题目汇总高一 立体几何说法题目
高一数学立体几何大题(含答案)
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例 3：如图，PD ⏊ 平面 ABCD,AD ⏊ CD,AB ⎳ CD,PQ ⎳ CD,AD
= CD = DP = 2PQ = 2AB = 2, 点 M 为 BQ 的中点 .
为 的 P Q C -
M-
大小
0 .
Sepm E 却 二
忙=
以 <m (
,
蕊 令 1
二
5 = -
3
※ 琴 㱺 sina.me
㱺 Somc 二 士 心 的 ✗
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.
二号 器 Q到 平面 阰 的 距离 为 : d = 2 5
.io
shnoifst.no
,
㱺 VQ-pmc-f-Somc.dk/nEfsio=fs'm0.
PCHEF 进而 1211 平面 ,
在 阳 仲 , PA-E.AE/,PC=0=)PA4AcEpc2=sAc-1A.
所以 又由 题 干 知 : A 4 P B ,
A
C
1
-
平面阳
13
.
13) 易知 SEFG 二 ftp.c , 所以 /7AB=fSopAB-AC.=f-li2nE.iS'm45J-l
1 求二面角 Q - PM - C 的正弦值;
2 若 N 为线段 CQ 上的点，且直线 DN 与平面 PMQ 所成的角为
π 6
,
求线段
QN
的长
.
子 (2) 由 山 知 二面⻆ QPMC 的 大小 为 ,
劝 的平面 PMQ所 成的 ⻆ 为 至
所以 叽 与平面PMC 所 成的 ⻆
高一数学立体几何初步试题答案及解析
高一数学立体几何初步试题答案及解析1.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）其中正确的个数是A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】其中正确的是④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）故选C。
【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念。
点评：对于这类结论，应结合坐标系牢记。
2.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，构建正方体。
即求棱长为的正方体对角线长，计算得，故选A。
【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。
点评：根据几何体的特征，认识点的坐标。
3.下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A．【考点】本题主要考查平面的基本性质及推论。
点评：理解并记忆，能结合身边的点线面关系加以说明。
4.圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形【解析】因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥母线长为，圆锥底半径，所以此圆锥的轴截面是等边三角形，故选A。
高一数学常考立体几何证明的题目及答案
高一数学常考立体几何证明的题目及答案预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。
2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。
3、已知ABC ?中90ACB ∠=o,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．A EDBCAED 1CB 1DCBASDCB AD 1ODB AC 1B 1A 1C5、正方体''''ABCD A B C D-中，求证：（1）''AC B D DB⊥平面；（2）''BD ACB⊥平面.6、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．7、四面体ABCD中，,,AC BD E F=分别为,AD BC的中点，且22EF AC=，90BDC∠=o，求证：BD⊥平面ACD8、如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，E、F、G分别是AB、AD、11C D的中点.求证：平面1D EF∥平面BDG.9、如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，E是1AA的中点.（1）求证：1//A C平面BDE；（2）求证：平面1A AC⊥平面BDE.10、已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，2AB=，4PA AD==，E为BC的中点．（1）求证：DE⊥平面PAE；AAB1C1CD1DGEF（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥．12、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH.求证：截面EFGH是平行四边形．15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N 分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝23 a，如图．(1)求证：MN∥面BB1C1C；(2)求MN的长．16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC ＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．17．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD . （2）平面EFC ⊥平面BCD.1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
高一立体几何大题练习
高一立体几何大题练习1．如图，平面α∩β=CD，EA⊥α，EB⊥β，且A∈α，B∈β：求证:(1)CD⊥平面EAB;(2)CD⊥直线AB.2．已知:在60º二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm，求CD的长。
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求直线DA1与AC1的夹角;(2)求证:AC1⊥平面A1BD.4．如图，在三棱柱ABC —C B A '''中，点D 是BC 的中点，欲过点A '作一截面与平面D C A ' 平行，问应当怎样画线，并说明理由。
5．已知在三棱锥S--ABC 中，∠ACB=900，又SA ⊥平面ABC ，AD ⊥SC 于D ，求证：AD ⊥平面SBC ，6．已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ；（3）求点A 到平面PMB 的距离．NMBD CA7．如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）平面CDE ⊥平面ABD （2）平面CDE ⊥平面ABC 。
