2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学实验班高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学实验班高一（下）期末数学试卷
一、单选题
1．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（3，+∞）
B ．（1，3）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
2．已知复数z 满足11−z
=2i ，则z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知平面上有三个点A ，B ，C ，则命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“AB →
⋅AC
→
＜0”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知由样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为y =2x −0.4，且x =2，去除两个样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本（4，8）的残差为（ ） A ．0
B ．﹣1
C ．1
D ．2
5．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转π3
后，交单位圆于点P(x ，−3
5)，那么sin α＝（ ） A ．
−4+3√3
10
B ．
−4−3√3
10
C ．
−3−4√3
10
D ．
−3+4√3
10
6．足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的5
6
，女性喜爱足球的人数占女性人数的1
3
，若本次
调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人．
χ2
=n(ad−bc)
2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
7．某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲、乙、丙、丁4位同学每人限报其中1项．已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于
（ ） A ．
118
B ．
3
32
C ．2
9
D ．8
9
8．已知锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2+bc ，若cos （C ﹣B ）+λcos A 存在最大值，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(0，√2) B ．(1，√3) C ．（0，2） D ．（2，4）
二、多选题
9．下列命题中真命题是（ ）
A ．设一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则s 2=1
n ∑ n i=1x i 2−(x)2
B ．已知随机变量X ～B(n ，1
3
)，若D （3X ﹣2）＝12，则n ＝4
C ．两个变量的相关系数r 越大，它们的相关程度越强
D ．若随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜4）＝0.8，则P （0＜ξ＜2）＝0.3
10．已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π
2)的导函数f ′（x ）的部分图象如图所示，其中点A ，B 分别为f ′（x ）的图象上的一个最低点和一个最高点，则（ ）
A ．f ′(x)=−sin(2x +π
6) B ．f （x ）图象的对称轴为直线x =−
π12+kπ
2
(k ∈Z)
C ．函数f （x ）在[−4π
3，−7π
6]上单调递增
D ．将f （x ）的图象向右平移
3π4
个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到f ′（x ）的图象
11．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为1，记BC →
=e →
，则（ ）
A ．AD →=2(AE →+AC →
)
B ．AB →⋅(EA →+2FA →)=|AB →
|2 C ．BC →
(CD →
⋅FE →
)=(BC →
⋅CD →
)FE →
D ．A
E →
在CB →
方向上的投影向量为32
e →
12．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲
正弦函数sin ℎx =e x −e −x 2和双曲余弦函数cos ℎx =e x +e −x
2，从它们可以导出双曲正切函数tan ℎx =
