浅谈反比例函数中的k值法解题

浅谈反比例函数中的“K ”值法解题
姜岩
摘 要：随着新课程标准的推进，近几年，在中考试题中关于反比例函数方面的试题出现了不少新题型。

而反比例函数的“K ”值是一个最关键的因素，可以说是反比例函数的精髓所在。

接下来，让我们一起探讨一下反比例函数中利用“K ”值法解题的问题。

关键词：反比例函数 “K ”值 象限 图像
所谓“K ”值法解题，就是通过反比例函数特有的“K ”值的一些性质进行分析解题。

结合近几年中考题，“K ”值主导的反比例函数习题越来越多。

这里就反比例函数的“K ”值的意义来解决问题进行例析。

以下是利用“K ”值求解关于面积、反比例函数性质、反比例函数图像及反比例函数和正比例函数相结合等方面的解法淡析。

一、“K ”值的几何意义及利用其求相关图形面积
研究函数问题要透视函数的本质特征。

所以，我们先从“K ”值的本质出发对其进行精确剖析。

下面就是反比例函数的几何意义。

反比例函数y=x
k
(k ≠0)中，比例系数k 有一个很重要的几何意义。

那就是：过反比例函数y=
x
k
(k ≠0)的图像上任意一点P 作x 轴，y 轴的垂线PM 、PN ，垂足为M 、N （如图1-1所示），则矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数k 。

从而有PNO S ∆=PMO S ∆=
k 2
1。

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。

现举例说明。

例1.已知点C 为反比例函数6
y x
=-
上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为 。

解析：因为四边形AOBC 的面积S=CA ·CB=xy x y =∙,又因为6
y x
=-
,所以xy k =, 即S=6-=6,故四边形AOBC 的面积为6。

例2.（03年全国初中数学联赛试题）若函数kx y =（k ＞0）与函数1
y x
=的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为（ ）。

A 、1
B 、2
C 、k
D 、2
k
解析：如图1-2，若先求出A 、C 两点的坐标，再求△ABC 的面积，则解题过程复杂烦琐。

若能利用反比例函数中k 的几何意义来解，则快刀斩乱麻。

解：由反比例函数图象关于原点成中心对称知O 为AC 中点。

根据反比例函数中k 的几何意义，有：ABO S ∆=
121⨯=2
1。

又△ABO 与△BOC 是等底等高的三角形，
∴ABC S ∆=2
1
2⨯
=1。

故选A 。

小结：以上两道例题都是解反比例函数中比较常见的面积问题。

在解答这部分习题时，首先要明确反比例函数的几何意义到底是什么？此部分的面积习题一般都是求三角形、四边形或由其组成的图形。

我们知道三角形的面积是：ah S 2
1
=
，四边形的面积公式：ab S =。

在反比例函数关系式y=
x
k
(k ≠0)，其中k 是常数，故表达式还可写成xy k = (0≠k ),也就是说比例函数上的点都满足xy k = (k ≠0)。

若是求已知点和x 轴或y 轴围成的三角形面积，把点代入表达式得k xy =，而面积恰巧是
xy 2
1，从而面积为21
k 。

求已知点与坐标轴围成
的四边形面积时，把已知点代入得到k xy =，所求面积也是xy ，即面积是k 。

因为这里点的横纵坐标正是三角形或四边形的边，从而可以很容易的得到面积和k 的关系。

所以在求面积时，都是根据反比例函数上的点横纵坐标的乘积是k 来进一步求得到的。

二、“K ”值对关于反比例函数性质的相关习题的解答
由于反比例函数的表达式为y =
x
k
(k ≠0)，则决定了“K ”值对反比例函数的影响。

当 “K ”值不同时，得到的反比例函数也是不同的。

所以要先从“K ”值出发来分析问题，下面让我们一起看看“K ”值在判断反比例函数、反比例函数解析式、象限及大小的影响。

（一）利用“K ”值判断反比例函数 方法思路：反比例函数x
k
y =
(或xy k =)，其中k 为常数，k ≠0，x ≠0。

例3.在学习路程问题时，我们常用s 表示路程，t 表示时间，v 表示速度。

他们之间满 足关系式s=vt,因此这个关系式也可以写成v= ；或t= ；请根据上面提供的知识，完成下面问题的解答。

已知：某段路程是s 米，如果走完这段路程一共用了t 小时。

问：行走的速度和时间的关系是怎样的？
解析：首先，根据路程公式s=vt 。

我们知道只要把公式变形就能得到所需的公式，即：
v s t =
或t s v =，如果确定了s,就可以确定v 和t 的关系。

所以s 和t 的关系就为v
s t =或
t
s
v =,很容易就能知道是反比例函数。

例4.已知反比例函数的图象经过点（2,3），那么点A )32,3(--,点 B )3,32(, 点C(0,6), 点D )3
2
,9(中，不在反比例函数图象上的点有 。

解析：如果有一些点在同一个反比例函数图象上，那么这些点的横、纵坐标之积不变， 即根据xy k =。

所以在点A )32,3(--，点B )3,32(，点C(0,6)，点D )3
2
,9(中，只 有点C(0,6)点不符合。

例5. （10年陕西中考真题）已知点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）都在反比例函数x
y 6=的图像上，若x 1 x 2=-3，则y 1 y 1的值为 。