8．已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH ∥BD .H G F ED BAC9．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．10．如图1-19，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ．且CE ＝CA ＝2BD ， M 是EA 的中点，求证： （1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA ．D 1ODBA C 1B 1A 1C。
高一数学立体几何练习题及部分答案大全.docx
立体几何试题一．选择题（每题 4 分，共 40 分）1. 已知 AB3003001500空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形, （2）四边相等的四边形是菱形（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A平行B相交C在平面内D平行或在平面内4. 已知直线 m过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）A 1 个或 2 个B 0个或1个C1个 D 0个6.如图 , 如果 MC 菱形 ABCD 所在平面 , 那么 MA与 BD的位置关系是 ( )A平行B垂直相交C异面D相交但不垂直7. 经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A 0 个B 1个C无数个 D 1个或无数个8.下列条件中 , 能判断两个平面平行的是 ( )B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9. 对于直线m ,n 和平面,, 使成立的一个条件是 ( )A m // n, n, mB m // n, n,mC m n,I m, nD m n, m //, n //)10 . 已知四棱锥 , 则中 , 直角三角形最多可以有 (A 1个B2个 C 3个D4个二．填空题（每题 4 分，共16 分）11. 已知ABC的两边 AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点 O与直线 MN的位置关系为 _________12.过直线外一点与该直线平行的平面有 ___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13. 一块西瓜切 3 刀最多能切 _________块14.将边长是 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起 , 使得折起后 BD得长为 a, 则三棱锥D-ABC的体积为 ___________三、解答题15（10 分）如图，已知 E,F 分别是正方形ABCD A1B1C1 D1的棱 AA1和棱 CC1上的点，且 AE C1 F 。
高一数学立体几何解答题与答案详解
高一数学立体几何解答题与答案详解1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． （1）证明:连结BD .在长方体1AC 中，对角线11//BD B D .又E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴. 11//EF B D ∴.又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1. （2） 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1， ∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．2．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。
（1）求三棱锥D PAC -的体积；（2）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC . 解：（1）11113326D PAC P DAC DAC V V S PD DA DC PD --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）证明：设O 为AC 、BD 的交点，连接PO 在1D DB ∆，PO 是中位线，1//PO D B ∴ 又1D B ⊄平面PAC ，PO ⊂平面PAC 1//D B ∴平面PAC （3）证明：1AB AD == ∴四边形ABCD 是正方形∴AC BD ⊥又1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ∴1B B ⊥AC 而1ACBB B = ∴ AC ⊥平面11BB D D又1B P ⊂平面11BB D D ∴AC ⊥1B P 连接1B O ，由条件知22211113B P D P B D =+=，22232PO DP DO =+=2221192B O BB BO =+=， 显然 22211B O B P PO =+ ∴1B P PO ⊥ 又1B PAC O =PD 1C 1B 1A 1DC BA图6CCA B A1C1B1D∴1B P ⊥平面PAC3．在 正三棱柱C B A ABC 111-中,底面边长为2 (1)设侧棱长为1,求证C B B A 11⊥;(2)设B A 1与C B 1成600角，求侧棱长。
高一数学立体几何题目
1.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：AB⊥C1F；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．2.如图所示，矩形ABCD中，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC和BD交于点G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BFD；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BFG的体积．3.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．4.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D．5.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．6.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．7.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC 的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．8.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．（1）求证：AB1⊥BC1；（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．9.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．10.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．（Ⅰ）证明：NE⊥PD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．-中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，11.