投资组合信用风险的测度和优化_基于Copula理论

收稿日期:2010-03-25
基金项目:国家自然科学基金项目(70861003);教育部人文社会科学一般项目(06J A 790025、09Y J A 790092);江西财经大学∀金融深化过程中信用风险的测度与控制#创新团队基金项目(江财科研字[2005]4号)投资组合信用风险的测度和优化
∃∃∃基于Copula 理论
吴恒煜1
,李 冰2
,严 武
2
(1.华南理工大学工商管理学院,广州510640;江西财经大学金融学院,南昌330013)
摘要:使用四种copu l a(即G auss i an copu l a 、St udent %s t-copu l a 、grouped t-copu l a 和C l ayton n-copu l a )对投资组合信用风险进行度量,并在此基础上,利用线性规划方法优化投资组合。

研究结果比较发现,几种copu la 中t-copu l a 度量投资组合信用风险相依最合适,并给出了相应的最优资产配置。

关键词:投资组合;信用风险;Copu l a 函数;线性规划;条件风险值CV aR
中图分类号:F832 33 文献标识码:A 文章编号:1001-8409(2010)12-0128-06
M easure m ent and Opti m izati on of Credit R isk of the Portfolio
∃∃∃Based on Copu la Theory
WU H eng yu 1,L I B i ng 2,YAN W u 2
(1School of Busi ness A d m i nistration,Sou t h China University of T echno logy,Guangzhou 510640;
2Schoo l of F inance ,J iangx i Universit y of F inance&Econo m ics ,N anchang 330013)
Abstract :The articl e uses four copulas (.i e .Gaussi an copula ,Students 't-copula ,grouped t-copula and C layton n -copu l a)to measure cred it ri sk of t he portfolio and optm i i ze portfoliow ith t he li near progra mm i ng .The res u lt show s that t-copu l a is t he best to m eas ure ri sk dependence and provi des optm i al asset all ocati on .
Key words :portfoli o ;cred it ri sk ;Copula function ;li near progra mm i ng ;Cond iti onalV alue-at-R i sk (CVaR)
1 引言
金融衍生工具的一项重要作用就是以创新的方式管
理金融风险中最重要的风险∃∃∃信用风险。

信用风险与一般金融风险不同:它的损益分布具有不对称性,金融领域通常称之为∀尖峰厚尾#。

厚尾意味着极端事件、尤其是投资组合违约的概率比正态分布时要高出许多。

除此之外,信用资产间往往表现为非线性相关,所以传统的皮尔森线性相关系数不足以准确描述信用风险的特点。

另外信用风险属于非系统风险,难以量化,数据也较难获取。

因此,它的度量远比市场风险的度量困难得多,针对这一问题的研究也就显得尤为珍贵,引得众多学者纷纷投身信用风险的量化研究。

考虑到信用资产损益分布的这些经验特点以及多违
约事件模型,越来越多的国外学者都将Copu l a 函数引入到信用风险管理中。

Copula 这个术语最早由Sk l ar(1956)提出,用来衡量变量间的非对称、非线性相关,标准描述可以参考Joe (1997)和N el sen (1998),Em brechts 等(2002),Frees 和Valdez (1998)的专题论文。

C her ub i n i 等(2004)综合概括了C opu la 函数在金融领域的应用
[13]。

L i(2000)首次将Copula 函数应用于信用风险分析,指出:信用度量术(C re d it M etrics)通过资产相关性来表示违约相关性的方法和使用Gauss i an copu la 的结果相同,将Cop ula 函数引入组合的信用风险管理,可以更加准确地反映资产间的相关结构,提高模型预测的准确性
[4]。

M ashal
和Zeevi (2002)、M ashal 和Naldi(2002)扩展了L i 的模型,采用除G aussian copu la 之外的其他Copu l a 函数来描述联
合违约相关[11]。

