高中数学函数的单调性练习题及其答案

又 f(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，
f (36) f (6), f (36) 2 f (6) 2. f (36), 即 f [x(x＋ 3)] ＜ f(36)，
故不等式等价于：
x30 1
0 x 0 x(x 3) 36
0x
153 3 . 2
18.解析： f(x)在 R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下： 设 x1、x2∈( －∞，＋∞ )， x1 ＜x2 ，则 f(x1)=－ x13＋ 1， f (x2)=－ x23＋1．
x
18．函数 f (x)=－ x3＋ 1 在 R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在 函数？试证明你的结论．
R 上是增函数还是减
2
19．试讨论函数 f(x)= 1 x 在区间［－ 1， 1］上的单调性．
--
2
20．设函数 f(x)= x 2 1 － ax，(a＞ 0)，试确定：当 a 取什么值时，函数 f(x)在 0，＋∞ )上为 单调函数．
20.解析：任取 x 1、x2∈0，＋ 且 x1＜ x2，则
f(x1)－ f(x2)=
x1 2
1－
x22
1 － a(x1－ x2)=
x1 2 x12 1
x2 2 x2 2
－ a(x1－ x2) 1
--
4
=( x1－ x2)(
x1 x12 1
x2 x2 2
－ a) 1
(1) 当 a≥ 1 时，∵
x1 x1 2 1
|f (x ＋ 1)|＜ 1 的解集的补集是
（）
A ． (－ 1，2)
B． (1， 4)
C． (－∞，－ 1)∪ [4，＋∞）
D ． (－∞，－ 1)∪[2，＋∞）
8．已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间 (－∞， 5)上单调递减，对任意实数 t，都有 f(5＋ t)＝ f(5
－ t )，那么下列式子一定成立的是
6．已知函数 f(x)=8＋ 2x－ x2，如果 g(x)=f( 2－x2 )，那么函数 g( x)
A ．在区间 (－ 1， 0)上是减函数
B．在区间 (0， 1)上是减函数
C．在区间 (－ 2， 0)上是增函数
D．在区间 (0 ，2)上是增函数
（）
7．已知函数 f(x)是 R 上的增函数， A(0 ，－ 1) 、 B(3 ， 1)是其图象上的两点，那么不等式
1
A ． (0， )
2
B． ( 1 ，＋∞ ) 2
C． (－ 2，＋∞ )
D． (－∞，－ 1)∪(1，＋∞ )
5．已知函数 f(x)在区间 [ a， b] 上单调 ， 且 f(a)f(b)＜ 0，则方程 f(x)=0 在区间 [ a， b]内（ ）
A ．至少有一实根
B．至多有一实根
C ．没有实根
D．必有唯一的实根
x2 (2)在区间［ 1，＋∞ ) 上， f(x)=
2x a ＞ 0 恒成立
x
x2＋ 2x＋a＞ 0 恒成立
设 y=x2＋ 2x＋ a，x ∈1，＋∞ ) ，由 y=(x＋ 1)2＋ a－ 1 可知其在 [1 ，＋∞ ) 上是增函数，
当 x=1 时， ymin=3＋ a，于是当且仅当 y min=3＋ a＞ 0 时函数 f(x)＞ 0 恒成立．故 a＞－ 3．
1
2
x2
＞ 0，∴当
x1＞ 0，x2＞ 0 时，x1＋ x2＞ 0，那么
f(x1) ＞ f(x2)．
当 x1＜0， x2＜ 0 时， x1＋x2＜0，那么 f(x1) ＜f(x2)．
故 f (x)= 1 x 2 在区间［－ 1，0］上是增函数， f (x)= 1 x 2 在区间［ 0，1］上是减函数．
21．已知 f(x)是定义在 (－ 2，2)上的减函数，并且 f(m－1) －f(1－2m)＞ 0，求实数 m 的取值范 围．
x2 22．已知函数 f(x)=
2x
a ，x∈［ 1，＋∞］
x
（1）当 a= 1 时，求函数 f(x)的最小值； 2
（2）若对任意 x∈ [ 1，＋∞ ) ， f(x) ＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
（）
A ． f(－ 1)＜ f(9) ＜f(13)
B． f(13)＜ f(9) ＜ f(－ 1)
C． f(9) ＜f(－ 1)＜ f(13)
D． f(13)＜ f(－ 1)＜ f(9)
9．函数 f ( x) | x | 和 g(x) x(2 x) 的递增区间依次是
（）
A ． ( ,0], ( ,1]
x2 x2 2
＜ 1， 1
又∵ x1－ x2＜ 0，∴ f (x1)－f (x2)＞ 0，即 f(x1)＞ f(x2) ∴ a≥ 1 时，函数 f(x)在区间［ 0，＋∞ )上为减函数．
2a
(2) 当 0＜ a＜ 1 时，在区间［ 0，＋∞］上存在
x1=0， x2= 1
a 2 ，满足 f(x1)=f (x2)=1
A ． f(a)＋ f(b)≤－ f(a)＋ f(b)］
B． f(a)＋ f(b)≤f (－ a)＋ f(－ b)
C． f(a) ＋f(b)≥－ f(a)＋ f(b)］
D． f(a)＋ f(b)≥ f (－ a)＋ f(－ b)
12．定义在 R 上的函数 y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且 y=f(x＋2)图象的对称轴是 x=0，则 （ ）
函数的单调性
一、选择题：
1．在区间 (0，＋∞ ) 上不是增函数的函数是 A ． y=2x＋ 1
B． y=3x2＋ 1
2
C． y=
x
D． y=2x2＋ x＋ 1
2．函数 f(x)=4 x2－mx＋ 5 在区间［－ 2，＋∞］上是增函数，在区间
则 f (1)等于
（）
(－∞，－ 2)上是减函数， （）
A ．－ 7
A ． f(－ 1)＜ f(3)
B ． f (0)＞ f (3)
二、填空题： 13．函数 y=(x－ 1)-2 的减区间是 ___
wenku.baidu.com
C． f (－ 1)=f (－ 3) D． f(2) ＜ f(3) _．
14．函数 y=x－ 2 1 x ＋ 2 的值域为 __
___．
15、设 y f x 是 R 上的减函数，则 y f x 3 的单调递减区间为
.