如图，在四棱锥P ABCD，，，，O为AC与BD的交点，E为棱PB上∠====6023BAD AB PD AD BD一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若2PE EB =，求二面角E AC B --的大小.12.如图，已知AF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB=90°，AB ∥CD ，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF ∥面BCE ；（2）求证：AC ⊥面BCE ；（3）求三棱锥E ﹣BCF 的体积．13.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PD⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB ；（2）当PD=AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．试卷答案1.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由BB1⊥平面ABC得AB⊥BB1，又AB⊥BC，故AB⊥平面B1BCC1，所以AB⊥C1F；（2）取AB的中点G，连接EG，FG．则易得四边形EGFC1是平行四边形，故而C1F∥EG，于是C1F∥平面ABE；（3）由勾股定理求出AB，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵BB1⊥底面ABC，AB⊂平面ABC∴BB1⊥AB．又∵AB⊥BC，BC⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面B1BCC1，又∵C1F⊂平面B1BCC1，∴AB⊥C1F．（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG．∵F，G分别是BC，AB的中点，∴FG∥AC，且FG=AC，∵AC A1C1，E是A1C1的中点，∴EC1=A1C1．∴FG∥EC1，且FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG．又∵EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE．（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB==．∴三棱锥E﹣ABC的体积V=S△ABC•AA1=×××1×2=．2.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结FG，证明FG∥AE，然后证明AE∥平面BFD．（2）利用V C﹣BGF=V G﹣BCF，求出S△CFB．证明FG⊥平面BCF，求出FG，即可求解几何体的体积．【解答】（1）证明：由题意可得G是AC的中点，连结FG，∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF．而BC=BE，∴F是EC的中点，…（2分）在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．…（2）解：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．…（8分）∵AE∥FG．而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．∵G是AC中点，F是CE中点，∴FG∥AE且FG=AE=1．∴Rt△BCE中，BF=CE=CF=，…（10分）∴S△CFB=××=1．∴V C﹣BGF=V G﹣BCF=•S△CFB•FG=×1×1=．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，三角锥的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．3.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接MP，只需证明四边形MPC1N是平行四边形，即可得MN∥C1P∵C1P，即可证得C1P∥平面MNC；（2）只需证明CM⊥平面MNC，即可得平面MNC⊥平面ABB1A1．【解答】证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点∵MP∥AC，MP=，又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN∵C1P⊄面MNC，MN⊂面MNC，∴C1P∥平面MNC；（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC．∵CM⊂面ABC，∴BB1⊥CM由因为BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面面ABB1A1又CM⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABB1A1．4.【考点】LS：直线与平面平行的判定．【分析】先证明四边形OFEB为平行四边形，可得EF∥BO，利用线面平行的判定定理，即可证明EF∥平面BB1D1D．【解答】证明：取D1B1的中点O，连OF，OB，∵OF∥B1C1，OF=B1C1，∵BE∥B1C1，BE=B1C1，∴OF∥BE，OF=BE，∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO，∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D．5.【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．6.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．【解答】（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴AC⊥AB，AC⊥PA，又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，∵PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB．（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又E是PD的中点，∴EO∥PB，又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC．7.【考点】LS：直线与平面平行的判定；LU：平面与平面平行的判定．【分析】（1）连结SB，由已知得EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．（2）连结SD，由已知得FG∥SD，从而FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，由此能证明平面EFG∥平面BDD1B1．【解答】证明：（1）如图，连结SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．（2）如图，连结SD，∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．8.