数学苏教版七年级下册期末重点初中题目(比较难)及解析

数学苏教版七年级下册期末重点初中题目(比较难)及解析
一、选择题
1．下列计算中，正确的是（ ）．
A ．()33xy xy =
B ．2a a a +=
C ．()336y y =
D ．222b b b ⋅=
答案：D
解析：D
【分析】
根据单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方进行计算，积的乘方判断即可．
【详解】
A. ()3
33xy x y =，故该选项不正确，不符合题意；
B. 2a a a +=，故该选项不正确，不符合题意；
C. ()933y y =，故该选项不正确，不符合题意；
D. 222b b b ⋅=，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方进行计算，积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．
2．如图，1∠和2∠不是同位角的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C
解析：C
【分析】
根据同位角定义可得答案．
【详解】
解：A 、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；
B 、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；
C 、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；
D 、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；
故选C ．
【点睛】
本题考查同位角的概念．解题的关键是掌握同位角的概念，是需要熟记的内容．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．
3．由方程组3234x y m x y m -=+⎧⎨+=+⎩
消去m ，可得x 与y 的关系式是（ ） A ．2x ﹣5y ＝5 B ．2x +5y ＝﹣1 C ．﹣2x +5y ＝5 D ．4x ﹣y ＝13 答案：A
解析：A
【分析】
方程组消去m 即可得到x 与y 的关系式．
【详解】
解：3234x y m x y m -=+⎧⎨+=+⎩
①②， ①×3-②，得2x -5y =5，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．对于①3(13)x xy x y -=-，②2(3)(1)23x x x x +-=+-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A ．都是因式分解
B ．都是乘法运算
C ．①是因式分解，②是乘法运算
D ．①是乘法运算，②是因式分解 答案：C
解析：C
【分析】
根据因式分解的定义进行判断即可；
【详解】
①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
5．已知关于,x y 的二元一次方程组3426x y m x y +=-+⎧⎨-=⎩
的解满足3x y +<，则m 的取值范围是（ ）
A ．52m >-
B ．52m <-
C ．52m >
D ．5
2
m < 答案：A
解析：A
【分析】
先把方程组的两个方程组相减得到22x y m +=--，再根据＜3x y +得到22＜3m --，然后解出即可；
【详解】
把3426
x y m x y +=-+⎧⎨-=⎩两式相减得到22x y m +=--， ∵＜3x y +，
∴22＜3m --， ∴5＞2
m -； 故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了方程组与不等式的结合，准确计算是解题的关键．
6．下列命题中，真命题的个数为（ ）
（1）如果a b =，那么a b =；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）垂线段最短；
（4）若22a b >，则a b >．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案：B
解析：B
【分析】
利用平行线的性质、垂线段、绝对值及不等式的性质分别判断后，即可确定正确的选项．
【详解】
解：（1）如果|a |=|b |，那么a =b 或a =-b ，原命题是假命题；
（2）内错角相等，两直线平行，是真命题；
（3）垂线段最短，是真命题；
（4）若a 2＞b 2，则|a |＞|b |，原命题是假命题；
故选：B ．
【点睛】
此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂线段、绝对值及不等式的性质．
7．对一组数(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义变换法则如下：
()()1,,P x y x y x y =+-；且规定()()()11,,n n P
x y P P x y -=，n 为大于1的整数．如：()()11
,23,1P =-，()()()21111,21,2P P P P ==()3,1-()2,4=，()()()()()31211,21,22,46
2P P P P ===-，，则()20211,1P -=（ ） A ．()10100,2- B ．()101010102,2- C ．()10110,2 D ．()1011101122， 答案：C
解析：C
【分析】
根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得()20211
,1P -的值即可．
【详解】
解：P 1（1，-1）=（0，2），
P 2（1，-1）=P 1(P 1)=P 1(0，2)=（2，-2），
P 3（1，-1）=P 1（P 2）=P 1（2，-2）=（0，4）=（0,22），
P 4（1，-1）=P 1（P 3）=P 1（0，4）=（4，-4），
P 5（1，-1）=P 1（P 4）=P 1（4，-4）=（0，8）=（0,23），
P 6（1，-1）=P 1（P 5）=P 1（0，8）=（8，-8），
…
当n 为奇数时，Pn （1，-1）=（0，122n +），
∴()20211
,1P -=（0, 2021122+）=（0，21011）， ()20211,1P -应该等于()101102，
． 故选C ．
【点睛】 本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．
8．图1是二环三角形，S ＝∠A 1+∠A 2+…+∠A 6=360，图2是二环四边形，S ＝
∠A 1+∠A 2+…+∠A 8=720，图3是二环五边形，S ＝∠A 1+∠A 2+…+∠A 10=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S ＝_____________度（ ）
A ．1440
B ．1800
C ．2880
D ．3600
答案：C
解析：C
【分析】
本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
【详解】
解：依题意可知，二环三角形，S ＝360度；
二环四边形，S ＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S ＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．
二、填空题
9．计算：a•3a=______．
解析：3a2
【分析】
根据单项式乘以单项式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：原式=3a2，
故答案为：3a2．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则.
