黑龙江省大庆实验中学2020学年高二数学上学期开学考试试题 文(1)

黑龙江省大庆实验中学2020学年高二数学上学期开学考试试题 文
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一．选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 直线12+=x y 的横截距是（ ）
A ．1
B ．2
C ．
2
1
D ．2
1-
2. 设10<<<b a ,则下列不等式成立的是（ ）
A ．33b a >
B ．
b
a 1
1< C ．1>b a D ．0)lg(<-a b
3. 若135)4
sin(
=
-x π
,则=+)4
cos(x π
（ ） A ．
135
B ．13
5-
C ．
13
12
D ．13
12-
4. 要得到函数)3
4sin(π
-
=x y 的图象,只需将函数x y 4sin =的图象（ ）
A.向左平移
12
π
个单位
B ．向右平移
12
π
个单位
C ．向左平移3
π
个单位 D ．向右平移
3
π
个单位 5. 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则该圆锥的表面积为（ ）
A ．
(
)
π13+
B ．π4
C ．π3
D ．π5
6. 直线)1(1:-=-x k y l 和圆022
2
=-+y y x 的位置关系是( )
A ．相离
B ．不确定
C ．相交
D ．相切
7. 设n m ,为两条不同的直线,βα,为两个不重合平面,则下列结论正确的是（ ）[来
A.若βαβα//,,m m n ⊂=I
,则n m //
B.若m n m ⊥=⊥,,βαβαI ,则β⊥n
C.若βα⊂⊂⊥n m n m ,,,则βα⊥
D.若αα⊂n m ，//,则n m //
8. 如下图,在正方体1111ABCD A B C D -中,11AA =,,E F 分别是
,BC DC 中点,则异面直线1AD 与EF 所成角大小为（ ）
A ．60o
B ．45o
C ．30o
D ．90o
9. 在正方体1111D C B A ABCD -中,与直线1AD 垂直的平面是（ ）
A ．平面C C DD 11
B ．平面11DCB A
C ．平面1111
D C B A
D ．平面DB A 1
10. 在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若A b C
A a sin 2
sin
=+,则角B=（ ） A ．
6
56
ππ
或
B ．
323
ππ
或
C ．6π
D ．3
π 11. 若直线)0,0(022>>=--n m ny mx 过点)2,1(-,则
n
m 2
1+的最小值等于（ ） A ．2 B ．6 C ．12 D ．223+ 12. 数列{}n a 满足n n a a -=
+11
1,28
=a ,则=1a （ ） A ．1-
B ．
2
1
C ．2
D ．3 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知向量)6,8(),2,2(-==b a ,则>=<b a ,cos _________.
14. 已知直线01:1=--ay x l 与02:2
2=++y x a l 垂直,则实数=a _________.
15. 如图所示,已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形,且
32====PD PC PB PA ,6=AB ,则四棱锥ABCD P -外接球
的体积为_________.
16. 在锐角ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知3
π
=
B 且1=c ,则AB
C ∆面积的
取值范围为_________.
三．解答题：本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明．．．．,．证明过程或演算步骤．．．．．．．．．. 17．（本小题满分10分）
函数)0(3)cos sin 3(sin 2)(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． （I ）求ω的值； （II ）当⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-∈6,6ππx 时,求)(x f 的值域．
18．（本小题满分12分）
已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123=S ,且1,,2321+a a a 成等比数列． （I ）求{}n a 的通项公式及n S ； （II ）记n
S b n
n =,求数列{}n b 的前n 项和n T .
19．（本小题满分12分）
如图,在ABC ∆中,3
π
=B ,8=AB ,点D 在BC 边上,且2CD =,7
1cos =
∠ADC . （I ）求BAD ∠sin ； （II ）求AC BD ,的长.
20．（本小题满分12分）
如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,点N M ,分别为线段C B B A 11,的中点． （I ）求证：//MN 平面C C AA 11；
（II ）若090=∠ABC ,2==BC AB ,31=AA ,求点1B 到平 面BC A 1的距离．
21.（本小题满分12分）
已知线段AB 的端点B 的坐标是()8,6,端点A 在圆162
2
=+y x 上运动,M 是线段AB
的中点,且直线l 过定点()0,1.
（I ）求点M 的轨迹方程,并说明它是什么图形； （II ）记（I ）中求得的图形的圆心为C ： （i ）若直线l 与圆C 相切,求直线l 的方程；
（ii ）若直线l 与圆C 交于P ,Q 两点,求CPQ ∆面积的最大值,并求此时直线l 的方程．
22．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数,前n 项和为n S ,且满足2
21⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=n n a S .
（I ）求n a ； （II ）设()()1111++=+n n n a a b ,设数列{}n b 的前n 项和为n T ,若
5
42m
T m n <<-对一切 *∈N n 恒成立,求实数m 的取值范围.
大庆实验中学2020学年度 上学期 开学考试答案
一．选择题：DDABC CAABD DB 二．填空题：
102-
0或1 332π )2
3
,83(
三．解答题：
17．解：（I ）)3
2sin(23)cos sin 3(sin 2)(π
ωωωω-=-+=x x x x x f ,π=T Θ,πω
π
=∴
22,即1=∴ω．
（II ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈0,32326,6ππππx x ，Θ x y sin =Θ在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--
2,32ππ上单调递减,在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,2π上单调递增 0)32sin(1≤-≤-∴πx ,即0)3
2sin(22≤-≤-∴π
x ,所以)(x f 的值域为[]0,2-.
