义乌市中考数学 二元一次方程组易错压轴解答题

义乌市中考数学二元一次方程组易错压轴解答题
一、二元一次方程组易错压轴解答题
1．阅读下列材料，然后解答后面的问题.
我们知道方程2x+3y＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解.
例：由2x+3y＝12得y＝＝4﹣ x（x，y为正整数）.
∴则有0＜x＜6，
又∵y＝4﹣ x为正整数，
∴ x为正整数.
由2与3互质，可知x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4﹣ x＝2.
∴2x+3y＝12的正整数解为 .
问题：
（1）请你写出方程3x+y＝7的一组正整数解：________.
（2）若为自然数，则满足条件的x值有 .
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
（3）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品至少购买1件），其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去180元，问有几种购买方案.
2．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨某公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b 辆，一次运完，且每辆车恰好装满货物．根据以上信息解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该公司设计共有几种租车方案？
3．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“ 演化点”.例如，点的“ 演化点”为
，即 .
（1）已知点的“ 演化点”是，则的坐标为________；
（2）已知点，且点的“ 演化点”是，则的面积为
________；
（3）己知，，，，且点的“ 演化点”为，当时， ________．
4．已知关于x，y的方程满足方程组．
（1）若x﹣y=2，求m的值；
（2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子|m﹣3|+|m﹣4|；
（3）在（2）的条件下求s=2x﹣3y+m的最小值及最大值．
5．青山化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km和公路10km运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km和公路20km销售到B地．已知铁路的运价为1.2元/（吨·千米），公路的运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出铁路运费124800元，公路运费19500元．
（1）设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表
原料x吨产品y吨合计（元）
铁路运费124800
公路运费19500
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
6．为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗
手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．
7．有大小两种货车，3辆大货车与2辆小货车一次可以运货21吨，2辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨．
（1）每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少吨？
（2）现有这两种货车共10辆，要求一次运货不低于35吨，则其中大货车至少多少辆？（用不等式解答）
（3）日前有23吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满．已知每辆大货车一次运货租金为300元，每辆小货车一次运货租金为200元，请列出所有的运输方案井求出最少租金．
8．已知关于x，y的二元一次方程组（a为实数）．
（1）若方程组的解始终满足y=a+1，求a的值．
（2）己知方程组的解也是方程bx+3y=1(b为实数，b≠0且b≠-6)的解．
①探究实数a，b满足的关系式．
②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值．
9．某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车。

（1）每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车?
（2）如果工厂招聘n名新工人(0<n<10)．使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份(30天)的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?
（3）该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行使路程为12千公里；如安装在后轮，安全行使路程为8千公里．请问一对轮胎能行使的最长路程是多少千公里?
10．如图，长青农产品加工厂与A，B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运到 B 地，其中原料甲和产品乙的重量都是正整数. 已知铁路运价为 2 元/（吨·千米），公路运价为 8 元/（吨·千米）.
（1）若由A 到B 的两次运输中，原料甲比产品乙多9 吨，工厂计划支出铁路运费超过5700 元，公路运费不超过 9680 元.问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？
（2）由于国家出台惠农政策，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的财政补贴，综合惠农政策后公路运输价格下降 m（ 0 < m < 4 且 m 为整数）元，若由 A 到 B 的两次运输中，铁路运费为 5760 元，公路运费为 5100 元，求 m 的值.
11．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.
（1）小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系：________；
（2）小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?
（3）小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有
可能的取值.
12．一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米（x，y为正整数），如果将长方形的长和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为，将长方形的长和宽各减少2厘米得到新的长方形，面积记为．
（1）请说明：与的差一定是7的倍数．
（2）如果比大196 ，求原长方形的周长．
（3）如果一个面积为的长方形和原长方形能够没有缝隙没有重叠的拼成一个新的长方形，请找出x与y的关系，并说明理由．
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一、二元一次方程组易错压轴解答题
1．（1）{x=1y=4
（2）B
（3）解：设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件，
依题意得：20x+30y＝180，
2x+3y＝18，
y＝6﹣ 23 x，
∵x，y是正整数，
当x＝
解析：（1）
（2）B
（3）解：设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件，
依题意得：20x+30y＝180，
2x+3y＝18，
y＝6﹣ x，
∵x，y是正整数，
当x＝3时，y＝4.
当x＝6时，y＝2.
故有两种购买方案：①购买甲种体育用品3件，购买乙种体育用品4件;②购买甲种体育用品6件，购买乙种体育用品2件.
【解析】【解答】解：（1）由3x+y＝7，得y＝7﹣3x（x、y为正整数）.
则当x＝1时，y＝4;
当x＝2时，y＝1.
故方程的正整数解是或（只要写出其中的一组即可）.
（ 2 ）同样，若为自然数，
则有：0＜x﹣2≤9，即2＜x≤11.
当x＝3时，＝9;
当x＝5时，＝3;
当x＝11时，＝1.
即满足条件x的值有3个，
故答案为：B.
【分析】（1）求方程3x+y＝7的正整数解，可给定x一个正整数值，计算y的值，如果y 的值也是正整数，那么就是原方程的一组正整数解;
（2）参照例题的解题思路进行解答;
（3）设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件，根据“甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去180元”列出方程，并解答.
2．（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y 吨
根据题意，得： {2x+y=10x+2y=11 ，
解方程组得： {x=3y=4 ，
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一
解析：（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨
根据题意，得：，
解方程组得：，
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨.
（2）解：根据题意，得：
∴，
∵a，b都是正整数
∴，，
∴共有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车9辆，B型车1辆；
方案三：A型车9辆，B型车1辆；
【解析】【分析】（1）此题关键的已知条件：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨，这就是两个等量关系，设未知数，列方程组求出方程组的解即可。