【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）由已知可得AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，再由BC=CC1，得BC1⊥B1C，由线面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C，从而得到AB1⊥BC1；（2）设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．由（1）知BO⊥AB1，进一步得到AB1⊥平面BOP，说明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．然后求解直角三角形得答案．【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，则AC⊥CC1．又∵AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，∵BC=CC1，∴四边形B1BCC1是正方形，∴BC1⊥B1C，又AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面AB1C，则AB1⊥BC1；（2）解：设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．由（1）知BO⊥AB1，而BO∩OP=O，∴AB1⊥平面BOP，则BP⊥AB1，∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．∵△OPB1～△ACB1，∴，∵BC=CC1=a，AC=2a，∴OP=，∴=．在Rt△POB中，sin∠OPB=，∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值为．9.【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由线面垂直得CD⊥PA，由矩形性质得CD⊥AD，由此能证明CD⊥PD．（2）取PD的中点G，连结AG，FG．由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．再由已知条件推导出EF⊥CD，由此能证明EF⊥平面PCD．【解答】（本题满分8分）证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．（2）取PD的中点G，连结AG，FG．又∵G、F分别是PD、PC的中点，∴GF平行且等于CD，∴GF平行且等于AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．∵PA=AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．10.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，由三角形中位线定理可得NF∥PD，，在结合已知得四边形NFCE为平行四边形，得到NE∥AC．再由PD ⊥平面ABCD，得AC⊥PD，从而证得NE⊥PD；（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，得平面PDCE⊥平面ABCD，可得BC⊥CD，则BC⊥平面PDCE．然后利用等积法把三棱锥E﹣PBC的体积转化为B﹣PEC的体积求解．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，∵N为线段PB的中点，∴NF∥PD，且，又EC∥PD且，∴NF∥EC且NF=EC．∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE ∥FC ，即NE ∥AC ．又∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴AC ⊥PD ，∵NE ∥AC ，∴NE ⊥PD ；（Ⅱ）解：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE ⊥平面ABCD ，∵BC ⊥CD ，平面PDCE ∩平面ABCD=CD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面PDCE ． 三棱锥E ﹣PBC 的体积=．11.（1）证明见解析；（2）60°．试题解析：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC PD ⊥. ∵,60AD BD BAD =∠=，∴ABD ∆为正三角形，四边形ABCD 是菱形， ∴AC BD ⊥，又PD BD D=⋂，∴AC ⊥平面PBD ，而AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD .（2）如图，连接OE ，又（1）可知EO AC ⊥，又AC BD ⊥， ∴EOB ∠即为二面角E AC B --的平面角， 过E 作EHPD ，交BD 于点H ，则EH BD ⊥，又31 2,2,3,,33PE EB AB PD EH OH=====，在RT EHO∆中，tan3EHEOHOH∠==60EOH∠=，即二面角E AC B--的大小为60.考点：线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理及二面角的求法.12.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．（3）三棱锥E﹣BCF的体积V E﹣BCF=V C﹣BEF，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵四边形ABEF为矩形，∴AF ∥BE，∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，∴AF∥面BCE．（2）∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2∴AC=BC==，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．解：（3）三棱锥E﹣BCF的体积：V E﹣BCF=V C﹣BEF====．13.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．。
高一立体几何经典例题
解：取AB的中点O，连接VO，CO-------------------------------------1分
因为△VAB为等腰三角形
∴VO⊥AB--------------------------------------------1分
又因为△CAB为等腰三角形
∴CO⊥AB---------------------------------------------1分
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
4、在正方体 中，下列几种说确的是
A、 B、 C、 与 成 角 D、 与 成 角
5、若直线 ∥平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是
A、 ∥ B、 与 异面 C、 与 相交 D、 与 没有公共点
6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；
CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为