e x −e −x
e x +e −x
等，则下列说法正确的是（ ）
A ．（tanh x ）′＝1﹣（tanh x ）2
B ．tanh x ＞cosh x 恒成立
C ．∀x 0＞0，sinh （sinh x 0）＞sinh x 0
D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则sinℎx 1−sinℎx 2
x 1−x 2
＞1
三、填空题
13．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为 ．
14．向量|a →
|=|b →
|=1，|c →
|=√2，且a →
+b →
+c →
=0→
，则cos〈a →
−c →
，b →
−c →
〉= ． 15．已知x 2﹣3xy +2y 2＝1（x ，y ∈R ），则x 2+y 2的最小值为 ． 16．已知当x ∈(−1
2
，12
)时，有
11+2x
=1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，若对任意的x ∈(−12，12
)都有
x
(1−x 3)(1+2x)
=a 0+a 1x +⋯+a n x n +⋯，则a 9＝ ．
四、解答题
17．（10分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BP →
=1
3BC ，Q 是边AB （含端点）上的动点．
（1）若AQ →
=25AB →
，O 点为AP 与CQ 的交点，请用AB →，AC →表示AO →；
（2）若点Q 使得AP →
⊥CO ，求cos ∠BAC 的取值范围．
18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c
b =sinA −sin(B −C)．
（1）求角B ；
（2）设b ＝2，当c +√2a 的值最大时，求△ABC 的面积．
19．（12分）如图，三棱锥P ﹣ABC ，P A ＝PB ＝3，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝θ（0＜θ＜π），平面P AB ⊥平面ABC ，点M 为线段PC 上的动点．
（1）若点M 为PC 的中点时AM ⊥AB ，求BC 的长；
（2）当θ=π
3
时，是否存在点M 使得直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为
√165
33
？
20．（12分）已知向量a →
=(√3cosωx ，−cosωx)，b →
=(sinωx ，cosωx)，其中ω＜0，若函数f(x)=a →
⋅b →
+
1
2
的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）在[﹣π，π]上的单调递增区间；
（2）若关于x 的方程2a[f(x +5π
12)+f(x +2π
3)]2−2[f(x +5π
12)+f(x +π
6)]−5a +1
2=0在[0，π
4]有解，求实数a 的取值范围．
21．（12分）为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者，《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2．
（1）若p 1=34
，p 2=23
，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当p 1+p 2=6
5，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学组成的小组在此次活动中获得“优秀小组”的期望值为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？ 22．（12分）已知函数f(x)=ax −sinx
2+cosx ． （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性； （2）若∀x ＞0都有f （x ）＞0，求a 的取值范围．
2022-2023学年江苏省苏州市昆山中学实验班高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（3，+∞）
B ．（1，3）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
解：由x 2﹣2x ﹣3＞0，得（x +1）（x ﹣3）＞0，解得x ＜﹣1或x ＞3， 所以B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}， 因为A ＝{x |x ＞1}，
所以A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 故选：C ． 2．已知复数z 满足11−z
=2i ，则z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解：∵1−z =
12i =−12
