最新沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向测试试题(含答案及详细解析)

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1
）
A．2B．3C．4D．5
2、如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（）
A．1
6
πB．1
3
πC．
2
3
πD．π
3、已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
4、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE的一点，则∠CPD的度数是（）
A ．30°
B ．36°
C ．45°
D ．72°
5、如图，作Rt ABC ，90C ∠=︒，2BC AC =；以A 为圆心，以AC 长为半径画弧，交斜边AB 与点D ；以B 为圆心，以BD 长为半径画弧，交BC 与点E ．若6BC =，则CE =（ ）
A ．
9-B ．6 C ．3 D ．1
6、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（ ）
A ．1
B ．12
C
D 7、直角三角形△PAB 一条边为AB ，另一顶点P 在直线l 上，下面是三个学生做直角三角形的过程以及自认为正确的最终结论：
甲：过点A作l的垂线，垂足为P1；过点B作l的垂线，垂足为P2；作AP3⊥BP3．故符合题意的点P 有三处；
乙：以AB为直径作圆O，⊙O与交l于两点P1、P2，故符合题意的点P有两处；
丙：过点A作P1A⊥AB，垂足为A，交l于点P1；过点B作P2B⊥AB，垂足为B，交l于点P2．故符合题意的点P有两处．
下列说法正确的是（）
A．甲的作法和结论均正确
B．乙、丙的作法和结论合在一起才正确
C．甲、乙、丙的作法和结论合在一起才正确
D．丙的作法和结论均正确
8、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（）
A．AM=BM B．CM=DM C．AC BC
=D．AD BD
=
9、如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，AB所对圆周角的是（）
A ．∠AP
B B ．∠ABD
C ．∠ACB
D ．∠BAC
10、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是（ ）
A ．弧AC ＝弧AD
B ．弧B
C ＝弧B
D C ．C
E ＝DE D ．OE ＝BE
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，分别以AB 、BC 、AC 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当8AB =，4BC =时，则阴影部分的面积为__________．
2、如图，⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为 ___．
390°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为____
4、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．
5、如图，AB是O的直径，AC是O的切线，切点为A，BC交O于点D，点E是AC的中
AC=，则阴影部分的面积为________．
点．若O的半径为2，50
B
∠=， 4.8
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(2，1)，C(5，4)．
(1)只用直尺在图中找出△ABC的外心P，并写出P点的坐标_____________
(2)以(1)中的外心P为位似中心，按位似比2：1在位似中心的左侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′，请在图中画出△A′B′C′；
(3)若以A为圆心，r为半径的⊙A与线段
．．BC．．有公共点，则r的取值范围是____________．
2、如图，⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D．
（1）弦AB的长为．
（2）求劣弧AB的长．
3、问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，
∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．
4、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，PC．若AB = 6，AC的长为π，BC = PC．求证：直线PC与⊙O相切．
5、如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB 的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
如图，O为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，再由等边三角形的性
质，可得∠OAB=30°，
1
2
AD AB
，然后根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】
解：如图，O为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
根据题意得：OA
，∠OAB =30°，12
AD AB =
， 在Rt AOD △中，
3
cos 2AD OA OAB =⋅∠== ， ∴AB =3，即这个正三角形的边长是3．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．
2、C
【分析】
连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．
【详解】
解：如下图所示，连接OA ，OB ．
∵OC AB ∥，
∴OAB CAB S S =△△．
∴S 阴=S 扇形AOB ．
∵AO ，BO ，CO 都是O 的半径，
∴AO =BO =CO ．
∵AB =CO =2，
∴AO =BO =AB =2．
∴OAB 是等边三角形．
∴60AOB ∠=︒．
∴S 阴=S 扇形AOB =260223603
ππ⨯=． 故选：C
【点睛】
本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
3、B
【分析】
圆的半径为,r 圆心O 到直线l 的距离为,d 当d r =时，直线与圆相切，当d r 时，直线与圆相离，
当d r <时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.
【详解】 解： ⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，
∴ ⊙O 的半径等于圆心O 到直线l 的距离，
∴ 直线l 与⊙O 的位置关系为相切， 故选B
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.