18．解：（I ）设正项等差数列{}n a 的公差为d ,则0>d .
123=S Θ,即12321=++a a a ,1232=∴a ,42=∴a .
又1,,2321+a a a 成等比数列,()12312
2+⋅=∴a a a ,即()14)4(242
++⋅-=∴d d ,
解得3=d 或4-=d （舍去）,121=-=∴d a a ,
故{}n a 的通项公式为23)1(1-=-+=n d n a a n ,且2
32)(21n
n a a n S n n -=
+=． （II ）由（I ）知213-==
n n S b n n ,2321321)1(31=---+=-∴+n n b b n n ,且12
1
131=-⋅=b , ∴数列{}n b 是以11=b 为首项,2
3
为公差的等差数列,
∴数列{}n b 的前n 项和为4
32)(2
1n n b b n T n n +=
+=. 19.解：（I ）在ADC ∆中,因为71cos =
∠ADC ,所以7
3
4sin =∠ADC .
3
sin
cos 3cos sin )3sin()sin(sin π
ππ⋅∠-⋅∠=-∠=∠-∠=∠∴ADC ADC ADC B ADC BAD
14
3
3237121734=
⨯-⨯=
. （II ）在ABD ∆中,由正弦定理得
37
3
4143
38sin sin =⋅
=∠∠⋅=ADB BAD AB BD . 在
ABC ∆中,由余弦定理得
492
1
58258cos 222222=⋅
⋅⋅-+=⋅⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ,所以7=AC . 20.解：（I ）证明：连接1BC ,由四边形11B BCC 是平行四边形且N 为线段C B 1的中点知,N 为线段1BC ,又M 为B A 1的中点,∴11//C A MN ,
又C C AA MN C C AA C A 111111面，面⊄⊂Θ,∴//MN 平面C C AA 11； （II ）解：B BB AB BC BB BC AB =⊥⊥11,,I Θ,
11A ABB BC 面⊥∴,22322
1
31311111=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=∴∆-BC S V B B A B B A C ,
又132
121=+=AA AB B A ,132132
11=⋅⋅=∴∆BC A S . 设点1B 到平面BC A 1的距离为h ,则h h S V BC A BC A B 3
13
3111
1=⋅⋅=∆-, 又B B A C BC A B V V 1111--=Θ,h 3132=
∴,13136=
∴h ．即点1B 到平面BC A 1的距离为13
13
6.
21. 解：（I ）设点M ()y x ,,由B 的坐标是()8,6,且M 是线段AB 的中点知()82,62--y x A ,
Θ点A 在圆1622=+y x 上运动,∴A 点坐标满足圆的方程1622=+y x ,
即16)82()62(22=-+-y x ,整理得4)4()3(2
2=-+-y x .
这就是点M 的轨迹方程,它是以点)4,3(C 为圆心,2为半径的圆；
（II ）（i ）由（I ）知点M 的轨迹方程是以点)4,3(C 为圆心,2为半径的圆：
①若直线l 的斜率不存在,则直线1:=x l ,符合题意；
②若直线l 的斜率存在,设直线)1(:-=x k y l ,即0:=--k y kx l ,由直线l 与圆C 相切
知,圆心到直线l 的距离等于半径,即
21
432=+--k k k ,解得4
3
=
k .此时：
l 0343=--y x . 由①②知直线l 的方程为1=x 或0343=--y x .
（ii ）若直线l 与圆C 相交于P ,Q 两点,则直线l 的斜率一定存在且不为0,设直线
)1(:-=x k y l ,即0:=--k y kx l ,则圆心C 到直线l 的距离1
422
+-=
k k d .
又22
)4(44221222
2=-+≤-⋅=-⋅⋅=∆d d d d d d S CPQ Θ,当且仅当24d d -=,即2=
d 时,“=”成立,
2=∴d 时,CPQ S ∆有最大值为2,此时21
422
=+-=
k k d ,解得71==k k 或,
故CPQ S ∆有最大值为2,此时直线l 的方程为01=--y x 或077=--y x ．
22.解：（I ）当2≥n 时,由①Λ221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a S 知②Λ2
1121⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=--n n a S ,
①-②得4
221
2
12
----+=n n n n n a a a a a ,整理得()()()1112---+=-+n n n n n n a a a a a a ,由{}n a 的
各项均为正数知01≠+-n n a a ,从而)2(21≥=--n a a n n ,
∴{}n a 是以1a 为首项,2为公差的等差数列,在①中令1=n ,解得11=a .
12)1(1-=-+=∴n d n a a n .
（
II ）
由
（
I
）
知1
2-=n a n ,
()()()()())
1
1
1(4114122211111+-=+=+=++=
∴+n n n n n n a a b n n n ,
)1
11(41+-=
∴n T n . 由0)
2)(1(41
)111(41)211(411>++=+--+-=
-+n n n n T T n n 知,数列{}n T 单调递增,()8
1)211(411min =-=
=∴T T n . 又41)111(41<+-=
n T n Θ,4
181<≤∴n T . 若
542m T m n <<-对一切*∈N n 恒成立,则只需⎪⎩⎪⎨⎧≤<-5
4181
42m m ,解得2545<≤m ,即实数m 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡2545，.。