i ， ∴z =1+1
2i ， ∴z =1−12
i ，
故z 在复平面内对应的点(1，−1
2)位于第四象限． 故选：D ．
3．已知平面上有三个点A ，B ，C ，则命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“AB →
⋅AC
→
＜0”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：当A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形时，AB →
⋅AC →
＜0，
从而命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”是“AB →⋅AC →
＜0”的充分条件， 当三个点A ，B ，C 共线且∠BAC ＝180°时，满足AB →⋅AC →
＜0，但是A ，B ，C 不能构成三角形， 从而命题“A ，B ，C 可以构成一个A 为钝角的钝角三角形”不是“AB →⋅AC →
＜0”的必要条件． 故选：A ．
4．已知由样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为y =2x −0.4，且x =2，去除两个样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本（4，8）的残差为（ ） A ．0
B ．﹣1
C ．1
D ．2
解：将x =2代入y =2x −0.4，得y =2×2−0.4=3.6， 去除两个样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后， 得x′=
2×108=52，y′=3.6×108=92，可得a =92−3×5
2
=−3， 故去除样本点（﹣3，1）和（3，﹣1）后的回归直线方程为y =3x −3． 当x ＝4时，y =3×4−3=9，则样本（4，8）的残差为8﹣9＝﹣1． 故选：B ．
5．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转π
3后，交单位圆于点P(x ，−3
5
)，
那么sin α＝（ ） A ．
−4+3√3
10
B ．
−4−3√3
10
C ．
−3−4√3
10
D ．
−3+4√3
10
解：由点P 在单位圆上，则x 2+(−35
)2=1，解得x =±45
， 由锐角α∈(0，π2
)，即α−
π3∈(−π3，π6)，则x =45， 故cos(α−π3
)=45，sin(α−π3
)=−35
， 所以sinα=sin(α−π3+π3)=sin(α−π3)cos π3+cos(α−π3)sin π3=(−35)×12+45×√32=−3+4√310
． 故选：D ．
6．足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的5
6
，女性喜爱足球的人数占女性人数的1
3
，若本次
调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人．
χ2
=n(ad−bc)
2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
解：设被调查的男性为x 人，则女性为2x 人，依据题意可得列联表如下表：
χ2=
3x(5x 6⋅4x 3−2x 3⋅x
6)2
3x 2⋅3x
2⋅x⋅2x
=2x
3，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论， 所以有χ2≥7.879，即
2x 3
≥7.879，
解得x ≥11.8185，又因为上述列联表中的所有数字均为整数， 故x 的最小值为12． 故选：C ．
7．某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲、乙、丙、丁4位同学每人限报其中1项．已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ） A ．
118
B ．
3
32
C ．2
9
D ．8
9
解：甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率为C 41A 33C 4
1⋅33=2
9
．
故选：C ．
8．已知锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2+bc ，若cos （C ﹣B ）+λcos A 存在最大值，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(0，√2)
B ．(1，√3)
C ．（0，2）
D ．（2，4）
解：由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+bc ， 则c ﹣b ＝2b cos A ，
