专题4.4 立体几何中最值问题-2021届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)

一．方法综述
高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,
涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.
二．解题策略
类型一距离最值问题
【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）
A．B．1 C．D．2
【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D.
【举一反三】
1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为
A ．
B ．
C ．
D ．
2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA ，OB ，
OC 两两垂直，现有一小球P 在该几何体内，则小球P 最大的半径为 A ． B ． C ．
D ．
3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．
类型二 面积的最值问题
【例2】【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体
中，，
，
分别是棱
的中点，是底面
内一动点，若直线
与平面
没有公共点，
则三角形面积的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【指点迷津】截面问题，往往涉及线面平行，面面平行定义的应用等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及计算求解能力.解题的关键是注意明确截面形状，确定几何量.本题由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，得解． 【举一反三】
1、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形，
，
，将
绕
边
旋转至
位置，若二面角
的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,11==AA AB ，点P 是平面1111D C B A 内的一个动点，则三棱锥ABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
21 D ．4
1 3、【福建省2019届高三模拟】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为（ ）
A ．2
B ．
C ．3
D ．
类型三 体积的最值问题 【例3】如图，已知平面
平面
，
，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且
，
，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大
值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【指点迷津】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的. 【举一反三】
1、已知AD 与BC 是四面体ABCD 中相互垂直的棱，若6AD BC ==，且60ABD ACD ∠=∠=，则四面体ABCD 的体积的最大值是
A. 182
B. 362
C. 18
D. 36 2、如图，已知平面l α
β=，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =，
6,8AB BC ==，
在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积的最大值是（ ）
A.243
B.16
C.48
D.144
3.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】已知一个高为l 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，内有 一个体积为的球，则的最大值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
类型四 角的最值问题
【例4】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为.
【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M 在点P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当点M 向左移动时，.EM 与AF 所成角逐渐变小，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大. 【举一反三】1、矩形ABCD 中，
，
，将△ABC 与△ADC 沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直
线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是BD 中点，点P 在线段11D B 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是（ ） A ．]33,32[
B ．]21,31[
C ．]33,43[
D ．]3
1
,41[ 3.【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】如图，在正方体中，点P 为AD 的中点，点Q 为
上的动点，给出下列说法：
可能与平面平行；
与BC 所成的最大角为； 与PQ 一定垂直； 与
所成的最大角的正切值为；
．
其中正确的有______写出所有正确命题的序号
4、在正四面体P ABC -中，点M 是棱PC 的中点，点N 是线段AB 上一动点，且AN AB λ=，设异面直线NM 与AC 所成角为α，当12
33
λ≤≤时，则cos α的取值范围是__________．
三．强化训练 一、选择题
1、【甘肃省2019届高三第一次高考诊断】四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形
的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．【广东省东莞市2019届高三第二次调研】已知一个四棱锥的正主视图和俯视图如图所示，其中
，则该四棱锥的高的最大值为
A ．
B ．
C ．4
D ．2 3．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知四棱锥
的底面四边形
的外接圆半径为3，
且此外接圆圆心到点距离为2，则此四棱锥体积的最大值为（ ） A ．12
B ．6
C ．32
D ．24
4．【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M 在俯视图上的对应点为A ，三棱锥表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则线段MN 的长度的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，在矩形ABCD 中， 2,1AB AD ==,点E 为CD 的中点， F 为线段CE （端点除外）上一动点现将DAF ∆沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC 设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）
A.
13 B. 24 C. 12 D. 2
3
6．【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知正四面体的表面积为
，点在
内
（不含边界）. 若，且，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ．
D ．
二、填空题
7．【山东省青岛市2019届高三3月一模】在四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，面
，且
，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．
8．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知正四棱柱
和半径为
的半球O ，底面ABCD 在半球O 底面所在平面上，
，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．
9．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知圆柱和半径为
的半球O ，圆柱的下底面在半球O 底面所在平面上，圆柱的上底面内
接于球O ，则该圆柱的体积的最大值为_____．
10．【江西省上饶市2019届高三二模】一个棱长为的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的体积的最大值是_____.
11．【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为.过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________.
12．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】如图所示，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．
13．【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为
__________．
14．【江西师范大学附属中学2019高三上学期期末】若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为_________．
15．【江西省上饶市2019届高三二模】已知正方体的棱长为，平面与对角线垂直且
与每个面均有交点，若截此正方体所得的截面面积为，周长为，则的最大值为______.
16．【河南省洛阳市2019届高三第二次统考】正四面体中，是的中点，是棱上一动点，
的最小值为，则该四面体内切球的体积为_____.
17．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为
________．。