（2）此题等量关系为：租用A型车的数量×1辆A型车一次运货的数量+租用B型车的数量×1辆B型车一次运货的数量=31，列出关于a，b的二元一次方程，求出此二元一次方程的整数解，即可得到租车的方案。

3．（1）（2，14）
（2）20
（3）
【解析】【解答】解：（1）由题意可知：点的“ 演化点”是，即，
故答案为：（2，14）（2）设Q点坐标为（x，y），由题意可知： {2
解析：（1）（2，14）
（2）20
（3）
【解析】【解答】解：（1）由题意可知：点的“ 演化点”是
，即，
故答案为：（2，14）（2）设Q点坐标为（x，y），由题意可知：，解得：
∴Q点坐标为（0，4）
∴
故答案为：20；（3）由题意可知：AD=3，OC=5
的坐标为，即点的坐标为
当点位于y轴正半轴时，，
∴或（此情况不合题意，舍去）
又∵
∴，解得：（舍去）
当点位于y轴正半轴时，，
∴
又∵
∴，解得：，即
故答案为：．
【分析】（1）根据题意a=3，x=-1，y=5时，求点的坐标；（2）根据题意列方程组求点Q的坐标，然后结合坐标系中点的位置，利用割补法求三角形面积；（3）根据题意求出，然后分点在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论，利用三角形面积列方程求解．4．（1）解：，
①﹣②×2得：﹣x=﹣m+3，即x=m﹣3，
把x=m﹣3代入②得：2m﹣6+y=m﹣1，即y=﹣m+5，
把x=m﹣3，y=﹣m+5代入x﹣y=2中，得：m﹣3+m﹣5=
解析：（1）解：，
①﹣②×2得：﹣x=﹣m+3，即x=m﹣3，
把x=m﹣3代入②得：2m﹣6+y=m﹣1，即y=﹣m+5，
把x=m﹣3，y=﹣m+5代入x﹣y=2中，得：m﹣3+m﹣5=2，即m=5；
（2）解：由题意得：，
解得：3≤m≤5，
当3≤m≤4时，
m﹣3≥0，m﹣4≤0，
则原式=m﹣3+4﹣m=1；
当4<m≤5
m﹣3≥0，m﹣4≥0，
则原式=m﹣3+m﹣4=2m﹣7；
（3）解：根据题意得：s=2m﹣6+3m﹣15+m=6m﹣21，
∵3≤m≤5，
∴当m=3时，s=﹣3；m=5时，s=9，
则s的最小值为﹣3，最大值为9．
【解析】【分析】（1）把m看做已知数表示出方程组的解，得到x与y，代入x-y=2求出m的值即可；（2）根据x，y为非负数求出m的范围，判断出绝对值里边式子的正负，利
用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（3）把表示出的x与y代入s，利用一次函数性质求出最大值与最小值即可．
5．（1）解：设该工厂从A地购买了 x 吨原料，制成运往B地的产品 y 吨，
依题意，得：，
解得： {x=500y=400 ．填表如下：
原料x吨产品y吨合计（元）铁路运
解析：（1）解：设该工厂从A地购买了吨原料，制成运往B地的产品吨，
依题意，得：，
解得：．填表如下：
原料x吨产品y吨合计（元）
铁路运费72000 52800 124800
公路运费7500 12000 19500
（2）解：8000×400-（1000×500+19500+124800）=2555700（元）．
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多2555700元
【解析】【分析】（1）设该工厂从A地购买了吨原料，制成运往B地的产品吨，由这两次运输共支出公路运输费19500元、铁路运输费124800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由总价=单价×数量结合多的费用=销售总额-（原料费+运输费），即可求出结论．
6．（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得
{800x+120y=56001200x+80y=5400
首先将方程化简为
①×3-②×2得：5y=150
解
解析：（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得
首先将方程化简为
①×3-②×2得：5y=150
解得：y=30
y=30将代入①得：20x+90=140
解得：x=2.5
（2）解：解：设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则医用口罩(1200-a)个，根据题意得
6a+2.5（1200-a）+30b=5400
化简，得 7a+60b=4800
∵a，b都为正整数
∴a为60的倍数，且a≤200
∴∴有三种购买方案.
【解析】【分析】（1）本题的数量关系为：医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元，即可得方程800x+120y=5600；医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完，即可得方程1200x+80y=5400.
（2）解本题注意两个条件：一是N95口罩不超过200个，二是：口罩和洗手液的个数为正整数。