由正弦定理得sin C ﹣sin B ＝2sin B cos A ， 所以sin （A +B ）﹣sin B ＝2sin B cos A ， 所以sin A cos B +sin B cos A ﹣sin B ＝2sin B cos A ， 化简得sin A cos B ﹣sin B cos A ﹣sin B ＝0， 即sin （A ﹣B ）＝sin B ，
因为0＜A ＜π
2，0＜B ＜π2
， 所以−π2＜A −B ＜π
2， 所以A ﹣B ＝B ，即A ＝2B ， 又{
0＜B ＜π
20＜2B ＜π20＜π−3B ＜π
2，则π6＜B ＜π4，
所以0＜cos2B ＜1
2，
cos （C ﹣B ）+λcos A ＝cos （π﹣4B ）+λcos2B ＝﹣2cos 22B +λcos2B +1存在最大值， 则0＜14λ＜12
，即0＜λ＜2． 故选：C ． 二、多选题
9．下列命题中真命题是（ ）
A ．设一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则s 2=1n
∑ n i=1x i 2−(x)2
B ．已知随机变量X ～B(n ，1
3)，若D （3X ﹣2）＝12，则n ＝4
C ．两个变量的相关系数r 越大，它们的相关程度越强
D ．若随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜4）＝0.8，则P （0＜ξ＜2）＝0.3
解：对于A ：由方差公式可得s 2=1n ∑ n i=1（x i −x ）2=1
n （∑ n i=1x i 2+n x 2﹣2∑ n i=1x i x ） =1n （∑ n i=1x i 2+n x 2﹣2n x 2）=1n （∑ n i=1x i 2−n x 2）=1
n ∑ n i=1x i 2−x 2，故A 正确；
对于B ：因为随机变量X ～B （n ，1
3
），
所以D （X ）＝n •13•23
=2
9
n ，
则D （3X ﹣2）＝32D （X ）＝9•2
9
n ＝2n ，
因为D （3X ﹣2）＝12，
所以2n ＝12，解得n ＝6，故B 错误；
对于C ：两个变量得相关系数越接近1，它们得相关程度越强，故C 错误； 对于D ：因为随机变量ξ服从正态分布N （2，δ2），且P （ξ＜4）＝0.8， 所以P （ξ＜4）＝0.8，
P （ξ≤0）＝P （ξ≥4）＝1﹣0.8＝0.2，
P （0＜ξ＜2）＝0.5﹣P （ξ≤0）＝0.5﹣0.2＝0.3，故D 正确． 故选：AD ．
10．已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π
2)的导函数f ′（x ）的部分图象如图所示，其中点A ，B 分别为f ′（x ）的图象上的一个最低点和一个最高点，则（ ）
A ．f ′(x)=−sin(2x +π
6) B ．f （x ）图象的对称轴为直线x =−
π12+kπ
2
(k ∈Z)
C ．函数f （x ）在[−4π
3，−7π
6]上单调递增
D ．将f （x ）的图象向右平移
3π4
个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到f ′（x ）的图象
解：f ′（x ）＝﹣ωsin （ωx +φ）， 由图象知T ＝2×（
2π
3−π
6）＝2×3π
6=π，即2π
ω
=π，得ω＝2，
则f ′（x ）＝﹣2sin （2x +φ），
由五点对应法2×（−π
12）+φ＝0，得φ=π
6，
即f （x ）＝cos （2x +π
6），f ′（x ）＝﹣2sin （2x +π
6），故A 错误； 由2x +π6
=k π，得x =−π12+kπ2，k ∈Z ，即f （x ）图象的对称轴为直线x =−π12+kπ
2，k ∈Z ，故B 正确； f （x ）＝cos （2x +π6
），
当x ∈[−4π
3，−7π
6]，则2x ∈[−8π
3，−7π
3]，2x +π
6∈[−5π
2，−13π
6]，此时y ＝cos x 为增函数，故C 正确； 将f （x ）的图象向右平移
3π4
个单位长度，得到y ＝cos[2（x −
3π4）+π6]＝cos （2x −3π2+π
6
） ＝cos[3π
2−（2x +π6）]＝﹣cos[π2
−（2x +π6）]＝﹣sin （2x +π
6），再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，
得到y ＝﹣2sin （2x +π
6
），此时可以得到f ′（x ）的图象，故D 正确． 故选：BCD ．
11．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为1，记BC →
=e →
，则（ ）
A ．AD →
=2(AE →
+AC →
)
B ．AB →⋅(EA →+2FA →)=|AB →
|2 C ．BC →
(CD →
⋅FE →
)=(BC →
⋅CD →
)FE →
D ．A
E →
在CB →
方向上的投影向量为32
e →
解：对于选项A ，AD →
=AF →
+FE →
+ED →
=AF →
+CD →
+AB →
+ED →
=2（AF →
+ED →
）， 又AF →
+ED →
−(AE →
+AC →
)=AF →
+AB →