10．下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个钝角；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中真命题的序号是______ ．
解析：④⑤
【分析】
根据对顶角，平角，互补，平行公理，角平分线的定义对各小题分析判断后求解．
【详解】
解：①相等的角是对顶角，错误，因为对顶角既要考虑大小，还要考虑位置；
②互补的角就是平角，错误，因为互补的角既要考虑大小，还要考虑位置；
③互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角，错误，两个直角也可以；
④在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线平行，是平行公理，正确；
⑤邻补角的平分线互相垂直，正确．
所以只有④⑤命题正确，
故答案为：④⑤．
【点睛】
本题考查了命题与定理，解决本题的关键是熟记对顶角相等、互为补角的定义、平行线的平行公理．
11．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是________．
解析：十
【分析】
n-︒外角和为360︒，再根据题意列方程可得设这个多边形有n条边，则其内角和为()2180,
答案．
【详解】
n-︒外角和为360︒，
解：设这个多边形有n条边，则其内角和为()2180,
()21804360n ∴-︒=⨯︒
28,n ∴-=
10,n ∴=
故答案为：十．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握利用多边形的内角和与外角和定理列一元一次方程解决问题是解题的关键．
12．已知2,1x y =-=，则222x y xy ++=______．
解析：1
【分析】
将所求式子利用完全平方公式分解，将x ，y 值代入计算．
【详解】
解：∵2,1x y =-=，
∴()()22
222211x y xy x y ++=+=-+=， 故答案为：1．
【点睛】
本题考查了代数式求值，因式分解的应用，解题的关键是将所求式子合理变形．
13．已知关于x ，y 的方程组322(1)tx y x t y t +=⎧⎨+-=⎩
，当正整数t =_____时，方程组有整数解． 解析：4
【分析】
将t 看做未知数，求出x 与y ，再求出有整数解时，正整数t 的值．
【详解】
解：由方程组322(1)tx y x t y t +=⎧⎨+-=⎩
得t ≠2， 解方程组322(1)tx y x t y t +=⎧⎨+-=⎩
得： 13
x t =--，23t y t -=-， ∵方程组有整数解，
当t =4时，1x =-，2y =，
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是用t 表示出x 和y 的值，此题难度不大．
14．如图，在直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，点E 、F 分别是BD 、AB 上的动点，则AE ＋EF 的最小值为____________
答案：F 解析：245
【分析】
作点F 关于BD 的对称点G ，连接EG ，过点A 作AH BC ⊥交于点H ，由作图和结合已知条件分析得知：当A 、E 、G 三点共线时，即与AH 重合时，此时AE EF +的值最小，最小值为AH 的长，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8AC =，10BC =，由
AC AB AH BC ⋅=⋅，可求得AH 的值，即得到答案．
【详解】
如图所示，作点F 关于BD 的对称点G ，连接EG ，过点A 作AH BC ⊥交于点H ，
∵BD 平分ABC ∠
∴DBF DBG ∠=∠
由作图可得：EF EG =
∵AE EF AE EG +=+
∴由点到直线的垂线段最短可知：当A 、E 、G 三点共线时，即与AH 重合时，此时AE EF +的值最小，最小值为AH 的长，
在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8AC =，10BC =
∴AC AB AH BC ⋅=⋅
即6810AH
解得：245
AH = 则AE EF +的最小值为
245
故答案为：245
【点睛】 本题主要考查轴对称最短问题、垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，其中借助面积法进行计算要求能够熟练运用，属于中考常考题型．
15．三角形的三边分别为3,1,8a -，则a 的取值范围是___________．
答案：【分析】
根据三角形三边关系解答．
【详解】
由题意得：8-3<a-1<8+3，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和都大于第三边．
解析：612a <<
【分析】
根据三角形三边关系解答．
【详解】
由题意得：8-3<a-1<8+3，
解得：612a <<，
故答案为：612a <<．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和都大于第三边．
16．如图，把一把直尺放在含30度角的直角三角板上，量得154∠=︒，则2∠的度数是_______．
答案：【分析】
由已知可知，由平行可知，根据三角形外角的性质可知从而求得的答案．
【详解】
已知可知
直尺的两边平行
故答案为：114°
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，掌握三
解析：114︒
【分析】
由已知可知460∠=︒，由平行可知13∠=∠，根据三角形外角的性质可知234∠=∠+∠从而求得的答案．
【详解】
已知可知460∠=︒
直尺的两边平行
∴13∠=∠
∴234145460114∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒
故答案为：114°
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 17．计算：
（1）30211(2)()()33
---+； （2）2563()2x x x x -÷+⋅；
（3）23322(927)(3)x y x y xy -÷；
（4）2(2)(1)x x x +-+
答案：（1）0；（2）x9；（3）y-3x ；（4）3x+4
【解析】
【分析】
（1）先分别根据有理数的乘方、0指数幂及负整数指数幂的性质计算出各数，再按照从左到右的顺序进行计算；
（2）原式先利用幂的乘
解析：（1）0；（2）x 9；（3）y-3x ；（4）3x+4
【解析】
【分析】
（1）先分别根据有理数的乘方、0指数幂及负整数指数幂的性质计算出各数，再按照从左到右的顺序进行计算；
（2）原式先利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法法则计算，再利用多项式除以单项式运算法则计算，合并后即可得到结果；
（3）原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果；