解析：因为点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）都在反比例函数上，则x 1 y 1=k=6，x 2 y 2=k=6。

所以x 1 y 1 x 2 y 2=6×6=36。

又因为x 1 x 2=-3，得y 1 y 1=3
36
-=-12。

故答案是-12。

小结：例题1中的v
s t =
或t s
v =是反比例函数，我们根据它的形式 就能知道：如果一
个函数是反比例函数，那么它的形式都类似于y=k x ，其中k
x
是一个分式,自变量x ≠0。

所
以，利用函数“K ”值判断反比例函数是有根据所在的。

接着第二个例题则是判断点是否在反函数上，是例题1的反向思维解题。

如果说反函数的“k ”值是给定的，那么即可以把所给的点都代入，由他们的横纵坐标的乘积是否等于“k ”值来判断即可。

而第三个例题又是在第二个例题基础上，同样是应用点的横纵坐标的乘积等于k 。

不同的是，例题3是关于两个未知点。

（二）“K ”值确定反比例函数的解析式 方法思路：反比例函数的表达式为y=x
k
(k ≠0),在确定函数表达式的时候，只要先确 定k 值，那么函数就被确定。

例 6. (08年东莞市中考真题) 经过点A （1，2）的反比例函数解析式是_____ 。

解析：反比例函数y=x k （k ≠0，k 是常数），要想求解析式，只须确定k 的值。

根据y=x
k ，可以变形xy =k ，把x 、y 的值代入其中，就可以确定k 的值。

解：设反比例函数的解析式是：y=
x
k
（k ≠0，k 是常数）， 把x=1，y=2代入y=x
k ， 得：2=
1
k
，解得：2=k ， 所以，反比例函数解析式是：=
y x
2。

例7.如图2-1，反比例函数x
k
y =
与一次函数y =﹣x ﹣k 的图象相交于A 点，过A 点作AB ⊥x 轴于点B 。

已知AOB S ∆=2，直线y =﹣x ﹣k 与x 轴相交于点C 。

求反比例函数与一次函数的解析式。

解析：由反比例函数x
k y =
中k 的几何意义知AOB S ∆=2=k 21
，故k =±4。

又因为反
比例函数图象中的一支在第二象限，所以k =﹣4。

从而求得两个函数的解析式。

解：设，x
k
y =
和y =﹣x ﹣k ， 由AOB S ∆=2=
k 2
1
， 知，k =2×2=4 得，k =±4 ，
又因图像在第二象限上，知，k ＜0 ， 所以，k =﹣4 ，
把k =﹣4分别代入解析式中，得，
x
y 4
-
=和y =﹣x ﹣4。

小结：此部分的习题都是根据反比例函数表达式决定的，在反比例函数里的已知量只有“k ”，所以只要把“k ”值确定，表达式也就确定了。

例题6里的已知条件是点，而点的横纵坐标的乘积就是“k ”值，所以用1与2相乘就求得了“k ”。

例题7虽然是一次函数和反比例函数的结合题，但是最终都是求“k ”值。

根据已知的面积和象限求得“k ”值，最后确定解析式。

这两个类型题都是先求“k ”值，再把所求的“k ”值代入，即可求出解析式。

所以说，求反比例函数解析式的主旨就是求“k ”值。

（三）“K ”值符号确定反函数图像所在的象限 方法思路：根据反比例函数x
k
y =
的图象是由两支曲线组成的。

当k ＞0时，两支曲线
分别位于第一、三象限内，当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

并以此来确定 图像。

例8.（09年泸州中考真题）已知反比例函数x
k
y =
的图象经过点P(一l ，2)，则这个函数的图象位于( )
A.第二、三象限
B.第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 解析：由于反比例函数x
k
y =
的图象经过点P(一l ，2)，于是得出k 的值为2，根据当 k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，于是图象在第一、三象限内。

故选B 。

例9. (10年上海中考真题)反比例函数x
k
y =
的图象在第一、三象限内，那么（ ） A ．k ＞0 B. k ≠0 C. k ＜0 D.k 取一切实数
解析：由于反比例函数x
k
y =
的图象在第一、三象限内，只有k ＞0时满足。

故选A 。

例10.（08年南宁市中考真题）反比例函数x
m y 2
-=的图象经过一、三象限，那么实
数m 的取值范围是 。

解析：反比例函数的图像分布在了第一象限和第三象限，所以，反比例函数中的常数“k ”的属性应该是正数，在这里，代表常数的是m -2，所以应该有m -2＞0，解不等式，得：m ＞2。