−AE →
−AC →
=EF →
+CB →
=2CB →
≠0→
， 所以选项A 错误；
对于选项B ，因为AB →
⊥EA →
， 所以AB →
•EA →
=0，
所以AB →
•（EA →
+2FA →
）=AB →
•（2FA →
）=AB →
•EB →
=|AB →
|2， 所以选项B 正确；
对于选项C ，因为BC →
（CD →
•FE →
）=12BC →，（BC →•CD →）FE →=12
FE →，且BC →=FE →，
所以BC →（CD →•FE →）＝（BC →•CD →）FE →
， 所以选项C 正确；
对于选项D ，AE →
在CB →
方向上的投影向量为
AE →⋅CB →|CB →
|CB →
|CB →
|
＝（AE →
•CB →
）CB → =√3×1×cos150°CB →
=−32
CB →
=32e →
，
所以选项D 正确． 故选：BCD ．
12．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲
正弦函数sin ℎx =
e x −e −x 2和双曲余弦函数cos ℎx =e x +e −x
2
，从它们可以导出双曲正切函数tan ℎx =e x −e −x
e x +e −x
等，则下列说法正确的是（ ） A ．（tanh x ）′＝1﹣（tanh x ）2
B ．tanh x ＞cosh x 恒成立
C ．∀x 0＞0，sinh （sinh x 0）＞sinh x 0
D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则
sinℎx 1−sinℎx 2
x 1−x 2
＞1
解：对于A ：tan ℎx =e x −e −x e x +e −x =e 2x −1
e 2x +1
，x ∈R ，
(tan ℎx)′=
2e 2x (e 2x +1)−(e 2x −1)⋅2e 2x
(e 2x +1)
2
=
4e 2x (e 2x +1)
2，
1−(tan ℎx)2=1−(e 2x −1e 2x +1
)2
=(e 2x +1)2
−(e 2x −1)
2
(e 2x +1)
2
=
(e 2x +1+e 2x −1)(e 2x +1−e 2x +1)
(e 2x +1)
2
=
4e 2x
(e 2x +1)
2，
∴（tanh x ）′＝1﹣（tanh x ）2，故A 正确； 对于B ：设e 2x +1＝t ＞1，则e 2x ＝t ﹣1， 则tan ℎx =t−2
t =1−2
t ∈(−1，1)，
cos ℎx =e x +e −x 2≥2√e x ⋅e −x 2
=1，当且仅当e x ＝e ﹣
x ，即x ＝0时等号成立，
∴cosh x ∈[1，+∞）， ∴tanh x ＜cosh x ，故B 错误；
对于C ：∵(sin ℎx)′=e x +e −x
2
＞0， ∴y ＝sinh x 在R 上单调递增， 设f （x ）＝sinh x ﹣x ，x ＞0， 则f ′(x)=
e x +e −x 2−1=e x +e −x −2
2
， ∵e x +e ﹣
x ≥2，
∴f ′(x)=e x +e −x −2
2
≥0，
∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴f （x ）＞f （0）＝0，即sinh x ＞x ，
∴∀x 0＞0，sinh （sinh x 0）＞sinh x 0，故C 正确；
对于D ：不妨设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，
由C 得f （x ）＝sinh x ﹣x ，x ∈R ，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （x ）＞0，
又∵f(−x)=e −x −e x
2
+x =−f(x)，即f （x ）为R 上奇函数，
∴f （x ）＝sinh x ﹣x 在（﹣∞，0）上单调递增，且f （x ）＜0， ∴f （x ）在R 上单调递增，
∴f （x 1）﹣f （x 2）＝sinh x 1﹣x 1﹣（sinh x 2﹣x 2）＞0， 即sinh x 1﹣sinh x 2＞x 1﹣x 2， ∴
sinℎx 1−sinℎx 2
x 1−x 2
＞1，故D 正确，
故选：ACD ． 三、填空题
13．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为 7200 ． 解：先排5个独唱节目有A 55种排法，
在五个节目之间形成的空位不包括第一个中，放入3个舞蹈节目有A 53种排法，
根据分步计数原理可得不同的排法总数为A 55A 53=7200种．
故答案为：7200．
14．向量|a →
|=|b →
|=1，|c →
|=√2，且a →
+b →
+c →
=0→
，则cos〈a →
−c →
，b →
−c →
〉= 45
．
解：因为向量|a →
|＝|b →
|＝1，|c →
|=√2，且a →
+b →
+c →
=0→
， 所以−c →
=a →
+b →，
所以c →
2＝（a →
+b →
）2=a →
