经济数学基础-知识点归纳

第一章函数与极限
1．理解函数概念。

（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。

函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。

学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。

（2）理解函数的对应关系f 的含义：f 表示当自变量取值为x 时，因变量y 的取值为f (x )。

（3）会判断两函数是否相同。

（4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。

2．掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。

判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即
(1)若)()(x f x f =-，则)(x f 为偶函数；(2)若)()(x f x f -=-，则)(x f 为奇函数。

也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。

3．了解复合函数概念，会对复合函数进行分解。

4．知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和
余切）的解析表达式、定义域、主要性质。

基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质在微积分中常要用到，一定要熟练掌握。

5.了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。

6.知道一些与极限有关的概念
（1）知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（2）了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质；
（3）了解函数在某点连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。

第二章导数及其应用
1．知道一些与导数有关的概念
（1）会求曲线的切线方程
（2）知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)2．熟练掌握求导数或微分的方法。

（1）利用导数（或微分）的基本公式（2）利用导数（或微分）的四则运算（3）利用复合函数微分法3．会求函数的二阶导数。

4．掌握函数单调性的判别方法，掌握极值点的判别方法，会求函数的极值。

通常的方法是利用一阶导数的符号判断单调性，也可以利用已知的基本初等函数的单调性判断。

5．了解一些基本概念。

（1）了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，知道函数的极值点与驻点的区别与联系；（2）了解边际概念和需求价格弹性概念；
6．熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等），会求几何问题中的最
值问题。