M e neguzzo和V ecc h iato(2002)调查了两个椭圆co pu l a(Gauss i an a nd Stude n t%s t-copula)和两个阿基米德copu la(Fr ank a nd C layton)在CDO s(collateralized debt ob li gations)定价方面的能力,发现G a u ssian和S t udent%s t-copu la在捕捉多元相关时比阿基米德copu la 更灵活,尤其是S tudent%s t-copula给出的结果更加近似于在实际市场上发现的结果[1]。

M ashal、Zee v i(2002)和B r ey m ann等(2003)也得出Stude n t%s t-copu la能更好地捕捉到相关极值现象,具有双尾相关∃∃∃上尾和下尾同时相关(Em brechts等,2002),而Gaussia n co pu l a在相关系数不等于1时,不存在尾部相关。

因此,t-copu la能比G aussian copu la生成更多的联合极端事件,较Gauss i an co pu la有更好的拟合能力[11,12,14]。

Dau l等(2003)证实了gro uped t-copu la的拟合效果,它是标准t-copu la的一种扩展,能更精确地描述风险因素间的相关性[3]。

Dau l等(2003)的研究以及D e m arta和M c N eil(2004)最近的研究都表明在大量历史风险因素数据下,尤其在风险因素属于不同类型的情况下,gr ouped t-copula在描述尾部相关方面具有很强的优势[3,15]。

在投资组合的优化方面,传统的方法是使用均值-方差技术和风险值(V a R)。

M ar ko w itz的均值-方差模型只描述了收益偏离期望值的程度,没有描述偏离的方向以及证券组合的损失到底有多大。

A rtzner P等(1999)的研究表明,Va R数学特性较差,不能体现尾部事件发生时所遭受的平均损失的程度,不满足一致性风险度量,出现尾部损失测量的非充分性[16]。

Va R的计算揭示了损失超过它的可能性,但是不能算出具体超过的损失数量。

更为重要的是,Va R不能描述风险的分散化特征。

针对以上问题,近年来出现了一种新的风险度量方法,即条件风险值CVa R(c ond iti onal val ue at risk),指组合损失超过V a R的条件均值,反映超额损失的平均水平,易处理且能捕捉到损失分布的关键特点,近似于ES,具有一致性,克服了V a R的不足[17,20]。

M a usser和Rose n(1999)已经证明, CVa R的最小化可以很好地降低难以测度的风险指标V a R,节省银行的监管资本[5]。

本文采用从公开渠道收集到的债券构建投资组合,利用蒙特卡洛模拟生成投资组合的信用损失分布,分别运用四种Copula函数描述信用资产之间的相关结构或者隐含的违约相关结构。

鉴于损失情景是每个债务人信用状态的模拟,因此必须生成每个成员直到违约时间的信用状态。

在此,本文仅仅考虑两种状态:违约和不违约,忽略信用转移事件发生的可能。

在这个二元情景下,为投资组合中所有债务人的违约时间生成蒙特卡洛情景,检验不同Copula函数对投资组合信用风险测度和有效投资组合构成的影响。

本文拟估计样本信贷投资组合的几种风险测度,如最大损失(M L)、信用风险值(C red it Va R)和预期短缺ES(expecte d shortfall)。

在投资组合优化方面,采用CV a R,使用由Andersso n等(2001)在信用风险背景下所提
出的基于情景的模型,通过解决简单的线性规划问题,求出投资组合的最优构成及对应的CV a R[2]。

2 测度投资组合信用风险的指标
以情景为基础,估计信贷投资组合信用风险的程序为:首先用基于Copu la的方法,通过蒙特卡洛模拟生成损失分布;然后模拟出每个交易对手方在到期日的信用状态。