2+b →
2+2a →•b →
， 所以2＝1+1+2×1×1×cos ＜a →
，b →
＞， 所以cos ＜a →
，b →
＞=0， 所以a →
⊥b →，
又a →
−c →
=2a →
+b →
，b →
−c →
=a →
+2b →
，
所以（a →
−c →
）•（b →
−c →
）＝（2a →
+b →
）•（a →
+2b →
）＝2a →2
+2b →
2
+5a →•b →
=2+2+0＝4， 所以|a →
−c →
|＝|b →
−c →
|=√4a →
2+4a →
⋅b →
+b →
2=√4+0+1=√5，
所以cos ＜a →−c →
，b →
−c →
＞=
(a →−c →
)⋅(b →−c →
)|a →−c →||b →−c →
|
=
45×5
=4
5．
故答案为：45
．
15．已知x 2﹣3xy +2y 2＝1（x ，y ∈R ），则x 2+y 2的最小值为 2√10−6 ． 解：因为x 2﹣3xy +2y 2＝（x ﹣y ）（x ﹣2y ）＝1， 所以设x ﹣y ＝t ，则x ﹣2y =1
t （t ≠0）， 所以x ＝2t −1t
，y ＝t −1t
，
所以x 2+y 2＝（2t −1
t ）2+（t −1
t ）2＝5t 2+2
t 2
−6≥2√10−6， 当且仅当5t 2=
2
t 2
时，等号成立， 所以x 2+y 2的最小值为2√10−6． 故选：2√10−6．
16．已知当x ∈(−12，12)时，有11+2x
=1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，若对任意的x ∈(−12，1
2)都有
x
(1−x 3)(1+2x)
=a 0+a 1x +⋯+a n x n +⋯，则a 9＝ 228 ．
解：∵当x ∈(−12
，12
)时，有1
1+2x
=1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n ，
∴到11−x 3
=1+（x 3）1+（x 3）2+…+（x 3）n +…，
则
x
(1−x 3)(1+2x)
=x [1+x 3+x 6+…+x 3n +…]×[1﹣2x +4x 2+…+（﹣2x ）n +…]， a 9为
x
(1−x 3)(1+2x)
展开式中x 9的系数，
因为x [1•（﹣2x ）8+x 3•（﹣2x ）5+x 6•（﹣2x ）2]＝228x 9，所以a 9＝228． 故答案为：228． 四、解答题
17．（10分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BP →
=1
3BC ，Q 是边AB （含端点）上的动点．
（1）若AQ →
=25
AB →
，O 点为AP 与CQ 的交点，请用AB →，AC →表示AO →；
（2）若点Q 使得AP →
⊥CO ，求cos ∠BAC 的取值范围．
解：（1）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BP →
=1
3BC →
，Q 是边AB （含端点）上的动点，
∵BP →
=13
BC →
，
∴AP →
=23AB →+13AC →
，
又∵A 、O 、P 三点共线， 令AO →
=λAP →
=2λ
3AB →
+λ
3AC →
，
∵AB →=52AQ →
，
∴AO →=5λ3AQ →+λ3
AC →
，
而C 、O 、Q 三点共线， ∴
5λ3
+
λ3
=1，
∴λ=12
，
∴AO →
=13AB →+16AC →
；
（2）由已知可得：AP →
=1
3AC →
+2
3AB →
， 又因为CQ →
=AQ →
−AC →
， 设AQ →
=tAB →(0≤t ≤1)， 则CQ →
=tAB →
−AC →
，
由AP →
⊥CQ →
，可得AP →
⋅CQ →
=0，
即(13AC →+23AB →
)⋅(tAB →−AC →)=0， 所以t
3
AC →⋅AB →
−
13
|AC →|2
+
23t|AB →|2
−23
AC →⋅AB →
=0，
即
t−23
×6cos∠BAC −3+
83
t =0，
整理得cos ∠BAC =3−83t 2(t−2)=−83(t−2)−7
3
2(t−2)=−43−76(t−2)
，
因为t ∈[0，1]，y =−43−7
6(t−2)在[0，1]上单调递增， 故cos ∠BAC =−4
3−7
6(t−2)∈[−3
4，−1
6]， 即cos ∠BAC 的取值范围为[−3
4，−1
6]．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c
b
=sinA−sin(B−C)．（1）求角B；
（2）设b＝2，当c+√2a的值最大时，求△ABC的面积．
解：（1）∵在△ABC中，c
b
=sinA−sin(B−C)，A+B+C＝π，
∴由正弦定理得sinC
sinB
=sin(π−B−C)−sin(B−C)=sin(B+C)−sin(B−C)=2cosBsinC，又C∈（0，π），故sin C＞0，故sin2B＝1，
又2B∈（0，2π），则2B=π
2
，解得B=
π
4
；