掌握求边际函数的方法，会计算需求弹性。

第一、二章综合练习
一、单项选择题1．函数()
1lg +=
x x
y 的定义域是（D ）．
A ．1
->x B ．0
≠x C ．0
>x D ．1->x 且0
≠x 2．下列各函数对中，（D
）中的两个函数相等．
A ．2
)()(x x f =，x x g =)(B ．1
1
)(2--=x x x f ，x x g =)(+1
C ．2
ln x y =，x x g ln 2)(=D ．x x x f 2
2
cos sin )(+=，1
)(=x g 3．设x
x f 1
)(=，则=))((x f f （C ）．A ．
x 1B ．
2
1x C ．x D ．2
x
4．下列函数中为奇函数的是（C ）．
A ．x x y -=2
B ．x
x
y -+=e
e C ．1
1ln
+-=x x y D ．x
x y sin =5．已知1tan )(-=
x
x
x f ，当（A ）时，)(x f 为无穷小量.A.x →0
B.1
→x C.-∞
→x D.+∞
→x 6．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（D
）
A ．
1
2
+x x B ．)1ln(x +C ．2
1e
x -
D ．
x
x sin 7．函数sin ,0(),0
x
x f x x k x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩在x =0处连续，则k =(C )．
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
8．曲线1
1
+=
x y 在点（0,1）处的切线斜率为（A ）．
A ．21-
B ．
2
1C ．
3
)1(21+x D ．3
)1(21+-x 9．曲线x y sin =在点(0,0)处的切线方程为（A
）．
A.y =x
B.y =2x
C.y =
21x D.y =-x
10．设y x =lg 2，则d y =（B ）．A ．
12d x
x B ．
1
d x x ln10
C ．ln10
x
x d D ．
1d x
x 11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（B ）．
A ．sin x
B ．e x
C ．x 2
D ．3-x
12．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（B ）．
A ．
p p
32-B ．
--p
p
32C ．
32-p
p
D ．-
-32p
p
二、填空题1．函数⎩⎨
⎧<≤-<≤-+=2
0,10
5,
2)(2
x x x x x f 的定义域是
．[)
5,2-2．函数x
x x f --
+=21)5ln()(的定义域是．(-5,2)3．若函数52)1(2
-+=+x x x f ，则=
)(x f ．6
2
-x 4．设2
1010)(x
x x f -+=，则函数的图形关于
对称．Y 轴
5．=+∞→x
x
x x sin lim .1
6．已知
x
x
x f sin 1)(-=，当
时，)(x f 为无穷小量．
→x 7.曲线
y x =在点)1,1(处的切线斜率是
．
(1)0.5
y '=注意：一定要会求曲线的切线斜率和切线方程，记住点斜式直线方程
000()()
y y f x x x '-=-8．函数
y x =-312()的驻点是
.x=1
9.需求量q 对价格p 的函数为2
e
100)(p p q -⨯=，则需求弹性为E p =
．
2
p -三、计算题（通过以下各题的计算要熟练掌握导数基本公式及复合函数求导法则！）
1．已知y
x
x x
cos 2-
=，求)
(x y '．解：2
cos sin cos ()(2)2ln 2x
x x x x x
y x x x --''=-
=-2
sin cos 2ln 2x x x x
x +=+
2．已知()2sin ln x f x x x =+，求)
(x f '．
解
x
x x x f x x 1cos 2sin 2ln 2)(+
+⋅='3．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y '．
解
)(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x 2
cos 22ln 2sin 2x x x x --=4．已知x
x y 53e ln -+=，求)
(x y '．
解：)5(e
)(ln ln 3)(52
'-+'='-x x x x y x
x
x
x
525e ln 3--=5．已知
x
y cos 25=，求)2
π
(y '；解：因为5
ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5
(cos 2cos 2cos 2x x x
x x y -='='='所以
5ln 25ln 52
πsin 2)2π(2π
cos
2-=⋅-='y 6．设
x x y x
+=2cos e ，求y d 解：因为2
1
2cos 2
3
)2sin (e
2x x y x
+-='所以
x
x x y x
d ]2
3
)2sin (e
2[d 21
2cos +-=7．设
x y x 5
sin cos e +=，求y d ．解：因为
)(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y x x
x x x sin cos 5cos e 4sin -=所以
x
x x x y x d )sin cos 5cos e (d 4sin -=8．设x x y -+=2tan 3，求y d ．
解：因为
)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x 2ln 2cos 33
22x
x
x --=所以
x x
x y x d )2ln 2cos 3(d 3
22--=四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！）
1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：
x x x C 625.0100)(2
++=（万元）,
求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
x x x C 625.0100)(2++=625.0100
)(++=
x x
x C ，65.0)(+='x x C
所以，185
1061025.0100)10(2
=⨯+⨯+=C 5.1861025.010100
)10(=+⨯+=
C ，11
6105.0)10(=+⨯='C （2）令025.0100
)(2=+-
='
x
x C ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.
2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为
q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：
（1）成本函数，收入函数；
（2）产量为多少吨时利润最大？
解（1）成本函数C q ()=60q +2000．
因为q p =-100010，即p q =-100110
，所以收入函数R q ()=p ⨯q =(1001
10-
q )q =100110
2q q -．（2）利润函数L q ()=R q ()-C q ()=1001102q q --(60q +2000)=40q -110
2
q -2000
且
'L q ()=(40q -
110
2
q -2000')=40-0.2q 令'L q ()=0，即40-0.2q =0，得q =200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q =200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．
3．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p =14-0.01q （元/件），试求：
（1）产量为多少时可使利润达到最大？
（2）最大利润是多少？
解（1）由已知2
01.014)01.014(q
q q q qp R -=-==利润函数2
2
2
02.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为
1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）
4．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为
9800
365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最
低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解因为()9800
()0.536C q C q q q q
=
=++(0)q >
298009800
()(0.536)0.5C q q q q
''=++
=-令()0C q '=，即059800
2
.-
q =0，得q 1=140，q 2=-140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件.此时的平均成本为9800
(140)0.514036176140
C =⨯++
=（元/件）5．已知某厂生产q 件产品的成本为
C q q q
()=++2502010
2
（万元）．问：要使平均成本最
少，应生产多少件产品？解因为C q ()=
C q q ()=2502010
q q
++，'C q ()=()2502010
q
q ++'=-+
2501
10
2q
令'C q ()=0，即-
+=2501
10
02q ，得150q =，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．
所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．
第三章
不定积分与定积分
1．理解原函数与不定积分概念。

（1）若函数)(x F 的导数等于)(x f ，即)()(x f x F ='，则称函数)(x F 是)(x f 的原函数。

（2）原函数的全体c x F +)(（其中c 是任意常数）称为)(x f 的不定积分，记为
⎰x x f d )(=c x F +)(。

（3）知道不定积分与导数（微分）之间的关系
不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即
⎰')d )((x x f =)(x f ,⎰)d )(d(x x f =x x f d )(,
c x f x x f +='⎰)(
d )(，c
x f x f +=⎰)()(d 2．熟练掌握不定积分的计算方法。

（1）第一换元积分法（凑微分法）
（2）分部积分法
3．了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果．
要区别不定积分与定积分之间的关系。