4、B
【分析】
连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝360
5
＝72°，
∴∠CPD＝1
2
∠COD＝36°，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5、A
【分析】
根据勾股定理求出AB，再根据圆的定义可求得AD=AC，BE=BD即可求解．
【详解】
解：∵2BC AC =，6BC =，
∴AC =3，
在Rt ABC 中，90C ∠=︒，由勾股定理得：
AB
由题意，AD=AC=3，BE=BD=AB －AD =－3，
∴CE=BC －BE =6－（3）=9－
故选：A ．
【点睛】
本题考查圆的定义、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
6、C
【分析】
根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长
【详解】 解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒
30A ∴∠=︒
BC BC =
∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，
90BCD ∴∠=︒
在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12
BC BD ==1
DC ∴故选C
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．
7、B
【分析】
根据三个学生的作法作出图形即可判断
【详解】
解：甲的作图如下，
12,ABP ABP 不是直角三角形，故甲的不正确
乙：如图，
根据直径所对的圆周角是直角可知，乙的作法正确，但不完整，
丙的作法如下，
丙的作法也正确，但不完整，
乙、丙的作法和结论合在一起才正确
故选B
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，直径所对的圆周角是直角，根据题意作出图形是解题的关键．8、B
【分析】
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．【详解】
解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，AC BC
=，AD BD
=，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．
9、C
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由图可知：AB所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．10、D
【分析】
根据垂径定理解答．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴弧AC＝弧AD，弧BC＝弧BD，CE＝DE，
故选：D．
【点睛】
此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，熟记定理是解题的关键．
二、填空题
1、【分析】
根据阴影部分面积等于以,AC BC 为直径的2 个半圆的面积加上ABC S
减去AB 为半径的半圆面积即ABC S ．
【详解】 解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，
222AC BC AB ∴+=
8AB =，4BC =
AC ∴=∴222
1111111=2222222S AC BC AC BC AB πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⨯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭阴影部分 ()222111224
AC BC AC BC AB π=⋅+⨯+- 12AC BC =
⋅ 1
42
=⨯
=
故答案为：【点睛】
本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
2、256
π 【分析】
根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【详解】
如图，连接BO ，OC ，OA ，
由题意得：△BOC ，△AOB 都是等边三角形，
∴∠AOB ＝∠OBC ＝60°，
∴OA∥BC，
∴OBC ABC S S =，
2605253606
BOC S S ππ⨯⨯∴===阴扇． 故答案为：
256
π． 【点睛】 本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出BOC S S =阴扇． 3、π
【分析】
如图（见解析），连接BC ，先根据圆周角定理可得BC 是圆形纸片的直径，从而可得BC =用勾股定理可求出AB 的长，然后利用扇形的面积公式即可得．
【详解】
解：如图，连接BC ，
由题意得：,90AB AC BAC =∠=︒，
BC ∴是圆形纸片的直径，
BC ∴=
在Rt ABC 中，BC =
解得2AB =， 则这个扇形（阴影部分）的面积为2
902360
ππ⨯=， 故答案为：π．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、扇形的面积等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．
4、在⊙A 上
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OA ，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O 与⊙A 的位置关系．
【详解】
解：∵点A 的坐标为（4，3），
∴OA ，
∵半径为5，
∴OA=r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．
5、2410 59
π
-
【分析】
根据题意先得出△AOE≌△DOE,进而计算出∠AOD=2∠B=100°，利用四边形ODEA的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积．
【详解】
解：连接EO、DO，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠AOE=∠B，∠EOD=∠BDO，
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO，
∴∠AOE=∠EOD，
在△AOE 和△DOE 中
OA OD AOE DOE OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AOE ≌△DOE ，
∵点E 是AC 的中点，
∴AE =12AC =2.4，
∵∠AOD =2∠B =2×50°=100°， ∴图中阴影部分的面积=2•12×2×2.4-21002360
π⋅⋅=241059π-. 故答案为：
241059