（4）原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算即可得到结果
【详解】
解：（1）()023
11233-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = -8-1+9
=0；
（2）()5
2632x x x x -÷+⋅ =1092x x x -÷+
=992x x -+
=9x ；
（3）()()2
23329273x y x y xy -÷ =()2332229279x y x y x y -÷
=y-3x ；
（4）()()2
+21x x x -+
=2244x x x x ++--
=3x+4．
故答案为：（1）0；（2）x 9；（3）y-3x ；（4）3x+4．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，有理数的乘方，0指数幂及负整数指数幂，单项式乘以多项式以及多项式除以单项式的法则，熟练掌握公式及法则是解题的关键．
18．把下列各式分解因式：
（1）2x 2-32 （2）2x 2-2x+12 （3）()()2
1619m m -+-+； （4）2221xy x y -+-． 答案：（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）首先提出公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可； （2）首先提出公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）首先将原式变形为，然后
解析：（1）()()244x x -+；（2）2
122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()24m -；（4）()()11x y x y ----+ 【分析】
（1）首先提出公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）首先提出公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）首先将原式变形为()()21619m m ---+，然后进一步利用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）首先将原式变形为()
2221x xy y --+-，然后先后利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解即可.
【详解】
（1）2232x -
=()2216x -
=()()244x x -+；
（2）21222
x x -+ =2124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭ =2122x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭； （3）()()21619m m -+-+
=()()21619m m ---+
=()213m --⎡⎤⎣⎦
=()24m -；
（4）2221xy x y -+-
=()
2221x xy y --+-
=()21x y ⎦--⎡⎤-⎣ =()()11x y x y ----+.
【点睛】
本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.
19．解方程组：
（1）1367x y x y -=⎧⎨=-⎩
（2）2824
x y x y +=⎧⎨-=-⎩． 答案：（1）；（2）
【分析】
（1）方程组利用代入加减求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】
解：（1），
把②代入①得：6y-7-y=13，
解得：y=4，
将y=4代入②得：x
解析：（1）174x y =⎧⎨=⎩；（2）23x y =⎧⎨=⎩
【分析】
（1）方程组利用代入加减求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】
解：（1）1367x y x y -=⎧⎨=-⎩①②
， 把②代入①得：6y -7-y =13，
解得：y =4，
将y =4代入②得：x =17，
则方程组的解为174x y =⎧⎨=⎩
； （2）2824x y x y +=⎧⎨-=-⎩
①②， ①+②得：2x =4，
解得：x =2，
把x =2代入①得：2+2y =8，
解得：y =3，
∴方程组的解为：23
x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是消元，消元的方法有两种：①加减消元法，②代入消元法．
20．解不等式组：3(1)17212
x x x x +>-⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，把它的解集在数轴上表示出来并写出它的负整数解． 答案：﹣2＜x≤3，图见解析，负整数解为-1．
【分析】
先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，即可求解．
【详解】
解：，
由①得：x ＞﹣2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤
解析：﹣2＜x≤3，图见解析，负整数解为-1．
【分析】
先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，即可求解．【详解】
解：
3(1)1
7
21
2
x x
x
x
+>-
⎧
⎪
⎨+
≥-
⎪⎩
①
②
，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
把解集在数轴上表示：
∴不等式组的负整数解为﹣1．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．三、解答题
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CEF=∠CFE．
答案：见解析
【分析】
利用三角形高的定义，易证∠ADC=90°，再根据同角的余角相等，可证得
∠ACD=∠B，利用角平分线的定义可知∠CAE=∠BAE，然后利用三角形外角的性质，可证得结论
【详解】
证明
解析：见解析
【分析】
利用三角形高的定义，易证∠ADC=90°，再根据同角的余角相等，可证得∠ACD=∠B ，利用角平分线的定义可知∠CAE=∠BAE ，然后利用三角形外角的性质，可证得结论
【详解】
证明：∵∠ACB=90°，CD 是高，
∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B
∵AE 是角平分线，∴∠CAE=∠BAE ，∠CFE=∠CAE+∠ACD ．
∴∠CEF=∠BAE+∠B ，即∠ CFE=∠CEF ．
【点睛】
本题考查角度的证明，在证明角度问题中，常用的方法有2种：角度转化法和方程思想法，本题即利用角度转化来求解.