定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。

若f x ()是奇函数，则有
f x x a
a ()d -⎰
=0
4．熟练掌握定积分的计算方法。

5．会求简单的无穷限积分。

6.熟练掌握用不定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。

第四章多元函数微分学
1.理解多元函数的基本概念
（1）建立在两个以上变量之间相互依赖的关系
（2）设在同一过程中有三个变量x,y 与z.如果x 与y 在某一范围D 内各取一确定值，按照某一对应法则有唯一确定的z 值与之对应，则称变量z 为变量x 与y 的二元函数.记作
z=)
y (，x f y x ,∈D.
其中变量z 又称为因变量，x 与y 称为自变量，“f ”称为对应法则，D 称为函数定义域.
（3）设函数z=f (x,y)在点M 0(x 0,y 0)的某个邻域内有定义（可以不考虑M 0点）.如果当点M(x,y)以任意方式无限趋近点M 0(x 0,y 0)，对应的函数z=f (x,y)也无限趋近某个常数A，则称A 为z=f (x,y)当M(x,y)趋近M 0(x 0,y 0)时的极限
2.熟练掌握偏导数与全微分的方法（1）.利用偏导数（全微分）公式（2）.会求高阶偏导数（3）.全微分概念
第三章、第四章综合练习
一、单选题
1．下列等式不成立的是（
）．正确答案：D
A ．)d(e d e x
x
x =B ．)d(cos d sin x x x =-C ．
x
x x
d d 21=D ．)
1d(d ln x
x x =2．若
c x x f x +-=-⎰2
e
d )(，则)(x f '=（
）.正确答案：D
A .2
e
x --B .2
e 21x
-C .2
e 41x
-D .2
e 4
1x
-
-注意：主要考察原函数和二阶导数
3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（
）．正确答案：C
A ．⎰
+x
x c 1)d os(2B ．⎰
-x
x x d 12
C ．⎰
x
x x d 2sin D ．
⎰+x
x x
d 124.若
c x x f x
x
+-=⎰11e d e
)(，则f (x )=（
）．正确答案：C
A ．
x
1B ．-
x
1C ．
2
1x D ．-
2
1x 5.若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是(
)．正确答案：B
A ．)(d )(x F x x f x a =⎰
B ．
)
()(d )(a F x F x x f x a
-=⎰
C ．
)
()(d )(a f b f x x F b
a
-=⎰
D ．
)
()(d )(a F b F x x f b a
-='⎰
6．下列定积分中积分值为0的是（）．正确答案：A
A ．x
x
x d 2
e e 11⎰---B ．x
x
x d 2
e e 1
1⎰--+C ．
x
x x d )cos (3⎰-
+π
π
D ．
x
x x d )sin (2⎰-
+π
π
7．下列定积分计算正确的是（
）．正确答案：D
A ．2
d 21
1
=⎰
-x x B ．
15
d 161
=⎰
-x C ．
d sin 2
2
=⎰-x x ππD ．
d sin =⎰-
x x π
π8．下列无穷积分中收敛的是（
）．
正确答案：C A ．
⎰
∞
+1
d ln x
x B ．
⎰
∞+0
d e x
x
C ．
⎰
∞
+1
2
d 1
x x D ．
⎰
∞
+1
3
d 1x
x
9．无穷限积分
⎰
∞
+1
3d 1
x x
=（）．正确答案：C
A ．0
B ．2
1-
C ．
2
1 D.∞
二、填空题1．=
⎰
-x x d e
d 2
．
应该填写：x
x d e
2
-注意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，一定要注意是先积分后求导（微分）还是先求导（微分）后积分。

2．函数x x f 2sin )(=的原函数是．应该填写：-
2
1
cos2x +c 3．若)(x f '存在且连续，则='⎰
])(d [x f ．应该填写：)
(x f '注意：本题是先微分再积分最后在求导。