π-. 【点睛】 本题考查切线的性质以及圆周角定理和扇形的面积公式和全等三角形判定性质，注意掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
三、解答题
1、（1）（4，2）；（2）见解析；（3
r ≤【分析】
（1）根据三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点即可找到点P ；
（2）根据位似中心与三角形三个顶点的连线将原三角形扩大2倍即可；
（3）根据直线和圆的位置关系：当半径大于或等于点A 到BC 的距离时，⊙A 与线段BC 有一个或两个公共点即可．
【详解】
解：如图所示：
（1）点P即为△ABC的外心，P点的坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）；
（2）图中画出的△A′B′C′即为所求作的图形；
（3）观察图形可知：r时，⊙A与线段BC有一个公共点．
此时⊙A与线段BC相切，
当
r AC
===A只经过点C，
∴r
r
r
【点睛】
本题考查了作图−位似变换、三角形的外接圆与圆心、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是根据位似中心画位似图形．
2、（1）（2）20
3π．
【分析】
（1）根据弦AB垂直平分半径OC，OC=OB=10cm，得出OD=CD=1
5
2
OC=，∠ODB=90°，根据勾股定理
BD=AB=2BD=2×
（2）根据锐角三角函数定义求出cos∠DOB =
51102
OD OB ==，得出∠DOB =60°，利用弧长公式求出12010201803l ππ⨯==即可． 【详解】
解：（1）∵弦AB 垂直平分半径OC ，OC =OB =10cm ，
∴OD =CD =152
OC =，∠ODB =90°，
∴BD ===
∴AB =2BD =2×=
故答案为
（2）cos∠DOB =51102
OD OB ==， ∴∠DOB =60°，
∴AB 的度数为2×60°=120°， ∴12010201803
l ππ⨯==． 【点睛】
本题考查垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长，掌握垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长是解题关键．
3、（1）旋转中心为BC 边的中点O ，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为
等边△ABC 三边垂直平分线的交点O ，理由见解析；（311CD ≤≤
【分析】
问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；
尝试应用（2）首先通过证明△ABD 和△CAE 全等说明点A 和点B 对应，点C 和点A 对应，从而作AB 和AC 的垂直平分线，其交点即为旋转中点；
拓展创新（3）首先确定出D 点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD 最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：问题背景（1）如图所示，作AO ⊥BC ，交BC 于点O ，
由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC =90°，OA =OC ，
∴点A 是由点C 绕点O 逆时针旋转90°得到，
同理可得，点B 是由点A 绕点O 逆时针旋转90°得到，
点D 是由点E 绕点O 逆时针旋转90°得到，
∴△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，旋转中心为BC 边的中点O ，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；
尝试应用（2）∵△ABC 为等边三角形，
∴AB =AC ，∠BAC =60°，
∵∠DAC =∠DAB +∠BAC =∠AEC +∠EAC ，∠BAC =∠AEC =60°，
∴∠DAB =∠ECA ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC DAB ECA AB CA ∠⎪∠⎧=∠∠=⎪⎨⎩
= ∴△ABD ≌△CAE (AAS )，
∴△ABD 的A 、B 、D 三点的对应点分别为△CAE 的C 、A 、E 三点，
则AC 、AB 分别视作两组对应点的连线，
此时，如图所示，作AC 和AB 的垂直平分线交于点O ，
∵△ABC 为等边三角形，
∴由等边三角形的性质可知，OC =OA =OB ，∠AOC =120°，
∴△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC 三边垂直平分线的交点O ；
拓展创新（3）由（1）知，在直线l 旋转的过程中，总有∠ADB =90°，
∴点D 的运动轨迹为以AB 为直径的圆，
如图，取AB 的中点P ，连接CP ，交⊙P 于点Q ，
则当点D 在CP 的延长线时，CD 的长度最大，
当点D 与Q 点重合时，CD 的长度最小，即CQ 的长度，
∵AB =AC ，AB =2，
∴AP =1，AC =2，
在Rt △APC 中，CP
由圆的性质，PD =AP =1，
∴PD =PQ =1，
∴1CD CP PD =+=，1CQ CP PQ =-=，
∴CD11
CD
≤≤．
【点睛】
本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出动点的轨迹，熟练运用圆的相关知识点是解题关键．
4、见详解
【分析】
连接OC，由题意易得∠AOC=60°，则有∠B=∠OCB=30°，然后可得∠P=∠B=30°，进而可得
∠OCP=90°，最后问题可求证．
【详解】
证明：连接OC，如图所示：
∵AC的长为π，AB=6，
∴OC=OA=3，
3
180
AC
n
l
π
π
==，
∴60AOC ∠=︒，
∵OB =OC ，
∴∠B =∠OCB =30°，
∵BC =PC ，
∴∠P =∠B =30°，
∴∠POC +∠P =90°，即∠OCP =90°，
∵OC 是圆O 的半径，
∴直线PC 与⊙O 相切．
【点睛】
本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
5、16AB =
【分析】
连接OA ，根据⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2可求出OM 的长，由勾股定理求出AM 的长，再由垂径定理求出AB 的长即可．
【详解】
解：如图，连接OA ．
∵OM ：MC ＝3：2，OC ＝10，
∴OM＝33
10
55
OC=⨯=6．
∵OC⊥AB，
∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．
在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，
∴AM=8．
∴AB＝2AM =16．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．。