假设一个风险投资组合有m个债务人组成,初始时间t0=0,期限均为一年。

投资组合中每个债务人的借款数量为N
i
,i=1,2,&,m。

在违约或不违约的二元情况下,债务人i在情景j时的损失为:
L
i,j
=N
i
-V
i
,i=1,2,&,m;j=1,2,&,s(1) V i是债务人i在j情景给定的时间水平时的价值,R i 是债务人i的挽回率
V
i
=
N
i
在给定的时间水平没有违约
N
i
R
i
在给定的时间水平债务人i违约
(2)
在情景j给定的时间水平下,投资组合的损失为:
L
j
(x)=
m
i=1
L
i,j
x
i
(3)
x=(x1,x2,&,x n)T代表每个债务人在投资组合中所
占的权重向量,为了简便起见,本文假设x
i
=1,投资组合的期望损失为:
EL(x)=
s
j=1
L
j
(x)
s
(4)
将投资组合的损失L
j
(x)按升序进行排序,该组合在概率水平为 时的最大损失为损失M L (x)分布的分 位数。

投资组合在概率水平为 时的C re d it Va R为:
C red itVaR (x)=M L (x)=EL(x)(5)
ES是目前市场风险估值的新型工具,描述资产组合损失超出Va R时的条件期望值,用来估计Va R(V alue-at -R i sk)的尾部风险[21]。

可表示为ES (X)=E[-X|X> Va R (X)]。

ES可以明确指出V a R估计失败时损失的条件期望值,所以对ES∋的估计有助于我们对投资组合尾部风险的分析[18]。

投资组合在置信度为 时的ES为:
ES (X)=ML (x)+1
(1- )!s
s
j=1
[L
j
(x)-M L (x)]+(6) [L j(x)-M L (x)]+=
L j(x)-M L (x) 如果L j(x)>M L (x)
0如果L
j
(x)<M L (x)采用C o pu l a方法生成每个债务人信用状态的情景,具体描述参考L i(2000),作者模拟了债务人违约时间之
间的相关性。

设T i 是连续随机变量,代表债务人i 违约时的时间。

那么债务人违约时的概率为F i (t)=P(T i (t),相应地,不违约的概率为S i (t)=P(T i >t)=1-F i (t),S i (t)被叫做生存函数(su r vival functi on)。

根据L i (2000)可以得出:
h i (t)=
F )i (t)1-F i (t)=f i (t)1-F i (t)=-S )i (t)
S i (t)
h i (t)为风险率函数(hazar d rate functi on),其完全刻
画了随机变量T i 的分布。

根据上式可以求出生存函数:
S i (t)=e -∗
t
0h i (s)ds
(7)
那么T i 的累积分布函数F i (t)=1-e -∗
t
0h i (s)ds
(8)
为简便起见,假设危害率函数h i (t)是平稳的,与时间无关,即在每个时间,t h i (t)=h i ,则(8)式可以写为:
F i (t)=1-e -h,t
(9)
参见Annalisa D i cle m en te –C laud i o R o m a no(2004)可以求出:
h i (t)=
-ln 1-1-e -(r f
+cs i )t
e
-r f
st
11-R i t
(10)
其中,r f 为无风险利率,cs i 为债务人i 的信贷差额,等于到期收益率减去无风险利率。

为获取投资组合的分散化效应,我们必须生成m 个债务人的违约时间T i =(T 1,T 2,&,T m )的情景(t 1,j ,t 2,j ,&,t m ,j ),j =1,2,L ,s ,相应的多维累积分布函数为:
F (t 1,t 2,L,t m )=P {T 1(t 1,T 2(t 2,L,T m (t m }
(11)
这表示m 个债务人联合违约时的概率。

在情景,j 如果t ,i j <1,债务人就违约。

3 Copula 函数
[6,10]
Copu la 函数可以理解为∀相依函数#或者∀连接函数#,它是把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来的函数。

传统上我们是在变量呈现正态分布的假设下,考察变量之间的线性相关。

而金融时间序列的条件分布多呈现时变、偏斜、尖峰、厚尾等特性,Copu la 函数恰恰满足了这种需要,不仅可以很好地衡量变量之间不对称、非线性的相关性,而且还可以捕捉到极端事件的尾部相关。