（2）由（1）得b＝2，B=π4，
由正弦定理得2R=
b
sinπ
4
=2√2，
故c+√2a=2RsinC+√2×2RsinA=2√2[sinC+√2sin(C+π4 )]
=2√2(sinC+sinC+cosC)=2√2(2sinC+cosC)
=2√10sin(C+φ)，其中cosφ=2√5
5
，sinφ=√5
5
，且φ∈(0，
π
2
)，
∵C∈(0，3π
4
)，故C+φ∈(φ，3π4+φ)，
3π
4
+φ∈(
3π
4
，
5π
4
)，
故sin（C+φ）的最大值为1，此时C+φ=π
2
，即C=
π
2
−φ，
故sinC=sin(π
2
−φ)=cosφ=
2√5
5
，cosC=cos(
π
2
−φ)=sinφ=√
5
5
，
∴c=2RsinC=2√2×2√5
5
=
4√10
5
，
又sinA=sin(3π
4
−C)=√
2
2
(sinC+cosC)=√
2
2
×
3√5
5
=
3√10
10
，
故a=2RsinA=2√2×3√10
10
=
6√5
5
，
∴S△ABC=1
2
acsinB=
1
2
×
4√10
5
×
6√5
5
×√
2
2
=
12
5
，即△ABC的面积为
12
5
．
19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC，P A＝PB＝3，AB＝AC＝4，∠BAC＝θ（0＜θ＜π），平面P AB⊥平面ABC，点M为线段PC上的动点．
（1）若点M为PC的中点时AM⊥AB，求BC的长；
（2）当θ=π
3
时，是否存在点M使得直线BM与平面ABC所成角的正弦值为
√165
33
？
解：（1）取AB 的中点D ， 因为P A ＝PB ， 所以PD ⊥AB ，
又平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ， 所以PD ⊥面ABC ，
以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，
则A （﹣2，0，0），B （2，0，0），P （0，0，√5）， C （﹣2+4cos θ，4sin θ，0），M （2cos θ﹣1，2sin θ，√52
）， 所以AB →
=（4，0，0），AM →
=（2cos θ+1，2sin θ，√52
）， 因为AM ⊥AB ， 所以AM →
•AB →=0， 所以4（2cos θ+1）＝0， 所以cos θ=−1
2， 因为0＜θ＜π， 所以θ=
2π
3
， 所以在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos θ＝16+16﹣2×4×4×（−1
2）＝48， 所以BC ＝4√3．
（2）存在点M 使得直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为√165
33
，
理由：当θ=π
3时，C （0，2√3，0），M （0，√3，
√5
2
），
所以BM →
=（﹣2，√3，√52
）， 因为PD ⊥面ABC ，
所以面ABC 的一个法向量为n →
=（0，0，1）， 设直线BM 与平面ABC 所成的角为φ， 则sin φ＝|cos ＜BM →
，n →
＞|＝|
BM →⋅n
→
|BM →
||n →
|
|(−2，√3，
√5
)⋅(0，0，1)(−2)+(√3)+(√2
)√165
33，
所以直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为
√165
33
． 20．（12分）已知向量a →
=(√3cosωx ，−cosωx)，b →
=(sinωx ，cosωx)，其中ω＜0，若函数f(x)=a →
⋅b →
+
1
2
的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）在[﹣π，π]上的单调递增区间；
（2）若关于x 的方程2a[f(x +5π12)+f(x +2π3)]2−2[f(x +5π12)+f(x +π6)]−5a +12=0在[0，π
4]有解，求实数a 的取值范围．
解：（1）∵向量a →
=(√3cosωx ，−cosωx)，b →
=(sinωx ，cosωx)，其中ω＜0，
∴f(x)=a →
⋅b →
+12=√3sinωxcosωx −cos 2ωx +12=√32sin2ωx −12cos2ωx =sin （2ωx −π
6）， ∵函数f(x)=a →
⋅b →
+1
2的最小正周期为π，∴π
−ω
=π，解得ω＝﹣1，
∴f （x ）＝sin （﹣2x −π
6）＝﹣sin （2x +π
6），
∵2k π+π
2≤2x +π
6≤2k π+3π
2（k ∈Z ），∴k π+π
6≤x ≤kπ+2π
3，（k ∈Z ）， ∵x ∈[﹣π，π]，当k ＝﹣1时，−5π6≤x ≤−π
3
， 当k ＝0时，π
6≤x ≤
2π3
，
∴函数f （x ）在[﹣π，π]上的单调递增区间为[−5π
6，−π
3]，[π
6，2π
3
]．
（2）由（1）知，f （x +5π
12）＝﹣sin[2（x +5π