4．若
c x x x f ++=⎰2
)
1(d )(，则=
)(x f .
应该填写：)
1(2+x
5．若
c x F x x f +=⎰)(
d )(，则x f x x
)d e (e --⎰=
.
应该填写：c
F x
+--)e
(注意：(
)(
)(
),x x
f d F C e dx de --=+=-⎰凑微分6．
=+⎰e 12
dx )1ln(d d x x
.
应该填写：0
注意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为07．积分
=
+⎰-1
122d )1(x x x
．
应该填写：0
注意：奇函数在对称区间的定积分为08．无穷积分
⎰
∞
++0
2
d )1(1
x x 是
．应该填写：收敛的
20
111
(1)1dx x x +∞
+∞
=-=++⎰
因为三、计算题（以下的计算题要熟练掌握！）
1．⎰+-x
x x d 2
4
2解：
⎰+-x x x d 24
2=(2)d x x -⎰=2122
x x c -+2．计算
⎰x
x
x d 1
sin
2
解：
c
x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1
sin
23．计算
⎰x
x x d 2解：c
x x
x x
x x +=
=⎰⎰
22
ln 2
)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin 解：
c
x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin 5．计算⎰
+x
x x d 1)ln (解：⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x
x
x x x d 1)(21ln 1)(2122
=c x x x x x +--+4
)ln 2(212
26．计算
x x
x
d e 2
1
21⎰
解：
x x
x
d e 2
1
21⎰
=2
121
12
11e
e e )1
(d e -=-=-⎰x x
x 7．
2e 1
1
d 1ln x
x x
+⎰解：
x x
x d ln 11
2
e 1
⎰
+=)ln d(1ln 112
e 1
x x
++⎰
=2e 1
ln 12x
+=)
13(2-8．
x x x d 2cos 2π0
⎰解：x x x d 2cos 20⎰π
=20
2sin 21π
x x -x x d 2sin 2120⎰
π
=2
02cos 41π
x =21-9．
x
x d )1ln(1e 0
⎰
-+解：
x x x
x x x x d 1
)1ln(d )1ln(1e 0
1
e 01e 0
⎰⎰
---+-+=+=x x d )1
11(1e 1
e 0
⎰
-+-
-
-=1
e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1
注意：熟练解答以上各题要注意以下两点（1）常见凑微分类型一定要记住
2211111(),,,,2,21
ln ,sin cos ,cos sin x x dx d kx C xdx dx e dx de dx d dx d x k x x x
dx d x xdx d x xdx d x x
=
±===-===-=（2）分部积分：
b
b b
a a
a b uv dx udv uv vdu a '==-⎰⎰⎰，常考的有三种类型要清楚。

四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！）
1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x +40(万元/百台).试求产量由4百台增
至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
⎰+=∆6
4
d )402(x x C =6
4
2
)40(x x +=100（万元）
又
x
c x x C x C x
⎰+'=
d )()(=x x x 36402++=x
x 36
40+
+令036
1)(2=-='x
x C ，解得6=x .x =6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小
的值。

所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解：
因为边际利润
)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2=10-0.02x
令)(x L '=0，得x =500；x =500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，当产量为500件时，利润最大.
当产量由500件增加至550件时，利润改变量为
550500
2
550
500
)
01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰=500-525=-25（元）
即利润将减少25元.
3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：
L '(x )=R '(x )-C '(x )=(100–2x )–8x =100–10x
令L '(x )=0,得x =10（百台）；又x =10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x =10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.
又△x x x x L L d )10100(d )(1210
12
10
⎰⎰
-='=
20
)
5100(1210
2-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.
4．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.
解：因为总成本函数为
⎰-=q q q C d )34()(=c
q q +-322当q =0时，C (0)=18，得c =18；
即
C (q )=18
322+-q q 又平均成本函数为
q
q q q C q A 18
32)()(+-==
令018
2)(2=-
='q
q A ，解得q =3(百台)，该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当q =3时，平均成本最低.最底平均成本为
93
18
332)3(=+
-⨯=A (万元/百台)5．设生产某产品的总成本函数为x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1)利润最大时的产量；(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1)因为边际成本为1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'='=14–2x 令0)(='x L ，得x =7；
由该题实际意义可知，x =7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值
点.因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2)当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为8
7
287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰
=-1（万元）
即利润将减少1万元.
第五章线性代数
1．了解或理解一些基本概念（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；
（2）了解单位矩阵、数量矩阵和对称矩阵的定义和性质；（3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；（4）理解矩阵初等行变换的概念。

2．熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；3．熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵，解矩阵方程。