16、函数 f(x) = ax2＋4( a＋1)x－ 3 在 [2 ，＋∞ ] 上递减， 则 a 的取值范围是 __
．
三、解答题：
x
17． f(x)是定义在 ( 0，＋∞ )上的增函数，且 f( ) = f (x)－ f(y)
y
（1）求 f(1)的值． （2）若 f(6)= 1，解不等式
1
f( x＋ 3 )－ f( ) ＜ 2 ．
∴ 0＜ a＜1 时， f(x) 在［０，＋ 上不是单调函数
注： ①判断单调性常规思路为定义法；
②变形过程中
x1 x2
＜ 1 利用了 x12 1 ＞ |x1|≥ x1; x2 2 1 ＞ x2；
x12 1
x22 1
③从 a 的范围看还须讨论 0＜ a＜1 时 f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现． 21.解析： ∵ f(x)在 (－ 2， 2)上是减函数
f(x1) －f(x2)=x2 3－ x13=(x2－ x1)(x12＋ x1x2＋ x22)=( x2－ x1)［ (x1＋ x2 )2＋ 3 x22］．
2
4
∵x1＜ x2，∴ x2－ x1＞ 0 而 (x1＋ x2 )2＋ 3 x22＞0，∴ f( x1)＞ f(x2 )．
2
4
∴函数 f(x)= － x3＋1 在 (－∞，＋∞ )上是减函数．
2
2x
设 x2＞x1≥1，则 f(x2)－ f(x1)= x2＋ 1 x1 1 =(x2 －x1 )＋ x1 x2 =( x2－ x1)(1 － 1 )
2x2
2 x1
2 x1 x2
2x1 x2
∵x2＞ x1≥1，
x2－ x1＞ 0， 1－ 1 ＞ 0，则 f(x2)＞f (x1) 2x1 x2
可知 f (x)在［ 1，＋∞ )上是增函数．∴ f(x)在区间［ 1，＋∞ ) 上的最小值为 f(1)= 7 ． 2
--
5
B． ( ,0], [1, )
C． [0, ), ( ,1]
D [0, ), [1, )
--
1
10．已知函数 f x
2
x
2a
1x
2 在区间
,4 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（
）
A ． a≤ 3
B ． a≥－ 3
C． a≤ 5
D． a≥ 3
11．已知 f(x)在区间 (－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R 且 a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
∴由 f (m－ 1)－ f(1－ 2m) ＞0，得 f(m－ 1)＞ f(1－ 2m)
1m3
2 m1 2
∴
2 1 2m 2,即
1
3
m
解得
1
m
2
，∴ m 的取值范围是
(－
12 ,
)
2
2
2
3
23
m 1 1 2m
2
m
3
22.解析： (1) 当 a= 1 时， f(x)= x＋ 1 ＋ 2， x∈ 1，＋∞ )
B．1
C． 17
D． 25
3．函数 f( x)在区间 (－ 2， 3)上是增函数，则 y=f(x＋5)的递增区间是 （ ）
A ． (3， 8)
B． (－7，－ 2)
C． (－ 2，3)
D． (0， 5)
ax
4．函数 f( x)=
1 在区间 (－ 2，＋∞ )上单调递增，则实数
a 的取值范围是
x2
（）
--
3
参考答案
一、选择题： CDBBD ADCCA BA
1
二、填空题： 13. (1，＋∞ )， 14. (－∞， 3)， 15. 3, ，
,
2
三、解答题： 17.解析：①在等式中 令 x y 0 ，则 f(1)=0 ．
②在等式中令 x=36 ， y=6 则 f (36) 6
故原不等式为： f ( x 3) f ( 1 ) x
19.解析： 设 x1、x2 ∈－ 1， 1］且 x1＜ x2，即－ 1≤ x1＜ x2≤ 1．
f(x1) －f(x2)=
1
x12 －
1
x2 2 = (1 1
x1 2 ) x1 2
(1 x2 2 ) = 1 x22
( x 2 x1 )( x2 x1)
2
1 x1
2
1 x2
∵x2－ x1＞0， 1
2
x1