7．（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，
根据题意，得： {3x+2y=212x+4y=22 ，
解得： {x=5y=3 ，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货
解析：（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，
根据题意，得：，
解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货5吨、3吨。

（2）解：设安排m辆大货车，则小货车需要（10-m）辆，
根据题意，得：5m+3（10-m）≥35，
解得：m≥2.5，
所以至少需要安排3辆大货车
（3）解：设租大货车a辆，小货车b辆，由题意得
5a+3b=23，
∵a，b为非负整数，
∴或，
∴共有2中运输方案，方案1：租用4辆大货车，1辆小货车；方案2：租用1辆大货车，6辆小货车.
方案1的租金：300×4+200=1400元，
方案2的租金：300+200×6=1500元，
∵1400<1500，
∴最少租金为1400元。

【解析】【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据3辆大货车吨数+2辆小货车吨数=21，2辆大货车吨数+4辆小货车吨数=22，列出方程组，求出x、y的值即可.
（2）设安排m辆大货车，则小货车需要（10-m）辆，根据一次运货不低于35吨，列出不等式，求出解集即可.
（3）设租大货车a辆，小货车b辆，可得5a+3b=23，求出其非负整数解，即得运输方案，然后分别求出其租金比较即可.
8．（1）解：将方程组②-①，得3y=6a-3
∴y=2a-1
∵y=a+1
∴2a-1=a+1
∴a=2
（2）解：①将y=2a-1代入方程①，可得x=a+2
∴方程组的解为 {x=a+2y=
解析：（1）解：将方程组②-①，得3y=6a-3
∴y=2a-1
∵y=a+1
∴2a-1=a+1
∴a=2
（2）解：①将y=2a-1代入方程①，可得x=a+2
∴方程组的解为
∵方程组的解也是方程bx+3y=1的解
∴b(a+2)+3(2a-1)=1
∴ab+6a+2b=4
②由ab+6a+2b=4可得b=
∴b=
∵a，b都是整数
∴a+2=±1，±2，±4，±8，±16
∴当a+2=1时，b有最大值10；
当a+2=-1时，b有最小值-22
【解析】【分析】（1）把a看成已知数，解关于x、y的方程组，解得y用a来表示，再将已知式 y=a+1 代入解得a的值即可。