12）+π
6]＝﹣sin （2x +π）＝sin2x ， f （x +2π
3）＝﹣sin[2（x +2π
3）+π
6]＝﹣sin （2x +3π
2）＝cos2x ， f （x +π
6）＝﹣sin[2（x +π
6）+π
6]＝﹣sin （2x +π
2）＝﹣cos2x ，
方程2a [f （x +5π
12）+f （x +2π
3）]2﹣2[f （x +5π
12）+f （x +π
6）]﹣5a +1
2=0，
即方程2a （sin2x +cos2x ）2﹣2（sin2x ﹣cos2x ）﹣5a +1
2
=0，
由0≤x ≤π4，得−π4≤2x −π4≤π4，令t ＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π
4）∈[﹣1，1]， ∵（sin2x +cos2x ）2+（sin2x ﹣cos2x ）2＝2，∴（sin2x +cos2x ）2＝2﹣t 2，
原方程化为2a （2﹣t 2）﹣2t ﹣5a +12=0，整理得2at 2+2t +a −1
2=0在[﹣1，1]上有解，
∵a （2t 2
+1）+2t −12=0，a =−2t−122t 2+1=−t−14t 2+12=−t−14
(t−14
)2+12
(t−14
)+9
16
， 当t =1
4
∈[﹣1，1]时，a ＝0， 当t ≠1
4时，令μ=t −1
4，a =−
μ
μ2+12μ+9
16
=−
1
916μ+μ+12
， 当﹣1≤t ＜1
4时，μ∈[−5
4，0）， 函数y =
916μ+μ+12在[−54，−34]上单调递增，在[−3
4，0）上单调递减， 当μ=−34
时，y ＝﹣1，当μ=−54
时，y =−65
，∴y ≤﹣1，∴0＜a ≤1， 综上，−12
≤a ≤1．
∴实数a 的取值范围是（0，1]．
21．（12分）为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者，《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2．
（1）若p 1=3
4，p 2=2
3，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当p 1+p 2=6
5，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学组成的小组在此次活动中获得“优秀小组”的期望值为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
解：（1）第一轮竞赛中他们获“优秀小组”有两种情况：答对题为3道或4道， 则他们获“优秀小组”的概率为：2×（3
4
）2•23•1
3
+2×（2
3
）2•34•1
4
+（3
4
）2•（2
3
）2=2
3；
（2）∵p 1+p 2=6
5，
∴每轮比赛获得“优秀小组”的概率为2p 12p 2（1﹣p 2）+2p 22p 1（1﹣p 1）+p 12p 22
=3p 1p 2（45
−p 1p 2），
令p 1p 2＝t ≤（
p 1+p 22
）2=
925
， ∵0≤p 1，p 2≤1，p 1+p 2=6
5， ∴1
5≤p 1p 2≤
925∴3p 1p 2（45
−p 1p 2）＝﹣3t 2+12
5t ， 令f （t ）＝﹣3t 2+12
5t ，1
5≤t ≤9
25，∵对称轴方程为t =2
5，抛物线开口向下，
∴函数f （t ）在[1
5，
925
]上单调递增，
∴f （t ）的最大值是f （9
25
）＝﹣3（
9
25
）2+125×925=297
625， 设要进行n 轮竞赛，则
297
625
n ≥9，解得：n ≥625
33≈19． ∴理论上至少要进行19轮竞赛． 22．（12分）已知函数f(x)=ax −
sinx
2+cosx
．
（1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性； （2）若∀x ＞0都有f （x ）＞0，求a 的取值范围．
解：（1）当a ＝1时，f(x)=x −sinx 2+cosx ，求导数f ′(x)=1−2cosx+1(2+cosx)2=(cosx+1)2
+2
(2+cosx)
2＞0，
所以f （x ）在R 上单调递增； （2）求导数f ′(x)=3(
12+cosx −13)2+a −1
3
．
a ≥1
3时，f ′（x ）≥0，即函数在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）＞f （0）＝0，符合题意； 当0＜a ＜13
时，令h （x ）＝sin x ﹣3ax ，x ＞0，求导数h ′（x ）＝cos x ﹣3a ，则存在x 0∈(0，π2
)，使得h ′（x 0）＝0，当0＜x ＜x 0时，h ′（x ）＞0，所以h （x ）＞h （0）＝0，即sin x ＞3ax ， 因此，当0＜x ＜x 0时，
sinx 2+cosx
＞
sinx 3
＞ax ，即f （x ）＜0，不符合题意；
当a ≤0时，f(π
2
)＜0，不符合题意． 综上所述，a ≥1
3．。