关于Copula 函数的一个最重要的定理就是Sk l ar %s Theor e m (证明见Sklar ,1996)。

他指出Copu la 函数本身也是一个联合分布函数,具有联合分布函数的性质,如果边际分布函数是连续的,那么相应地Copu la 函数是唯一的,即:
F (x 1,&,x n )=C (F 1(x 1),&,F n (x n ))(12)其中F 是n 维累积分布函数,F 1(x 1),&,F n (x n )是一维连续边际分布函数,C 是n 维Copu l a 函数。

对于任何的属于[0,1]n
内的u=(u 1,u 2,&,u n ),都有:
C (u 1,&,u n )=F (F -1
1(u 1),&,F -1
n (u n ))
(13)
其中F -1
i 是F i 的逆函数,且F i (x i )=u i 。

多变量累积分布函数F 的密度函数为:
f (x 1,&,x n )=c(F -1
1
(x 1),&,F -1n
(x n ))!n
i =1f i (x i )
(14)
其中c(.,&,.)、f t (!)分别是Copu la 与边际分布的密度函数∋。

接下来,总结本文所要用到的四种Copu l a 函数的特点:Gaussi an c opula 、Student %s t-copu la 、gr ouped t-copu la 、C layton copula 。

3.1 Gaussia n Copu la
正态分布Copu l a 采用下列形式:
C Ga R (u 1,u 2,&,u n )= R [ -1(u 1), -1(u 2),&, -1
(u n )]
(15)
C G a
R (u 1,u 2,&,u n )=∗
-1
(u 1)-+
∗
-1
(u 2)-+
&∗
-1
(u n )
-+
1
(2!)
n /2
|R G a |
1/2
exp -
12
x T R -1
G a X dx 1dx 2&dx n (16)
其中 R 是标准多元正态累积分布函数, -1
是标准一元正态累积分布函数的逆函数,R Ga 是变量之间的相关系数矩阵。

Gauss i an Copula 在描述相关结构时一个显著的特点是具有对称性,这与它属于椭圆Copula 吻合。

对于不完全相关的随机变量,G a ussia n Copu l a 没有上尾或下尾相关。

3.2 Stude n t %s t-copula
S tudent %s t-copu la 的形式为:
C t (u ,&,u n ;R,v)=t R,v [t -1v (u 1),&,t -1
v (u n )](17)
具体形式如下:
C T
R,v (u 1,u 2,&,u n )=
∗t -1v (u 1)-+
∗
t -1v (u 2)
-+
&∗t -1v (u n )
-+
∀(
v +n 2)|R T |-1/2
∀(v 2
(v !)
n /2(1+
1v
x T R -1T x )-v+n 2
dx 1dx 2&dx n (18)
其中,T R,v 是标准多元t 分布函数,t -1
v 是自由度为V 的标准一维t 分布的逆函数,R T 是边际分布函数之间的相关系数矩阵,v 是自由度。

S tudent %s t-copu la 在模型多元金融资产收益数据(例如股票的日对数收益)的情况时非常显著,S t udent %s t-copu la 具有比Gaussia n copu la 更好的拟和能力。

即使皮尔森相关系数不等于1,Student %s t-copula 具有双尾相关。

当Studen t %s t-copula 的自由度趋向于无穷时,它近似等于Gauss i an copula 。

3.3 gr oupe d t-co pu l a
grouped t-copu la 是S tudent %s t-c opu l a 的一个拓展,基本思想是建立一个与Studen t %s t-copu la 近似相关的copu la 函数,将投资组合X 分成几个组,向量X 的不同子
向量可能代表了不同的尾部相关水平。

现在考虑以下模型:设Z :N J (0,#),与在(0,1)上服从均匀分布的随机变量U 独立,#是任意的线性相关矩阵。

设G v 是v /∃2
v 的分布函数,将{1,2,&,J}分成m 个子集,由s 1,s 2,&,s m 分别表示每个子集。

设R k =G
-1
v k
(U ),k=1,2,&,m,如果
Y =(R 1Z 1,&,R 1Z s 1
,R 2Z s 1
+1,&,R 2Z s 1
+s 2
,&,R m Z j ))(19)
随机向量(Y 1,Y 2,&,Y s 1
)服从自由度为v 1的s 1维t 分布。