（2）① 将y=2a-1代入方程①，使x也用a来表示，将x、y的值代入bx+3y=1中，则
a、b的关系式可求。

② 要求b的最大值和最小值，将a、b的关系式变形，使b用a来表示，因为a、b都是整数，根据整数的特点，把b的关系式变形，使分子不含有字母，以便取整数。

列出所有符合条件的a+2值，找出b的最大值和最小值即可。

9．（1）解：设每名熟练工每日安装x辆自行车，每名新工人每日安装y辆自行车
由题意得 {x+2y=82x+3y=14 解得 {x=4y=2
答：每名熟练工每日安装4辆自行车，每名新工人每日安
解析：（1）解：设每名熟练工每日安装x辆自行车，每名新工人每日安装y辆自行车
由题意得解得
答：每名熟练工每日安装4辆自行车，每名新工人每日安装2辆自行车。

（2）解：设熟练工有m名，则（2n+4m）×30=600，∴n+2m=10，n=10-2m
∴n=2或4或6或8。

（3）解：假设一个轮胎用作前轮实验使用a千公里，用作后轮使用b千公里，则
则a+b=9.6
答：一对轮胎能行驶的最长路程是9.6千公里。

【解析】【分析】（1）设每名熟练工每日安装x辆自行车，每名新工人每日安装y辆自行车，根据“安装辆数=熟练工人数×熟练工人的日工作效率+新工人数×新工人的日工作效率”，在两种情况下分别列方程，组成方程组求解即可；
（2）设熟练工有m名，根据"（熟练工人数×熟练工人的日工作效率+新工人数×新工人的日工作效率）×30=600”，列一个二元一次方程，整理化简，把n用含m的代数式表示，m 从1开始，从小到大取正整数，求出的n能够保证0<n<10，得出n有几个值，就有几个方案；
（3）如果两个轮胎一块报废，在没有第三只轮胎的情况下，行驶的距离最长；一个轮胎用作前轮实验使用a千公里，用作后轮使用b千公里，因为一个轮胎在前轮的时间和另一个轮胎在后轮的时间是一样的，同样这个轮胎在后轮的时间和另一个轮胎在前轮的时间是一样的，据此在两种情况下列方程，组成方程组求出a、b值，则可得出a+b的值。

10．（1）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，
，
解得，11.8＜x≤14 57
∵x为整数，
∴x=12，13，14，
∴x+9为21，22，23，
∴购买原料甲有三种方案，分
解析：（1）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，
，
解得，11.8＜x≤14
∵x为整数，
∴x=12，13，14，
∴x+9为21，22，23，
∴购买原料甲有三种方案，分别是21吨、22吨、23吨；
（2）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，
，
解得，，
答：m的值是3.
【解析】【分析】（1）根据工厂计划支出铁路运费超过5700 元，公路运费不超过9680 元列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决；
（2）根据由 A 到 B 的两次运输中，铁路运费为 5760 元，公路运费为 5100 元得到相应的方程组，从而可以求得m的值.
11．（1）3p+1=m
（2）解：设六边形有 x 个，正方形有y个，
则 {5x+1+3y+1=110x+4=y ，
解得 {x=12y=16 ，
所以正方形有16个，六边形有12个；
（3）
解析：（1）3p+1=m
（2）解：设六边形有个，正方形有y个，
则，
解得，
所以正方形有16个，六边形有12个；
（3）解：据题意，，
据题意，，且均为整数，
因此可能的取值为：
，，或 .
【解析】【解答】解：(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，
摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，
摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，
……，
摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，
故答案为：；
【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；(2)设连续摆放了六边形x个，正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；
(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.
12．（1）解： S1=(x+5)(y+5)=xy+5(x+y)+25 ，
，
∴
=7(x+y)+21
=7(x+y+3)
∴ S1 与 S2 的差一定是7的倍数
（2）解：由题意得
解析：（1）解：，
，
∴
∴与的差一定是7的倍数
（2）解：由题意得，即
∴，
∴，
∴原长方形的周长为50cm．
（3）解：由题意知两个长方形必须有一条边相等，则只能面积为的长方形的宽和原长方形的长相等，即y＋5＝x，即x－y＝5
【解析】【分析】（1）根据长方形面积公式结合题意分别表示S1， S2的代数式，再求出S1-S2的代数式为7（x+y+3），由此即可得证.
（2）由（1）中S1，S2的代数式，根据题意列出方程7（x+y+3）=196，解之即可得出
x+y=25，由长方形周长公式即可求得答案.
（3）根据题意可得面积为的长方形的宽和原长方形的长相等，即 y＋5＝x.。