人教A版高中数学必修四1-5-1 画函数y=Asin(ωx+φ)的图象

课堂典例讲练
思路方法技巧
命题方向 1 函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的作法
[分析]
作出函数 y＝3sin(2x＋π3)的图象． 解析式 或五―变―点换→法法 图象
[解析] 法一：(五点法)： 列表：
2x＋3π
0
π 2
π
3π 2
2π
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
3sin(2x＋3π) 0 3 0 －3 0
[答案] y＝sin(10x－74π)
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx＋φ)的图象上的所有点的纵 坐标伸长(当A>1时)或缩短 (当0<A<1时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的．
[拓展]函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把 函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到 原来的A倍(横坐标不变)而得到的．
法，通常在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用 的“五点”为 (0,0)、(π2，1)、(π，0)、(32π，－1)、(2π，1) ；在余 弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的“五点”为
(0,1)、(π2，0)、(π－1)、(32π，0)、(2π，1) ．
[答案] A
要得到函数 y＝sin12x 的图象，只需将函数 y＝sin12x＋π4的 图象( )
A．向左平移4π个单位长度 B．向右平移π4个单位长度
C．向左平移π2个单位长度 D．向右平移2π个单位长度
[答案] D
[解析] ∵y＝sin12x＝sin12x－2π＋4π， ∴只需将函数 y＝sin12x＋4π向右平移π2个单位长度．
D．y＝sinx＋π3
[答案] D
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝
sin(x＋φ)的图象上所有点的 横 坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当 1
0<ω<1时)到原来的 ω 倍(纵坐标不变)而得到．
[拓展]函数y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数y＝ f(x)的图象上的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时) 到原来的ω1 倍(纵坐标不变)而得到的．
描点连线得到函数在一个周期内的简图，利用函数的周期 性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到 y＝3sin(2x＋π3)，x ∈R 的简图．
法二：(图象变换法)： y＝3sin(2x＋π3)的图象，可用下面方法得到的． 方法①：(x―→x＋π3―→2x＋3π)
方法②：(x→2x→2(x＋π6)＝2x＋π3)
③把函数y＝sin 2x－4π 图象上所有点的纵坐标缩短到原来 的12，得函数y＝12sin2x－4π的图象．
[拓展]y＝sinx的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象一
般有两个途径：
途径一：先相位变换，再周期变换
先将y＝sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
2．函数 y＝tanπ4－x的定义域为(
)
A．{x|x≠π4，x∈R}
B．{x|x≠－4π，x∈R}
C．{x|x≠kπ＋4π，k∈Z}
D．{x|x≠kπ＋34π，k∈Z}
[答案] D
[解析] 由tanπ4－x＝－tanx－π4， ∴x－4π≠kπ＋π2，从而x≠kπ＋34π，k∈Z. 故选D.
3．比较大小 tan1________tan4. [答案] >
③将所得 y＝sin(2x＋1π0)图象上各点纵坐标缩短到原来的13 倍(横坐标不变)，得到 y＝13sin(2x＋1π0)的图象；
④将所得图象向上平移 1 个单位长度，得到 y＝13sin(2x＋1π0) ＋1 的图象.
命题方向 2 函数图象的变换 为得到函数 y＝cos(2x＋π3)的图象，只需将 y＝sin2x
函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得函数y＝
1 2
sin
2x－π4
的图象？
[解析] 步骤：
①将函数y＝sinx的图象向右平移
π 4
个单位长度，得到函数
y＝sinx－4π的图象；
②再把函数y＝sin x－4π 的图象上所有点的横坐标缩短到
原来的12，纵坐标不变，得函数y＝sin2x－4π的图象．
为了得到函数 y＝cos2x－π4的图象，可以将函数 y＝sin2x的 图象( )
A．向左平移2π个单位长度 B．向左平移π4个单位长度 C．向右平移π2个单位长度 D．向右平移4π个单位长度 [答案] A
[解析] y＝cos2x－4π＝sin2π＋2x－π4 ＝sin2x＋π4＝sin12x＋π2，故选 A.