A、 B、 C、 D、
13．设α、β、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β ②若α⊥r，β⊥r，则α∥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥α，n⊥α，则m⊥n
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
A． B． C． D．
17．三个平面把空间分成 部分时，它们的交线有（ ）
Ａ． 条 Ｂ． 条
Ｃ． 条 Ｄ． 条或 条
18．在长方体 ，底面是边长为 的正方形，高为 ，
则点 到截面 的距离为( )
A． B．
C． D．
19．直三棱柱 中，各侧棱和底面的边长均为 ，点 是 上任意一点，
连接 ，则三棱锥 的体积为（ ）
高一立体几何试卷及答案
立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分）1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ）A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ）A 1个 或2个B 0个或1个C 1个D 0个6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( )A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ）A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( )A //,,m n n m βα⊥⊂B //,,m n n m βα⊥⊥C ,,m n m n αβα⊥=⊂ID ,//,//m n m n αβ⊥10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( )A 1个B 2个C 3个D 4个二．填空题（每题4分，共16分）11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________三、 解答题15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且1AE C F =。
高一数学《立体几何》练习题及答案汇编
立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分）1.已知AB//PQ ，BC//QR,则∠PQP 等于（）A 030B 030C 0150D 以上结论都不对2.在空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面α，直线n 在α内，则m 与n 的关系为（）A 平行B 相交C 平行或异面D 相交或异面 5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥⊂ B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=⊂ D ,//,//m n m n αβ⊥10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二．填空题（每题4分，共16分）11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________三、解答题15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA和棱1CC 上的点，且1AE C F =。
高一数学立体几何练习题及答案
高一数学立体几何练习题及答案一、选择题1. 下列哪个图形不是立体图形？A. 立方体B. 圆锥C. 圆柱D. 正方形答案：D2. 已知一个立方体的边长为5cm，求它的表面积和体积分别是多少？A. 表面积：150cm²，体积：125cm³B. 表面积：100cm²，体积：125cm³C. 表面积：150cm²，体积：100cm³D. 表面积：100cm²，体积：100cm³答案：A3. 以下哪个选项可以形成一个正方体？A. 六个相等的长方体B. 一个正方形和一个长方体C. 六个相等的正方形D. 一个正方形和一个正方体答案：C4. 以下哪个图形可以形成一个圆柱？A. 一个正方形和一个长方体B. 一个圆和一个长方体C. 一个长方形和一个长方体D. 一个正方形和一个正方体答案：C5. 以下哪个选项可以形成一个圆锥？A. 一个圆和一个长方体B. 一个圆和一个正方体C. 一个正方形和一个长方体D. 一个正方形和一个正方体答案：B二、填空题1. 已知一个正方体的表面积为96cm²，求它的边长是多少？答案：4cm2. 已知一个圆柱的半径为3cm，高为10cm，求它的表面积和体积分别是多少？答案：表面积：198cm²，体积：90π cm³3. 以下哪个选项可以形成一个长方体？A. 六个相等的正方形B. 一个圆和一个长方形C. 六个相等的长方形D. 一个正方形和一个正方体答案：C三、解答题1. 某长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，请回答以下问题：（1）它的表面积是多少？（2）它的体积是多少？答案：（1）表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)= 2(3×4 + 3×5 + 4×5)= 2(12 + 15 + 20)= 2(47)= 94cm²（2）体积 = 长×宽×高= 3×4×5= 60cm³2. 某圆锥的半径是5cm，高是12cm，请回答以下问题：（1）它的表面积是多少？（2）它的体积是多少？答案：（1）斜面积= π×半径×斜高= π×5×13≈ 204.2cm²（2）体积= (1/3)π×半径²×高= (1/3)π×5²×12≈ 314.2cm³四、解析题某正方体的表面积是96cm²，它的边长是多少？解答：设正方体的边长为x，由表面积的计算公式可得：表面积 = 6x²96 = 6x²16 = x²x = 4所以，该正方体的边长为4cm。
(完整)高一立体几何经典例题
立体几何周练命题人--- 王利军一、选择题（每小题 5 分，共60 分）1、线段AB 在平面内，则直线AB 与平面的位置关系是A 、AB B 、AB C、由线段AB 的长短而定 D 、以上都 对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C、梯形一定是平面图形 D 、平面和平面有 同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C、异面D、以上都有可能4、在正方体ABCD A1B1C1 D1 中，下列几种说法正确的是A 、AC AD B、D C AB C、AC 与DC 成45o 角D、AC 与B C 成1 1 1 1 1 1 1 160o 角5、若直线l ∥平面，直线 a ，则l 与a 的位置关系是A 、l ∥aB 、l 与a 异面C、l 与a 相交D、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1 B、2 C、3 D、47、在空间四边形ABCD 各边AB、BC、CD、DA 上分别取E、F、G、H 四点，如果与EF、GH 能相交于点P ，那么A 、点必P 在直线AC 上B、点P 必在直线BD 上C、点P 必在平面ABC 内D、点P 必在平面ABC外8、a，b，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；② 若b M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有A 、0 个B 、1 个C、2 个D、3 个9、一个棱柱是正四棱柱的条件是A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8 个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是2 7 4 5A 、B、C、D、3 6 5 611、己知二面角AB 的平面角是锐角，内一点C 到的距离为3，点C 到棱AB的距离为4，那么tan 的值等于3 3 7 3 7 A' C'A、 B 、C、D、4 5 7 7 P12、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1 的体积为V，点P、Q 分别在侧棱AA1 和CC1 上，AP=C 1Q，则四棱锥B—APQC 的体积为QV VA 、B、2 3V VC、 D 、4 5A C1BDB113.