22．某超市投入31500元购进A 、B 两种饮料共800箱，饮料的成本与销售价如下表：（单位：元/箱）
（1）该超市购进A 、B 两种饮料各多少箱？
（2）全部售完800箱饮料共盈利多少元？
（3）若超市计划盈利16200元，且A 类饮料售价不变，则B 类饮料销售价至少应定为每箱多少元？
答案：（1）购进A 型饮料450箱，购进B 型饮料350箱；（2）全部售完800箱饮料共盈利15500元；（3）B 类饮料销售价至少定为每箱54元
【分析】
（1）设购进A 型饮料x 箱，购进B 型饮料y 箱，根据题意
解析：（1）购进A 型饮料450箱，购进B 型饮料350箱；（2）全部售完800箱饮料共盈利15500元；（3）B 类饮料销售价至少定为每箱54元
【分析】
（1）设购进A 型饮料x 箱，购进B 型饮料y 箱，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据利润的公式解答即可；
（3）设B 类饮料销售价定为每箱a 元，根据题意列出不等式解答即可．
【详解】
解：（1）设购进A 型饮料x 箱，购进B 型饮料y 箱，根据题意得
800423631500
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得450350x y =⎧⎨=⎩
答：购进A 型饮料450箱，购进B 型饮料350箱．
（2）（64﹣42）×450+（52﹣36）×350＝15500（元）
答：全部售完800箱饮料共盈利15500元；
（3）设B 类饮料销售价定为每箱a 元，根据题意得
（64﹣42）×450+（a ﹣36）×350≥16200
解得a≥54
答：B 类饮料销售价至少定为每箱54元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）．
23．已知关于x 、y 的二元一次方程组23221x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩
（k 为常数）． （1）求这个二元一次方程组的解（用含k 的代数式表示）；
（2）若方程组的解x 、y 满足+x y ＞5，求k 的取值范围；
（3）若1k ≤，设23m x y =-，且m 为正整数，求m 的值．
答案：（1）；（2）k ＜﹣；（3）m 的值为1或2．
【分析】
（1）把k 当成一个已知得常数，解出二元一次方程组即可；
（2）将（1）中得的值代入 ，即可求出的取值范围；
（3）将（1）中得的值代入得m=
解析：（1）214342k x k
y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
；（2）k ＜﹣52；（3）m 的值为1或2． 【分析】
（1）把k 当成一个已知得常数，解出二元一次方程组即可；
（2）将（1）中得,x y 的值代入+x y ＞5 ，即可求出k 的取值范围；
（3）将（1）中得,x y 的值代入23m x y =-得m=7k ﹣5．由于m ＞0，得出7k ﹣5＞0，及
1k ≤得出解集517
＜k ≤ 进而得出m 的值为1或2 【详解】
（1）2x 322x+y=1-k? y k -=-⎧⎨⎩
①② ②+①，得4x ＝2k ﹣1， 即214
k x -= ； ②﹣①，得2y ＝﹣4k +3 即342
k y -=
所以原方程组的解为214342k x k y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
（2）方程组的解x 、y 满足x +y ＞5，
所以2134542
k k --+> ， 整理得﹣6k ＞15，
所以52
k ＜﹣ ； （3）m ＝2x ﹣3y ＝21342342
k k --⨯
-⨯ ＝7k ﹣5
由于m 为正整数，所以m ＞0
即7k ﹣5＞0，k ＞57
所以57
＜k ≤1 当k ＝67时，m ＝7k ﹣5＝1； 当k ＝1时，m ＝7k ﹣5＝2．
答：m 的值为1或2．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键. 24．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，20B ∠=︒，60C ∠=°．
（1）求CAD ∠、AEC ∠和EAD ∠的度数．
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当30B ∠=︒，60C ∠=°，则EAD ∠=__________︒．
当50B ∠=︒，C 60∠=︒时，则EAD ∠=__________︒．
当60B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．
当70B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．
（3）若B 和C ∠的度数改为用字母α和β来表示，你能找到EAD ∠与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
答案：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，．
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；
解析：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当αβ<时，
1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2
EAD αβ∠=-． 【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，进而可求AEC ∠和EAD ∠的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，则前三问利用EAD EAC DAC ∠=∠-∠即可得出答案，第4问利用EAD DAC EAC ∠=∠-∠即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．
【详解】
（1）∵20B ∠=︒，60C ∠=°，
∴180100BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1502
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ADE ∴∠=∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
20EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ，
9070AEC EAD ∴∠=︒-∠=︒ ．
