人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线专题复习--拐点问题

课后思考
1、如图，AB∥CD,∠ABE=125°,∠DCE=35°, 则∠BEC 的度数为
.
2、如图，1 ∥2 ， ∠A=115°，∠B=95°，∠1 + ∠2 的度数为
.
3、已知：MN∥EF,C为两直线之间的一点，∠MAC与∠EBC的
平分线相交于点D.若∠ACB=110°,则∠ADB 的度数为
= (∠CAB-∠EAB)+(∠DBF-∠FBA)
=(∠CAB+∠DBF)- (∠EAB+∠FBA)
=(115° +95°)- 180°
=30°
C
1
E┈┈┈┈ A
l1
F┈┈┈┈┈2 B
l2
D
课后思考
3.已知：MN∥EF,C为两直线之间的一点，∠MAC与∠EBC的平
分线相交于点D.若∠ACB=110°,则∠ADB 的度数为： 55° .
）
∠BEF
∠DEF
∴∠两直线平行，内错角相等
B=
，∠D=
.
∠BEF + ∠DEF ）
（
等式的性质
∴∠B+
∠D=
.
（
） ∠BED
∵ ∠BEF + ∠DEF=
.
等量代换
∴∠B +∠D=∠BED.（
）
E
┈┈┈F
Z 型 A
B
C
D
∠D =∠B+∠BED
如图，过点E作EF∥AB
∵AB∥CD.
∴CD∥AB∥EF. (平行公理的推论）
又∵ ∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D.
1
1
∴ ∠MAD= ∠MAC ,∠EBD= ∠EBC (角平分线的定义)
2
∴
2
1
1
∠ADB=∠MAD+∠EBD = 2∠MAC +2∠EBC
1
1
1
= (∠MAC +∠EBC)= ∠ACB = x110°
2
2
2
= 55°.
A
N
C ┈┈┈G
B
F
解：如图，过A作AE ∥1 ,过B作BF∥2
∴∠CAE=∠1 ,∠DBF=∠2 (两直线平行，内错角相等
）
又∵ 1 ∥2 （已知）
∴AE∥BF (平行公理的推论）
∴∠EAB+ ∠FBA=180° (两直线平行，同旁内角互补）
又∵ ∠CAB=115°,∠DBA=95°（已知）
∴ ∠1 + ∠2 =∠CAE+ ∠DBF
A
A
A
D
B
l1
E
B
E
M
E
F
C
B
图1
D
l2
C
图2
C
D
图3
F
.
变式运用
∠PDB=α, ∠PCA=β, ∠CPD=γ
l1
A
l2
P
B
C
点动
M
D
α+β=γ
模型变
数量关系改变
l1
A
l2
方法不变
M
α+γ=β
M
β + γ=α
B P
C
D
P
l1
A
l2
B
C
D
过拐点作平行线
综合运用
已知：MN∥EF,C为两直线之间的一点，∠MAC与∠EBC的平分线
.
A
C
B
1
E
C
D
A
2
D
B
l1
D
l2
A
M
E
N
C
B
F
课后思考
1、如图，AB∥CD,∠ABE=125°,∠DCE=35°, 求∠BEC 的度数.
解：如图，过E 作EF∥AB,
B
A
∴∠ABE +∠BEF= 180°, (两直线平行，同旁内角互补） F┈┈┈┈┈
E
又∵ ∠ABE=125° （已知）
∴ ∠BEF=180° - ∠ABE= 180° - 125°=55°
相交于点D.试判断∠ACB 与∠ADB 的数量关系？并证明你的结论.
A
解： 2∠ADB+∠ACB =360° 理由如下：
M
N
1
证明：如图，分别过点C, D作CG∥MN， DH∥MN.
D ┈H
又∵ MN∥EF.
G┈┈ Cห้องสมุดไป่ตู้
∴ CG∥EF， DH∥EF .(平行公理的推论）
2
F
∴ ∠ADH=∠1，∠BDH=∠2(两直线平行，内错角相等）E
（两直线平行，内错角相等）
∵∠FED= ∠FEB+ ∠BED.
∴∠D= ∠B+ ∠BED.（等量代换）
巩固运用
⒈ 如图1，在ΔABC中，DE∥BC，∠DEF=25°，∠EFC=55°，
则∠FCB= 30° .
⒉ 如图2，1 ∥2 ，三角板如图放置，∠ABE=122°，则
∠DCE= 148°.
⒊ 如图3， BM∥CF，∠CAD=30°，∠C=50°，则∠ADF= 80°
B
∴ ∠MAC+∠ACG =180°, ∠EBC+∠BCG =180°
(两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠ADB=∠1+∠2 ，∠MAC+∠EBC + ∠ACB=360° （等式性质）
又∵ ∠MAC与∠EBC 的平分线相交于点D.（已知）
∴ ∠MAC= 2 ∠1，∠EBC= 2 ∠2. (角平分线的定义）
第五章：相交线与平行线专题复习
—拐点问题
探究发现
如图，AB∥CD时，∠B，∠D，∠BED 之间存在怎样的数量关系？
A
M 型
B
E
┈┈┈F
A
U 型
C
B
F┈┈┈┈┈ E
C
D
D
∠B +∠D = ∠BED ∠B +∠D +∠BED=360°
如图，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD.（已知）
∴CD∥AB∥EF .(平行公理的推论
解：如图，分别过点C,D作CG∥MN,DH∥MN,
∴ ∠MAC =∠ACG, ∠MAD=∠ADH (两直线平行，内错角相等
）
M
又∵MN ∥EF (已知）
∴CG∥EF, DH∥EF（平行公理的推理）
∴∠GCF =∠EFC, ∠EFD=∠HDF
D ┈┈H
又∵ ∠ACB=110°（已知）.
E
∴∠MAC +∠EBC =∠ACB =110° .
∴∠B+∠BEF=180°， D+∠CDE=180°.
（两直线平行，同旁内角互补）
∴（∠B+∠BEF）+（∠D+∠CDE）=360°.
（等式性质）
∵ ∠BEF +∠CDE=∠BED.
∴∠B +∠D +∠BED=360°.
如图，过点E作EF∥AB
∵AB∥CD.
∴CD∥AB∥EF. (平行公理的推论）
∴∠B=∠FEB，∠D=∠FED.
C
D
又∵AB∥CD (已知）
∴EF∥CD (平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴ ∠CEF=∠DCE (两直线平行，内错角相等）
又∵ ∠DCE =35°（已知）
∴ ∠CEF= 35° （等量代换）
∴ ∠BCE =∠CEF+∠BEF = 55° +35°=90°
课后思考
2、如图，1 ∥2 ，∠A=115°,∠B=95°, 求∠1 + ∠2 的度数.
∴ ∠MAC + ∠EBC= 2 ∠1 + 2 ∠2 （等式性质）
即 ∠MAC+∠EBC= 2(∠1 + ∠2)=2∠ADB.（等量代换）
∴2∠ADB+∠ACB =360°
归纳小结
AB∥CD, ∠B,∠D,∠BED.
A
B
E
C
┈┈┈F
D
M 型
E
B
A
F┈┈┈┈┈ E
C
D
U 型
A
C
┈┈┈F
B
D
Z 型
∠B +∠D = ∠BED ∠B +∠D +∠BED=360° ∠D =∠B+∠BED