4．了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。

5．理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。

6.熟练掌握线性方程组解得情况判定定理
第五章综合练习题
一、单项选择题
1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（
）可以进行.
A．AB
B．AB
T
C．A +B
D．BA
T
2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（
）
正确答案：B
A.T
T
T
)(B A AB = B.T
T
T
)(A B AB =C.1T 11T )()
(---=B A AB D.T
111
T )()
(---=B A AB 注意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住3．以下结论或等式正确的是（
）．
正确答案：C
A．若B A ,均为零矩阵，则有B A =B．若AC AB =，且O A ≠，则C B =C．对角矩阵是对称矩阵
D．若O B O A ≠≠,，则O
AB ≠4．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A
-=1
（
）.正确答案：C A.B
B.1+B
C.I B
+ D.()
I AB --1
注意：因为A(I+B)=I,所以A -=1
I+B
5．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T
＝（）．
正确答案：D
A．⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡--6231B．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--6321C．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--5322D．⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡--52326．设⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A )=（
）．正确答案：C
A．4
B．3
C．2
D．1
7．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--000
0120004131
06213
1，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（
）正确答案：A
A．1B．2
C．3
D．4
8．线性方程组⎩⎨⎧=+=+0
1
2121x x x x 解的情况是（
）．正确答案：A
A.无解
B.只有0解
C.有唯一解
D.有无穷多解
9．设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（）．
正确答案：D
A．m
A r A r <=)()(B．n
A r <)(C．n
m <D．n
A r A r <=)()(10.设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（）．
A．无解
B．有非零解
C．只有零解
D．解不能确定
二、填空题
1．若矩阵A =[]21-，B =[]132
-，则A T
B=
．应该填写：⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡---2641322．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2
2
22)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是.应
该填写：B A ,是可交换矩阵
3．设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a =时，A 是对称矩阵.应该填写：0
4．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解X =．
应该填写：A
B I 1
)(--5．若线性方程组⎩⎨
⎧=+=-0
2121x x x x λ有非零解，则=
λ．应该填写：-1
6．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A )=r <n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于
．应该填写：n –r
7．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解
为
.
应该填写：⎩⎨
⎧=--=4
24
3122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量)
三、计算题（以下的各题要熟练掌握！这是考试的15分类型题）
1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1
-A ．
解：因为(A
I )=
01210
0114010114
101140100121000121
0210001038021002
3211140101106421
002210121000104210
104210013
1001310013
111122222
2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡
⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢--⎢
⎥⎢⎥⎢→→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢------⎢
⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
所以A -1=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112
注意：本题也可改成如下的形式考：例如：解矩阵方程AX=B,其中
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012411210A ，101B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，答案：1131X A B -⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦又如：已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012411210A ，101B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦，求1
A B -2．设矩阵A =⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ．
解：因为100113013010115105001121120I A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，且
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001所以
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1
A I 3．设矩阵A =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1．解：因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--2435(BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡--→2521023101所以
(BA )-1
=⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎣
⎡--252231
4．设矩阵⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．
解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--→13102501，即⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211
所以X =1
53213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-11015．求线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+-+-=-+0
352023024321
4321431
x x x x x x x x x x x 的一般解．
解：因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201所以一般解为⎩⎨
⎧-=+-=4
324
312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）
6．求线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=-+-=+-12
6142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解．
25
2312
13121312
1309490949214612018818000012
13101/9
1014/91014/9100
0000
00A ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→--→--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
解：所以一般解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=194191323
1x x x x （其中3x 是自由未知量）
7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+-=+-0
830352023321
321321x x x x x x x x x λ，问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.
解：因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ所以当λ=5时，方程组有非零解.且一般解为⎩⎨
⎧==32
3
1x x x x （其中3x 是自由未知量）
8．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+=++1542131
321321x x x x x x x x λ有解？并求一般解.
解：因为增广矩阵
11111111111
1111121410510162016210512140162000A λλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解
111111111051016201620162000000000000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
且一般解为⎩⎨⎧+-=-=261532
31x x x x (x 3是自由未知量〕
λλ注意：方程组如有未知参数，最好先把互换到最下行
这类题也有如下的考法：当λ为何值时，线性方程组
1
23412341
234
21
24274112
x x x x x x x x x x x x λ-++=+-+=+⎧-+=+⎪⎨⎪⎩有解，并求一般解。

1
34234344165551323375
5
5
(,x x x x x x x x λ⎧=-+⎪⎪=⎨
⎪=+-⎪⎩
答案：（）时有解，（）一般解为其中是自由未知量）
9．b a ,为何值时，方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-+=--b
ax x x x x x x x x 321
3213213221有唯一解，无穷多解，无解？
1111111
111111122021102111304110033A a b a b a b ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦解当3-=a 且3≠b 时，方程组无解；当3-≠a ，b R ∈时方程组有唯一解；当3-=a 且3=b 时，方程组有无穷多解。