（2）当30B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵30B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18090BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1452
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当50B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵50B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1352
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
5EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当60B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵60B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1302
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
0EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当70B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵70B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18050BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1252
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
5EAD DAC EAC ∴∠=∠-∠=︒ ．
（3）当B C ∠<∠ 时，即αβ<时，
∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1111(180)902222
EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1()2
EAD EAC CAD βα∴∠=∠-∠=- ； 当B C ∠>∠ 时，即αβ>时，
∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1111(180)902222
EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ， 1()2
EAD DAC EAC αβ∴∠=∠-∠=- ； 综上所述，当αβ<时，1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2
EAD αβ∠=-． 【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
25．如图1，将一副三角板ABC 与三角板ADE 摆放在一起；如图2，固定三角板ABC ，
将三角板ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角CAE α∠＝（0180α︒︒＜＜
）．
（1）当α=________度时，AD BC ⊥；当α=________度时//AD BC ；
（2）当ADE 的一边与ABC 的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；
（3）当045α︒<<︒，连接BD ，利用图4探究BDE CAE DBC ∠+∠+∠的度数是否发生变化，并给出你的证明．
答案：（1）105，15；（2）旋转角的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；（3），保持不变；见解析
【分析】
（1）三角板ADE 顺时针旋转后的三角板为，当时，，则可求得旋转角 解析：（1）105，15；（2）旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；（3） 105BDE CAE DBC ∠+∠+∠=︒，保持不变；见解析
【分析】
（1）三角板ADE 顺时针旋转后的三角板为AD E ''，当AD BC '⊥时，
D AD D A
E EAD ''∠=∠+∠，则可求得旋转角度；当AD '∥BC 时，
D AD DA
E ACB '∠=∠-∠，则可求得旋转角度；
（2）分五种情况考虑：AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE ∥BC ，DE ∥AC ，AE ∥BC ，即可分别求出旋转角；
（3）设BD 分别交AC 、AE 于点M 、N ，利用三角形的内外角的相等关系分别得出：ANM E BDE ∠=∠+∠及AMN C DBC ∠=∠+∠，由AMN 的内角和为180°，即可得出结论．
【详解】
（1）三角板ADE 顺时针旋转后的三角板为AD E ''，当AD BC '⊥时，如图，
∵9060D AE ACB '∠=︒-∠=︒，∠EAD =45°
∴6045105D AD D AE EAD ''∠=∠+∠=︒+︒=︒
即旋转角105α=︒
当//AD BC '时，如图，则30D AE ACB '∠=∠=︒
∴D AD DAE ACB '∠=∠-∠=45°-30°=15°
即旋转角15α=°
故答案为：105，15
（2）当ADE 的一边与ABC 的某一边平行（不共线）时，有五种情况
当AD ∥BC 时，由（1）知旋转角为15°；
如图（1），当DE ∥AB 时，旋转角为45°；
当DE ∥BC 时，由AD ⊥DE ，则有AD ⊥BC ，此时由（1）知，旋转角为105°；
如图（2），当DE ∥AC 时，则旋转角为135°；
如图（3），当AE ∥BC 时，则旋转角为150°；
所以旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°
（3）当045α︒<<︒，105BDE CAE DBC ∠+∠+∠=︒，保持不变；
理由如下：
设BD 分别交AC 、AE 于点M 、N ，如图
在AMN 中，180AMN CAE ANM ∠+∠+∠=
ANM E BDE ∠=∠+∠，AMN C DBC ∠=∠+∠
180E BDE CAE C DBC ∴∠+∠+∠+∠+∠=︒
30C ∠=︒，45E ∠=︒
105BDE CAE DBC ∴∠+∠+∠=︒
【点睛】
本题考查了图形旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角与不相邻的两个内角的相等关系等知识，注意旋转的三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度．。