设α、β、r 是互 重合的平面，m，n 是互 重合的直线，给出四个命题：C 1①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若α⊥r，β⊥r，则α∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥α，n⊥α，则m⊥n D C其中正确命题的个数是A（）BA ．1 B．2 C．3 D ．414.△ABC 是边长为 1 的正三角形，那么△ABC 的斜二测平面直观图（）A B C 的面积为A ．3B ．43C．86D．68 1615 ．设正方体的表面积为24 cm2（），一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是A ．4cm3 B． 63cm3 C．8cm3 D ．332cm3316.四面体S ABC 中，各个侧面都是边长为 a 的正三角形，E, F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA所成的角等于（）A．900B．600C．450D．30017.三个平面把空间分成7 部分时，它们的交线有（）Ａ．1条Ｂ．2 条Ｃ．3条Ｄ．1条或2 条18.在长方体ABCD A1B1C1D1 ，底面是边长为 2 的正方形，高为 4 ，B'A1则点A1到截面AB1D1 的距离为( )A.83C．43 19.直三棱柱一点，B．38D．34ABC A1B1C1 中，各侧棱和底面的边长均为 a ，点D 是CC1 上任意连接A1B, BD , A1D , AD ，则三棱锥 A A1BD 的体积为（）A. 1a 36B.3a 312C.3a 36D.1a 31220.下列说法 ．正．确．的．是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D．过一条直线有且只有一个平面与己知平面垂直.二．解答题1. (本题满分12 分) 在三棱锥V —ABC 中，VA=VB=AC=BC=2 ，AB= 2 3，VC=1 ，求二面角V —AB —C 的大小．ＡＣＢ2. 己知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形, 设D 为AA1的中点。
（完整版）高一数学常考立体几何证明的题目及答案
1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BCAC ADBD ，E 是AB 的中点。
求证：（1）AB平面CDE; （2）平面CDE 平面ABC 。
2、如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，E 是1AA 的中点，求证：1//AC 平面BDE 。
3、已知ABC 中90ACB o,SA面ABC ,AD SC ,求证：AD面SBC ．4、已知正方体1111ABCDA B C D ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC 面11AB D ．5、正方体''''ABCD A B C D 中，求证：（1）''AC B D DB 平面；（2）''BD ACB 平面.6、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．AED BCAED 1CB 1DCBASDCBAD 1ODBAC 1B 1A 1CA 1B 1C 1C D 1DGEF7、四面体ABCD 中，,,ACBD E F 分别为,AD BC 的中点，且22EFAC ，90BDCo，求证：BD平面ACD8、如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .9、如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//A C 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC 平面BDE .10、已知ABCD 是矩形，PA 平面ABCD ，2AB，4PA AD ，E 为BC 的中点．（1）求证：DE 平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．11、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是60DAB且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG 平面PAD ；（2）求证：AD PB ．12、如图1,在正方体1111ABCDA B C D 中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO 平面MBD ．13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH.求证：截面EFGH是平行四边形．15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝23a，如图．(1)求证：MN∥面BB1C1C；(2)求MN的长．16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.（2）平面EFC ⊥平面BCD.1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ，E 是AB 的中点。
高一数学常考立体几何证明题及答案
高一数学常考立体几何证明题1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。
2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。
