傅立叶变换

9
最常用的一种周期函数是三角函数。
人们发现, 所有在工程中使用的周期函数都可以用
一系列的三角函数的线性组合来逼近.-- Fourier级数.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
10
周期函数在Dirichlet条件下可以展开为Fourier级数；
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足Dirichlet条件： 2 2


24
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率 间隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总 是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是 周期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多
个无穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinx/x
函数的形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的
fT t 的离散相位频谱； n
若以fT t 描述某种信号,则cn可以刻画 fT t 的频率特征。
14
2. 非周期函数的Fourier积分公式 对任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个
周期函数 fT (t ) 当 T 时转化过来的.
即：
T
lim fT (t ) f (t ).
a0 an ibn an ibn 1 T2 令 c0 , cn , dn , 则 c0 fT (t )dt 2 2 2 T T 2 1 T2 1 T2 cn fT (t ) cos nt i sin nt dt f (t )T e int dt T T 2 T T 2
分布, 称作方波函数f (t)的傅里叶变换.
25
T T 设fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足Dirichlet条件 , 2 2 则 fT (t )可展开为Fourier级数: fT (t )
n


cn eint
n


cn eint ,
{
{
n-1n

27
1 T2 j n t jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2 fT ( )e jn d e jnt n T2 n T 2 jn 令 FT (n ) T fT ( )e d 2 1 f (t ) lim FT (n )e jnt n n 0 2 n 1 lim n 0 2
7.1
傅里叶变换
一、 Fourier变换的定义
二、典型例题
三、Fourier变换的背景
1
一、 Fourier变换的定义
设 f (t ) 满足傅氏积分定理的条件，则
F ( )


f (t )e it dt
称为f (t )的Fourier变换，记为F [ f (t )] . 1 f (t ) F ( )eit d 2 1 称为F ( )的Fourier逆变换，记为F [ F ( )] .
3
在频谱分析中,傅氏变换F()又称为f(t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 频谱). 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数f (t)作傅氏变换, 就是求这个时间. 函数f (t)的频谱.
F
F
arg F

f (t )e jt d t
f (t) t
1 j 2 j 2 1 1 j jt jt f (t ) F ( )e d 2 2 2 e d 2 1 cos t sin t d 2 2 0
13
级数化为：
fT (t )
n
ce
n

in t
1 T 2 fT ( )e in d e in t T n T 2
cn F n
cn
fT t 的离散频谱；
fT t 的离散振幅频谱；
arg cn
0

d
5
另外，由 F =2
sin

可作出频谱图:
F
k sin 0
2

2
3

6
0, t 0 例2 求指数衰减函数f (t ) t e , t 0 的傅氏变换及其积分表达式, 其中 0.
F ( )
0
f4(t)
1
T=4
1
3
17
则
1 T2 cn T fT (t )e jnt dt T 2
1 2 1 1 int int f 4 (t )e dt e dt 4 2 4 1
1 1 int e ein ein 4in 1 4in 1
cos td .
8
三、 Fourier的背景
1. 周期函数的Fourier级数 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随
时间而变的周期函数 fT(t) 打交道. 例如:
t
具有性质 fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒,即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2 T2 bn fT (t )sin ntdt n 1,2, T T 2
引进复数形式：
e int e int e int e int cos nt , sin nt 2 2i
12
级数化为：
a0 eint e int eint e int fT (t ) an bn 2 n 1 2 2i a0 an ibn int an ibn in t e e 2 n 1 2 2
e dt i
i t 1
1 i i 2sin e e i 1 1 it f (t ) F ( )e d 0 F ( )cos td 2

1

1

2sin
0

cos td

2

sin cos t
T
26
1 T2 j n t jn 可知 f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2 当n取一切整数时, n 所对应的点便均匀分 布在整个数轴上:
2 T 2 T
O 1 2 3
令 n n 1 2 T (与n无关)，T 2 0 T , 此时视 n为 (连续变量)

2 2 n , n n T 8 4 4
f8(t)
1
1
T=8
7
t
20
则
1 jn t cn T fT (t )e dt T 2 1 4 1 1 jnt jn t f8 (t )e dt e dt 8 4 8 1 1 1 1 jn t jn jn e e e 8 jn 8 jn 1 1 sin n (n 0, 1, 2,) 4 n
1 T2 1 T2 d n fT (t ) cos nt i sin nt dt f (t )T eint dt c n T T 2 T T 2
1 T2 合并为：cn fT (t )eint dt n 0, 1, 2, T T 2
1 n n 2n T , cn T

T 2
T 2
fT (t )e int dt
1 T2 即 fT (t ) T fT ( )e jn d e jnt . T n 2
由 lim fT (t ) f (t )
dt e

t2
(cos t i sin t )dt
2
e
t2
e cos tdt
/ (4 )





1 F ( )e d 2
i t




e
来自百度文库
2 / (4 ) i t
e d


e
2 / (4 )
T 2


21
则在T=8时,
注意到 2 n n n n , 8 4 再将cn以竖线标在频率图上

22
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
2 n n n n , 16 8 再将cn以竖线标在频率图上

23
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
e e
t jt
d t e ( j )t d t
0

7
例3 求钟形脉冲函数
f (t ) e
t2
( 0)
的傅氏变换和积分表达式. 解：F () f (t )e
2
1 f (t ) 2
1 2
0
i t
T 2

1 由定积分定义 f (t ) F ( )eit d （注：积分限对称）. 2 1 即 f (t ) f ( )e i d eit d f t 付氏积分公式 2
2
在傅氏积分定理条件下，
若F [ f (t )] F ( ), 则F [ F ( )] f (t )；
1
若F [ F ( )] f (t ), 则F [ f (t )] F ( ).
1
f (t ) F ( )：一一对应， 称为一组Fourier变换对.
f (t )称为像原函数，F ( )称为像函数.
fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点；
fT (t )分段单调，且单调区间个数有限，
则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立：
a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt . 2 n1
11
其中 2 T ,
2 T2 an fT (t )cos ntdt n 0,1,2, T T 2
15
例4 矩形脉冲函数为
1 | t | 1 f (t ) 0 | t | 1
如图所示: f (t)
1
1
o
1
t
16
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
f 4 (t )
n


f (t 4n),

2 2 n , n n T 4 2 2
f t 的频谱密度函数；
f t 的振幅频谱；
f t 的相位频谱.
4
二、典型例题
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 0, t 1
的付氏变换及其积分表达式。
F ( )

f (t )e
i t
dt e
1
1
i t


1 sin n (n 0, 1, 2,) 2 n
18
注意到 2 n n n n , T 2 将cn以竖线标在频率图上

19
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
n
f (t 8n),