对于k =1,2,&,m -1,向量(Y s 1
+s 2
+&+s k
+1,&,
Y s 1
+s 2
+&+s k +1
)服从自由度为v k+1的s k+1维t 分布。

gr oupe d t -copu la 的参数#和v i (i=1,&,m )可以用与S tudent %s t
-copu la 同样的程序4来估计。

其每个子集都有不同的尾部相关,可以更精确地描述风险因素间的相关性。

3.4 C layto n co pu l a
C layton (1978)copu la 也被看作是Coo k 和Johnson (1981)copu la ,最初由K m i eldorf a nd Sa m pson (1975)进行研究,C layton co pu l a 属于阿基米德copu la(A rchm i e dean co pu la)的一种,A r ch m i edea n copu la 采用下列形式:
C (u 1,u 2,&,u n )=%-1
[%(u 1)+%(u 2)+&+%(u n )](20)
其中%是生成函数,具有以下特点:%(1)=0,对于(0,1)上任意的,t %(t)是单调递减的凸函数(%)(t)<0,%,(t)>0,)。

C layton c opu l a 的生成函数为%(t)=
(-lnt)
, −1。

n 维C l ayton copu la 的具体形式为:
C (u 1,u 2,&,u n )=(
n
si=1
u -
i
-n +1)
-1/
(21)
联合密度函数为:
c clay ton =!
n-1
i=1
(1+i )(
!
n
i=1
u i )(-1- )(
n
i=1
u -
i
-n +1)
(-1/ -n)
(22)
C layton n-copu la 仅仅取决于一个参数 ,描述的是
整个相关结构,不能描述负相关。

由于它表现出较强的左尾相关和相对较弱的右尾相关,因此,常被用来研究相关风险问题。

当两个事件之间的相关性表现出较强的左尾相关时,C layton copula 是比较合理的选择。

4 最小化CV a R 的线性规划法
[8]
CVa R 以Va R 为基础,度量损失超过Va R 的尾部损失的平均值,代表了超额损失的平均水平。

只有将所有大于V a R 的尾部损失估计到才能够计算CV a R ,但通过样本分位数估计等方法,其计算可以不依赖于Va R 。

在大多数文献中计算CVa R 都使用线性规划法,具体算法如下∋:
目标函数为:
CVa R (x )=m in (x,&)&+1(1- )!s s
j=1
[L j (x)-&]+
(23)
其中, 为置信水平,&为门限值,代表V a R 函数,最
优解&*为Va R 。

最优解x *
代表决策向量,即每个债务人在投资组合中所占的最优权重向量。

限定条件为:
(1)为了避免在持有期内债务人在投资组合中的权重作不现实的变化,对每个债务人在持有期内的权重作以下限制:
l i (x i (u i ,i =1,2,&,m (24)
其中,l i 和u i 分别代表每个债务人在投资组合中所
占权重的下限和上限。

(2)对投资组合CV a R 优化前后的整个投资组合的总贷款量不变。

m
i =1
N
i
x i =
m
i =1
N
i
(25)
(3)为了达到预期的投资组合收益,将没有风险转移的投资组合的预期收益作如下限制:
n
i =1
N
i
(r i -R )x i −0(26)
其中r i 是债务人i 在缺乏信用转移情况下的预期收益,r i =r f +cs i ,r f 是无风险利率,cs i 为债务人i 的信用差额。

在此模型中,首先假设x *
i =1,代表N i 元。

在投资组合CV a R 最小化后,每个债务人的权重变为x *
i ,如果x *
i =2,就意味着要加倍债务人i 的贷款量。

5 实证研究
5.1 数据的选取与处理
构建一个由6个债务人构成的投资组合,基本信息见表1:第2列分别是各债务人7月16日的外部信用评级;第3列是相应的追踪评级机构;第4列假设每个债务人的筹资数额相等,N i =100000元,总数额为600000元;第5列为挽回率R i ,由于单个企业的挽回率数据非常难找,因此本文选择行业平均挽回率.来代替;第6列是每个债务人的税后到期收益率r i /,根据每个债务人在投资组合所占权重可以计算出这个投资组合的预期收益率为3 26%。

