310013=
D =3
10013100
0130
131- .....
.3分
5555
0003
1
001
3100
131=--
= ......9分 17.解
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛→⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛000110010010100001
10000001
1000000
10100001001001000112
32223a a a
a a a
a a a a a a ......2分
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---→00110000100100100001010
000001a a a ..........7分 从
而
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=-00101010
010001a a a A
......9分 18.解
由
X
A E AX +=+3,得
E A X E A -=-3)( ......2分
又由
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-010001110100010001110011111E A 可
逆 ......5分
由E A X E A -=-3
)(,可得))(()(2
E A A E A X E A ++-=- 两边左乘1
)(--E A ,得到
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=3311233221000100011100111111211022102E A A X ......9分
19
解
设
βααα=++332211x x x ， ....
..2分
该线性方程组的增广矩阵为
⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----++→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++=-222
2200010010
1111
111111*********k k k k k k k k k k A
......6分
由于β能有321,,ααα线性表出，则必有3)()(==-
A r A r 此时0=k ，方程组有唯一解0,1321===x x x 表
示
式
为
1αβ= ....
..9分
20.解 方程组的增广矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-
000001221011101133211221001111A ...
...2分 可知
2)()(==-
A r A r ＜＜4，方程组有无穷多
解 ......4分
由同解方程组⎩⎨⎧--=++-=432
4
312211x x x x x x
求出方程组的一个特解T
)0,0,1,1(*
-=η, 导
出
组
的
一
个
基
础
解
系
为
T T )1,0,2,1(,)0,1,2,1(21-=-=ξξ ......7分
从而方程组的通解为
T T T c c c c )1,0,2,1()0,1,2,1()0,0,1,1(212211*-+-+-=++ξξη
2
1,(c c 为
任
意
常
数） ......9分
21.解 由条件可知矩阵
A
的特征值为
2,1321===λλλ ......2分
由
010
1
12
11
10
=-=-----=-x x
A E ，
得
1=x ......4分
对于11=λ，由线性方程组0)(=-x A E 求得一个特征向量为 T
)1,1,1(1-=α
对于232==λλ，由线性方程组0)2(=-x A E 求得两个线性无关的特征向量为
T
T )1,1,0(,)1,0,1(32==αα
令
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-==111101011),,(321αααP ,则
B AP P =-1 ......9分
22.解
二
次
型
的
矩
阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=101020101A ......2分
由0)2(1
1
2
0101
2=-=-----=
-λλλλλλA E
故
A
的
特
征
值
为
0,2321===λλλ ......4分
对于221==λλ，求解齐次线性方程组0)(=-x A ，得到基础解系
T
)1,0,1(3-=α
将其单位化，得
T )2
1,
0,2
1(3-
=γ ......7分
令⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-==212
1
0001
21
210),,(321γγγP ,则P 为正交矩阵，
经正交变换⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x ，化二次型为标准形
2
22122y y + ......9分
四、证明题（本题7分）
23.证 由于向量组321,,ααα线性相关，故存在不全为零的常数321,,k k k ，使得
0332211=++αααk k k ......2分
其中必有01≠k 。

否则，如果01=k ，则上式化为03322=+ααk k 其中32,k k 不全为零，由此推出32,αα线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分 类似地，可证明
0,032≠≠k k ........7分。