3、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ．4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：''AC B D DB ⊥平面；6、正方体—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1∥平面B1D1C ；(2)若E 、F 分别是1，1的中点，求证：平面1D1∥平面．AE D BCAE D 1CB 1DCBASDCB AD 1ODBAC 1B 1A 1C A AB 1C 1C D 1D G EF7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF∥平面BDG .9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//A C 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥．12、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，交于点O ，求证：1AO ⊥平面．13、如图２，在三棱锥Ａ－中，＝，＝， 作⊥，Ｅ为垂足，作⊥于Ｈ． 求证：⊥平面．14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S —，∥截面，∥截面. 求证：截面是平行四边形．15．(12分)已知正方体—A1B1C1D1的棱长为a ，M 、N 分别为A1B 和上的点，A1M ＝＝a ，如图．(1)求证：∥面1C1C ； 16．(12分)(2009·浙江高考)如图，⊥平面，∥，＝＝＝2＝2，∠＝120°，P ，Q 分别为，的中点． (1)证明：∥平面；17．(12分)如图，在四面体中，＝，⊥，点E 、F 分别是、的中点． 求证：(1)直线∥面. （2）平面⊥平面 .20、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，D 1ODBAC 1B 1A 1CN MPCBA求证：1//A C 平面BDE 。
高一数学立体几何精选题目
高一数学立体几何精选题目1.已知直角三角形ABC的斜边AC为6cm，BC为8cm。
在BC上取一点D，使得AD⊥BC，并且AD=6cm，求BC上的中点E到线段AD的距离。
2.正方体ABCDEFGH的棱长为a，M为EF的中点，N为GH的中点。
连接AN并延长至交点点P，连接BP。
证明：AP⊥BM。
3.棱长为2的正长方体ABCDEFGH中，取E为AB的中点，M为BF上一点，且满足AM=MF。
若连接EM，求证：EM⊥AC。
4.在正方形ABCD中，点E、F分别为AD、CD上的动点。
若BE=CF，求证：EF⊥BD。
5.直立四棱锥的底面为菱形ABCD，侧棱AB=CD=2，BC=√5，顶点O与底面中心P的连线为线段OP。
求证：线段OP⊥面ABCD。
6.已知正方体ABCDEFGH，边长为2。
平面P与线段AG、DH分别相交于点M、N，且AM：MG=DN：NH=2：1。
求证：平面P与线段BF的距离为2√2。
7.已知正方体ABCDEFGH，边长为2。
直线l通过B、D两点并与平面AFGH相交于点M。
若AM=MH，求证：直线l与平面BCGF垂直。
8.对于平行六面体ABCDEF-A'B'C'D'E'F'，已知AA'⊥CC'，BB'⊥DD'，证明平面A'BB'与CC'的交线平行于平面C'AA'与BB'的交线。
9.平行四面体ABCD是正四面体，E为线段AC的中点。
则线段EB与平面ACD的交点为F，线段AF除E外的中点为G。
若BE=1，求证：CG的长度为1/√2。
10.已知四棱锥ABCDE，底面为正方形ABCD，侧棱AE=√2，角BED=120°，连接AC。
求证：AC⊥BC。
以上是高一数学立体几何的精选题目，希望对你的学习有所帮助！。
高一立体几何校内真题48题,打印版
） ． D． 30 10
B．
2 3
C．
2 2
【例12】 （武汉二中 2016-2017 期中 9）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中，点 E , F 分别是 棱 BC , CC1 的中点， P 是侧面 BCC1 B1 内一点，若 A1 P ∥平面 AEF ，则线段 t 长度的取值范围 是（ ）
A．
1 2 + 2 2
B． 2 + 2
C． 1 + 2
D． 1 +
2 2
4
509wuzha oyan
【例17】 （省实验 2016-2017 期中 4）α 和 β 是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面 α 和 β 平 行的是（ ） A． α 和 β 都垂直于同一平面 B． α 内不共线的三点到 β 的距离相等 C． l ， m 是平面 α 内的直线且 l ∥ β ， m ∥ β D． l ， m 是两条异面直线且 l ∥ α ， m ∥ α ， m ∥ β ， l ∥ β 【例18】 （省实验 2016-2017 期中 5） 将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起， 则三棱锥 C − ABD 的外接球表面积为（ ） A． 8π B． 12π C． 16π D． 4π 【例19】 （省实验 2016-2017 期中 6）已知平面 α 的法向量为 = n (3, −1, 2) ， AB = (−3,1, −2) ，则直线 AB 与平面 α 的位置关系为（ ） A． AB ∥ α B． AB ⊂ α C． AB 与 α 相交 D． AB ⊂ α 或 AB ∥ α 【例20】 （省实验 2016-2017 期中 8）下列四种说法中： ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 ②相等的线段在直观图中仍然相等 ③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥 ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例21】 （省实验 2016-2017 期中 9）过正三棱锥 S − ABC 侧棱 SB 与底面中心 O 作截面 SBO ，已知截 面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为（ ） A．
高中立体几何典型500题与解析(1)(1-50题)
高中立体几何典型500题及解析(一)1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则（A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。
根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面．的一个图是PPQQRSSPP PQQRR RSSSPP PQQQ R RS SS PP Q QR RRSS（A ） （B ） （C ） （D ） D解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形B 项：如图C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。
3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。
B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。
C 项：如图4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为1111C解析：11B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。
5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 （A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条C解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。
专题13必考必刷解答题之立体几何（解析版）