假设研究期限为1年,而且风险率函数具有平稳性,与时间无关,则最后一列是根据式(10)计算出的风险率(hazar d rate)。

选择各债务人债券从上市发行到2009年6月30日的日收盘价数据为样本,中间剔除了不同交易日的数据,只取在相同日期交易的各债务人的收盘价,共136个数据。

在金融领域,收益率一般采用对数收益率,因此计算出的对数收益率共135个观测值。

由于金融时间序列的
∋具体推导证明过程见F re dri k Ande rsson !H e l m utM ausser !Dan Rose n !Sta n i sl av U ryasev(2001):Credit ri sk opti m i za ti on w it h Conditi ona l Va l ue-at-R i sk cri teri on .
收益率一般呈非对称分布,具有∀杠杆效应#,而正态分布和t分布假设与此特征不符,不能预测金融资产收益率的极端变化情况。

因此,通过非参数估计方法分别估计出六种资产135个收益率的边际分布,将历史数据转换成均匀分布。

表1 投资组合基本信息
债务人名称外部信用评级评级机构N i(元)挽回率收益率r i风险率h i 08保利债(1)AA中诚信 10000024 30%2 42%0 002246 08昆建债(2)AA+上海远东10000029 5%3 46%0 017207 08西基投(3)AA联合资信10000029 5%3 45%0 017064 08金发债(4)AA-中诚信 10000035 1%4 17%0 02974 08钒钛债(5)AA+中诚信 10000026%2 93%0 0092 08万科G2(6)AA+中诚信 10000043 30%3 13%0 015573投资组合6000003 26%
5 2 参数估计
四种不同的Copu la参数由对数收益率估计出来。

G aussion copu la的相关系数矩阵R,见表2。

对于Student%
s t-c opu l a,我们已经估计出其自由度为6,相关系数矩阵
为R,见表3。

G r ouped t-co pu l a的相关系数矩阵与
S t udent%s t-copu la估计是一样的。

根据每个债务人信用
评级的不同,将投资组合中的6个债务人分成三组:(1)
08昆建债(AA+)和08钒钛债(AA+);(2)08万科G2
(AA+)和08西基投(AA);(3)08保利债(AA)和08金
发债(AA-)。

三组估计出的自由度分别为v
1=6,v
2
=5,
v
3
=4∋。

可以看出,评级高的自由度也高,评级低的自由度也低。

C l ayton copu la的参数 的估计值为0 5466。

估计出c opu l a的参数后,将各相关系数矩阵分别进行Cholesky分解,用四种不同的Copu l a函数,使用蒙特卡洛
模拟方法,模拟出每个债务人直到违约时间T
i
的1000种时间情景,这些时间服从(11)的多元分布。