度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的
1 ω
倍(纵坐标
不变)，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
途径二：先周期变换，再相位变换
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的
1 ω
倍(纵坐
标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|ωφ|个单位 长度，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
新课引入 电在人类社会中起着非常重要的作用，交流电中电流强度 I 与时间 t 的关系，物理学中波的传播等，都可以用函数 y＝ Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ 为常数)来表示．由于图象是函数最直观 的模型，那么如何作这类函数的图象，这类函数的图象与正弦 曲线有什么关系？
自主预习 认真阅读教材 P49－53 回答下列问题． 1．φ 对 y＝sin(x＋φ)，x∈R 的图象的影响 如图所示，对于函数 y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作 是把 y＝sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0 时)或向右(当 φ<0 时)平行移动| φ |个单位长度得到的．
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法 (1)五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，2π，π，32π，2π这五个 值)；②描点；③ 连线 ． (2)变换法： ①(相位变换)先把y＝sinx的图象上所有的点 向左(当φ>0时) 或 向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y＝sin(x＋φ) 的图象；
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，而成图象． (3)图象变换法有两种方法，方法一是先平移，后伸缩；方 法二是先伸缩，后平移，表面上看，两种变换方法中平移的单 位数分别是|φ|和|ωφ |.是不同的，但由于平移时平移的对象已有变 化，所以得到的结果都是一致的．
的图象( ) A．向左平移152π 个长度单位 B．向右平移152π 个长度单位 C．向左平移56π 个长度单位 D．向右平移56π 个长度单位
[解析] 先将函数化为同名函数，y＝cos(2x＋π3)＝sin(2x＋ π3＋2π)＝sin(2x＋56π)＝sin2(x＋152π)．故只需将 y＝sin2x 的图象 向左平移152π 个长度单位，即可得到 y＝cos(2x＋π3)的图象．
规律总结：(1)用五点法作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象， 五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 x 轴相交的 点．
(2)用五点法作函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤是： 第一步：列表
ωx＋φ x y
0
π 2
π
32π2πFra bibliotek－ωφ 2πω－ωφ ωπ －ωφ 23ωπ －ωφ 2ωπ－ωφ
[解析] 由正切函数的图象易知tan1>0，tan4＝tan(4－ π)，而0<4－π<1<2π，
函数y＝tanx在－π2，π2上为增函数， ∴tan1>tan(4－π)＝tan4.
4．求函数 y＝tan2x－21tanx＋2的值域．
[解析] y＝tanx－112＋1， ∵(tanx－1)2≥0， ∴(tanx－1)2＋1≥1，即y∈(0,1]．
把函数 y＝sin(2x＋π4)的图象向右平移π8个单位长度，再把
所得图象上各点横坐标缩短到原来的12，则所得图象的解析式
是( )
A．y＝sin(4x＋38π)
B．y＝sin(4x＋8π)
C．y＝sin4x
D．y＝sinx
[答案] C
[解析] 分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平 移是对 x 变化，并且是对单个的 x 进行变化，把 y＝sin(2x＋π4) 的图象向右平移π8个单位长度，用(x－8π)代换原解析式中的 x， 即得函数式 y＝sin[2(x－8π)＋π4]，即 y＝sin2x，再把 y＝sin2x 的 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，就得到解析式 y＝ sin2(2x)，即 y＝sin4x 的图象．
把函数 y＝sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的14(横
坐标不变)，所得图象的解析式为( )
A．y＝4sinx
B．y＝14sinx
C．y＝sin4x
D．y＝sin14x
[答案] B
[解析] 由于各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的14，所 以应当对 sinx 的系数进化变化，即 y＝14sinx.
对象．实际上解答本题问题 时，弄清一条原则：平移是
再伸缩后得 y＝ 针对 x 而言的，而不是针对
sin(10x－34π).
x 及系数一个整体来说的.
[错因分析] 此类问题的解决，应按三角函数图象平移、 伸缩变换的要求，按部就班，但要弄清变换对象，平移方向及 伸缩幅度．
[正解] 将原函数的图象向右平移π4个单位长度，得到 y＝ sin[5(x－π4)－2π]＝sin(5x－74π)的图象，再将所得图象上各点的横 坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 y＝sin(10x－74π) 的图象．
②(周期变换)再把函数y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横
坐标缩短(当ω>1时)或伸长(0<ω<1时)到原来的
1 ω
倍(纵坐标不
变)，得函数y＝ sin(ωx＋φ)的图象；
③(振幅变换)再把函数y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵
坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不 变)，得函数y＝ Asin(ωx＋φ) 的图象．
成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
三角函数
第一章
1．5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第一章
1．5.1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新
1．“五点法”作图是正余弦函数作图中一种非常重要的方
名师辨误作答
平移变换错误 把函数 y＝sin(5x－2π)的图象向右平移4π个单位长度，
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数的解 析式为________．
[错解] 对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见错误
错误原因
右移π4个单位得 y＝ 平移交换时，把 5x 看作变换
sin(5x－34π)的图象，
[拓展]将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度 后，得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象．当a>0时，向左平移， 当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”．
将函数y＝sinx的图象向左平移
π 3
个单位长度后所得图象的
解析式为( )
A．y＝sinx－π3
B．y＝sinx＋3π
C．y＝sinx－3π
将函数 y＝sinx 依次进行怎样的变换可得到 y＝13sin(2x＋ 1π0)＋1 的图象？
[分析] 先相位变换，再周期变换，再振幅变换，最后平 移即可．
[解析] ①将函数 y＝sinx 的图象向左平移1π0个单位，得函 数 y＝sin(x＋1π0)的图象；
②将所得 y＝sin(x＋1π0)图象上各点横坐标缩短到原来的12 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin(2x＋1π0)的图象；