故实数m 的取值范围是m ＞2。

小结：以上的例题都是关于反比例函数图像在第几象限。

那么在这部分里解题的主要思 路就是当k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

根据图像的分布，求k 的范围是这条性质的逆向的应用。

因此，只要确定k 是正数还是负数，就能确定函数的图像分布位置了。

这是正向的应用。

例题8和例题9分别正向和逆向运算的应用，在例题10里，又是进一步的变型题。

是比较常见的例题，它结合了代数不等式，即判断出k 的正负后，再继续求出未知量的范围。

（四）“K ”值符号在反函数上的大小比较 方法思路：反比例函数x
k
y =
的图象, 当k ＞0时，在每一象限内，y 的值随x 的值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 的值的增大而增大。

例11.（06年河北中考真题）已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是函数x
y 2-= 图像上的三个点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3由小到大的顺是 。

解析：由于-2是小于零的数，即k ＜0，故在每一象限内，y 的值随x 的值的增大而增 大。

由x 1＜0＜x 2＜x 3，可得A 点在第二象限，B 、C 两点在第四象限，所以y 1＞0，y 2＜y 3＜0， 即答案为：y 1＞y 3＞y 2。

例12. (08年内江市中考真题) 若()A a b ，，(2)B a c -，两点均在函数1
y x
=的图象上，且0a <，则b 与c 的大小关系为（ ）
A ．b c >
B ．b c <
C ．b c =
D ．无法判断
解析：在这里1
y x
=
是k=1＞0的反比例函数，因此，y 随x 的增大而减小。

在这里：因为，a ＜0，所以，a-2＜0， 从而，A （a ，b ），B （a-2，c ）在函数图像的同一支上， 又因，a-（a-2）=2＞0， 则，a ＞a-2，
因为，y 随x 的增大而减小， 故，b ＜c 。

解：选B 。

例13. (08常州市中考真题) 若反比例函数1
k y x
-=的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是（ ）
A. -1
B. 3
C. 0
D. -3
解析：反比例函数1
k y x
-=
的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以，反比例函数中的常数“k ”的属性应该是正数，在这里，代表常数的是k-1，所以，应该有k-1＞0， 解不等式，得：k ＞1.而四个选项中，只有3是符合要求的。

故答案选B 。

小结：上面的前两道例题都是比较反比例函数图像上不同点对应的函数值的大小。

在解答这类习题时，需要遵循“确定-----比较-----确定”的原则，即先确定所要比较的两个点必须是在函数图像的同一支上，其次是比较两个坐标的横坐标的大小关系，最后就能确定对应的函数值的大小系。

而第三题是利用反向思维，已知了图像的性质来判断在第几象限上，然后再解不等式。

以上我们了解到了反比例函数中的“K ”值对函数本身的性质影响，接下来总结一下反比例函数中有关“K ”值的性质：
三、利用“K ”值判断正比例函数与反比例函数有无交点
方法思路：如果1k ＞0，那么正比例函数的图象经过一、三象限，两个函数图象不相 交，这时反比例函数的图象必经过二、四象限，则必然有2k ＜0,,那么1k 2k ＜0。

如果1k ＜0,那么正比例函数的图象经过二、四象限，两个函数图象不相交，这时反比
例函数的图象必经过一、三象限，则必然有2k ＞0,,那么1k 2k ＜0。

下面根据上诉思路我们来看一道例题。

例14.若反比例函数1k
y x
-=与正比例函数y=2x 没有交点，则k 的取值范围是 。

解析：因为正比例函数x 2y =应该过一、三象限，由于两个函数没有交点，所以反比 例函数1k
y x
-=
的图像过二、四象限，故 2（k -1）＜0，即k ＞1。

小结：有些时候我们怀疑正比例函数和反比例函数怎么会结合在一起，在这里，我找到了他们能结合在一起的关键所在，那就是“K ”值。

也就是说“K ”值决定着他们是否会相交，从而有交点。

正如上面的方法思路所提及的内容，在清楚这类问题的解题思路后会发现是如此的简单，问题的最后都是转换到了不等式问题。

在此类型题中还要清楚的判断出图像的位置所在，也就是代数与几何相结合。

只要掌握好解题思路，一切类型题都会迎刃而解的。

以上仅是对中学课程中的反比例函数的“K ”值问题进行了简单的例析。

主要分为三大块：“K ”值本身的几何意义，“K ”值与函数性质的影响；“K ”值判断正比例函数和反比例函数有无交点。

反比例函数属于“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数的范畴，让大家进一步理解函数的内涵，并感受到现实中存在各种函数。

反比例函数是最最基础的函数之一，是学习后续各类函数的基础，而在反比例函数中不得不加以重视的是“K ”值，与反比例函数的性质子相互影响，同时也是由反比例函数的表达式决定了它的重要地位。

希望通过我们对反比例函数中的“K ”值的理解和整理能帮助大家更好的学习“K ”值，并且了解反比例函数。

参考文献：
[1] 曲一线：5年中考3年模拟，首都师范大学向出版社，教育科学出版社，2010年7月第5版。

[2] 汪国刚：借助反比例函数“k ”值法解题，天利出版社，2010年12月。

[3] 马元鹿：初中数学怎样学，上海科技技术文献出版社，2008年7月。

[4] 金英兰：点击专项初中数学一次函数与反比例函数，延边大学出版社，2010年5月。

[5] 傅荣强：龙门专题，龙门书局出版社，2008年7月。