多元分布的相关结构由各自选择的C opu la计算出来,边际分布由式(9)表示。

在情景,j如果债务人i在违约时的时间t,i j(1,债务人i就违约。

用这种方法,我们为投资组合损失(3)获得1000种蒙特卡罗模拟时间情景。

最后计算了投资组合的预期损失,95%的ML,95%的C r ed it V a R以及95%的ES。

由不同的Copula所计算出的这些不同的指标被概括在表4。

表2 G aussi on copula的相关系数矩阵R 债务人i123456
11 00000 22690 28170 36980 35340 2995
20 22691 00000 31980 35440 37870 4706
30 28170 31981 00000 44660 33100 3961
40 36980 35440 44661 00000 44000 6241
50 35340 37870 33100 44001 00000 4055
60 29950 47060 39610 62410 40551 0000
表3 Studen t-copula的相关系数矩阵R
债务人i123456
11 00000 22390 29380 39000 41050 3090
20 22391 00000 36800 41650 37520 4927
30 29380 36801 00000 51340 39800 4368
40 39000 41650 51341 00000 51130 6925
50 41050 37520 39800 51131 00000 4667
60 30900 49270 43680 69250 46671 0000表4 四种不同的copula对于投资组合信用风险的测度
货币单位(元)
Gauss i on
copu l a
Studen t%s
t copu la
Grouped
t copula
C l ayt on
n copu l a
预期损失,EL(x)6071 46067 95773 25774 9 95%最大损失,M L M95%(x)141000145700156000143000
95%C red it Va R,V a R
95%
(x)134928 6139632150226 8136225 1 95%expected shortf al,l ES95%(X)146948167000169070154072 由表4可以看出,在95%的置信水平下,Stude n t%s t -c opu l a,G r oupe d t-copula以及C la yton n-copu la计算出
的尾部风险指标M L
95%
(x)、V a R
95%
(x)和ES
95%
(X)都比Gauss i on copula要大。

这是因为t-co pu l考虑了双尾相关,描述了尾部相关对风险测度的影响,尤其是G r oupe d t -c opu l a,它的风险测度值更大。

C la yton n-copula只有一个参数 ,描述的是整体的相关结构。

而Gaussi on copu la没有考虑尾部相关,忽略了极端事件对相关性的影响,因此,风险测度比较小。

这与第三部分copu la函数的理论分析是相符的。

5 3 投资组合优化
在式(24)、式(25)和式(26)的限定条件下,运用线性归化法最小化95%置信水平下的CV a R。

需要注意的是:
首先假设x i=1,1单位就代表10万元,那么
6
i=1
x i=6,所以
后面估计出的每个债务人的权重都大于0小于6,且
R=3 26%。

四种copu la的计算结果∋见表5。

表5 四种copu l a计算出的95%CV aR与投资组合的构成
95%CVaR x1x2x3x4x5x6
G aussion copu la1118371 65722 20561 38120 00000 00000 7560
S t ud ent%s t-copu l a1158851 67582 18701 35300 00000 00000 7842 Grouped t-copula1172441 67572 18711 35320 00000 00000 7840
C layt on n-copu l a1144461 20661 31101 48680 00001 08660 9090
从表5可以看到:对于四种copula来说,投资债务人4是不明智的选择。

在Gaussi on copu la,S t udent%s t-c opu la和G r oupe d t-copu la的情况下,应该按相应的权重投资于债务人1,2,3,6(即08保利债,08昆建债,08西基投, 08万科G2),可以使得在95%的置信度下条件风险值最小。

尤其是Student%s t-copu la和G rouped t-copu la的结果几乎一样。

而C layton n-c opu l a应该按相应权重投资于债务人1,2,3,5,6(即08保利债,08昆建债,08西基投,08钒钛债,08万科G2),使得在95%的置信度下条件风险值最小。

这与其它3种copu la情况下的选择不同。

另外还可以看出,在95%的置信水平下,S t ude n t%s t-cop u la、G r ouped t-copu la以及C layton n-copula所计算出来的CVa R都比Gauss i on copula的要大,这与前面计算风险测度指标时得出的结论一致。

6 结论
根据投资组合信用风险的特点,利用copu la函数来衡量信用资产间联合违约事件的非对称、非线性相关。

结果发现:(1)在计算投资组合的风险测度和条件风险值方面,由于t-copu la具有双尾相关,C layton n-copu la具有较强的左尾相关和弱的右尾相关,而Gaussi an c opu l a缺乏尾部相关,因此S t ude n t%s t-copula、G r ouped t-copu la以及C la yton n-copula所计算出的值都大于G aussion copu la 计算出的结果。

(2)由于gr ouped t-copula有很多的参数,能够更好地描述资产间的尾部相关性,因此grouped t -copu la对数据的拟和能力最好,其计算结果更接近于实际。

但它没有G a ussia n c opu l a和Stude n t%s t-c opula灵活。

(3)在投资组合的优化方面,C l ayton n-copu la得出了不同的投资决策,这是因为C layto n copu la参数的缺乏,唯一的参数仅仅描述的是整体的相关结构。

参考文献:
[1]M eneguzzo D,Vecch i ato W.C opula Sen sitivit y i n Co ll ateraliz ed
Deb tOb li gations and Bas k et Def au lt Sw ap s Pri ci ng and Ris k M on i
tori ng[A].W ork i ng Paper[Z].2002.1-3.
[2]Andersson F,M ausserH,Rosen D,et a.l C red itR i sk Opti m izati on
w ith Cond itionalV al ue-at-R is k C riterion[J].M athe m atical Pro
gra mm i ng,2001(5):273–291.
[3]Dau l S,G i orgi E D,L i ndskog F,et a.l The G rouped T-C opu l a
w ith An App lication to C red it R i sk[J].R is k,2003(16):73–
76.[4]L iD X.On defau lt correl ati on:A Copu la Functi on App roach[J].
Jou rnal of F i xed Inco m e,2000(9):43-54.
[5]M ausser H,Rosen D.App l yi ng Scenario Op ti m iz ati on to Portfoli o
Cred i t R i sk[J].A l go Research Qu arterl y,1999(2):19–33. [6]T ri ved i P K,Zi m m er D M.C opu l a M odeling:An Introdu cti on for
Practiti oners[J].Foundati ons and T rends i n E con o m etrics,2005
(1):3-97.
[7]M an si n iR,OgryczakW,Sp eran zaM G.Conditi onalVa l ue atR i sk
and R elated L i near P rogra mm i ng M odel s for Portf o li o Op ti m i zation [J].Ann Oper Res,2007(152):227–256.
[8]Yan Chun n i ng,Yu Peng,Hu ang Yang xin.C alcu l ation of Expected
Shortf all for M eas u ri ng R is k and Its App licati ons[J].Jou rnal of Shangh aiUn i versit y(Engli s h Ed iti on),2005(1):90-294. [9]C le m ente A D,Ro m ano C.M eas u ri ng and Opti m i z i ng Portfoli o
Cred i t Ris k:A Copu l a-based Approach[J].E conom icNotes,2004
(33):325–357.
[10]M ashal R,Nal d iM.Extre m e Even t s and Def ault B asket s[J].
R i s k,2002(6):119–22.
[11]M as halR,zeeviA.B eyond C orrelati on:Extre m e C o-m ove m ents
Bet w een Fi nanci alA ssets[A].W ork i ng paper[Z].2002:2-4. [12]Em brechts P,M cneilA J,Strau m ann D.Correl ati on and Depend
ence i n R is k M anage m en t:Properti es and P i tf alls[J].Ris k M an age m en t,2002(3):176–223.
[13]Ch erub i n i U,Luci an o E,Vecch i ato W.Copu la M ethod s i n F i
nan ce[J].London,W iley,2004(30):40-50.
[14]Brey m ann W,D I AS A,A l brecht P.Dep end ence S truct u res for
M u lti vari ate H igh-frequen cy Data i n F i nan ce[J].Quantit ati ve
F i nance,2003(3):1–14.
[15]De m arta S,M cneil A J.The t C opu l a and Related Copu l as[R].
W ork i ng pap er,2004.
[16]A rtzner P,Delbaen F,Eber JM,et a.l C oheren tM eas u re ofR i sk
[J].M athe m atical Fi nance,1999,9(3):20–228.
[17]包卫军,徐成贤.基于多维t-Copu la函数的投资组合的CVaR
分析[J].统计与决策,2008(20):1-3.
[18]蒋春福,尤川川,彭红毅.E xpected Shortf all风险度量的一致性
估计[J],统计与决策,2007(7):1-3.
[19]吴恒煜,随机挽回率马尔可夫链模型下信用差价衍生品定价
[J].系统工程,2006(1):82-86。

[20]叶五一,缪柏其,吴振翔.基于Copu l a方法的条件VaR估计
[J].中国科学技术大学学报,2006(9):4-5。

[21]陈学华,杨辉耀.股市风险V a R与ES的动态度量与分析[J],
系统工程,2004(121):1-3.(责任编辑:秦 颖)。