专题13必考必刷解答题之立体几何1．【陕西省西安市阎良区2020-2021学年高一上学期期末】如图，在正方体1111ABCD ABC D -中，E 为11B D 的中点，AC BD O =.求证：（1）AC ⊥平面11B BDD ；（2）//DE 平面1ACB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析（1）在正方体中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1BB AC ∴⊥， AC BD ，1BD BB B ⋂=， ∴AC ⊥平面11B BDD ；（2）连接1OB ，在正方体中，11//BB DD 且11BB DD =，∴四边形11BB D D 是平行四边形，11//BD B D ∴且11BD B D =，,O E 分别为11,BD B D 中点，1DO EB ∴=，∴四边形1DEBO 是平行四边形，1//DE OB ∴，DE ⊄平面1ACB ，1OB ⊂平面1ACB ，∴//DE 平面1ACB .2．【陕西省铜川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）证明：AB ⊥平面PDE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）取PD 中点G ，连接,AG FG ，,F G 分别为,PC PD 中点，1//2FG CD ∴， 四边形ABCD 为菱形，E 为AB 中点，1//2AE CD ∴，//AE FG ∴， ∴四边形AEFG 为平行四边形，//AG EF ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，//EF ∴平面PAD .（2）连接BD ，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，BAD ∴为等边三角形， 又E 为AB 中点，AB DE ∴⊥，PD ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AB PD ∴⊥，又,DE PD ⊂平面PDE ，DE PD D ⋂=，AB ∴⊥平面PDE .3．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：//AD 平面PBC ；（2）求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6. （1）证明：//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD ∴平面PBC .（2）取AD 中点M ，连接PM ，CM ，则PMAD ⊥.又平面PAD ⊥底面ABCD ， PM ∴⊥平面ABCD ，PCM ∴∠就是直线PC 与平面ABCD 所成的角.由勾股定理可求得1PM =，CM =PC =，sin 6PM PCM PC ∴∠==.直线PC 与平面ABCD4．【新疆巴音郭楞蒙古自治州库尔勒市2019-2020学年高一下学期期末】如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC 且AB BC =，D 、E 分别为PC 、AC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：平面BDE ⊥平面P AC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）∵D 、E 分别为PC 、AC 的中点，∴//DE PA ，∵DE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴//PA 平面BDE ．（2）∵在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC =，D 、E 分别为PC 、AC 的中点，∴PA BE ⊥，AC BE ⊥， ∵PA AC A =，∴BE ⊥平面P AC ．∵BE ⊂平面ABC ，∴平面BDE ⊥平面P AC ．5．【陕西省咸阳市2020-2021学年高一上学期期末】将棱长为2的正方体1111ABCD ABC D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ；（Ⅰ）求三棱锥1A D EF -的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.（Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD⊂平面ABCD ， 所以1A A BD ⊥，又1A AAC A =，所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，所以//BD EF .所以EF ⊥平面1A AC .（Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =.∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴1DF CF CE BE ====. ∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△. ∴11111321332A D EF D AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△. 6．【陕西省咸阳市2020-2021学年高一上学期期末】在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：BE CD ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）在ADC 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，//EF AC ∴.EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，BEAD ∴⊥， 又平面ABD ⊥平面ADC ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，BE ⊂平面ABD ， BE ∴⊥平面ADC .CD ⊂平面ADC ，BE CD ∴⊥.7．【宁夏银川市长庆高级中学2020-2021学年高一上学期期末】如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C D ，的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？若不存在，说明理由，若存在请证明你的结论并说明P 的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）存在；证明见解析；P 为AM 中点．连结CM ，（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，AD ∴⊥半圆面,CMD AD ∴⊥平面MCD ． CM 在平面MCD 内，AD CM ∴⊥，又M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，CM MD ∴⊥．又,AD DM D CM ⋂=∴⊥平面ADM CM ，在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM ．（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：连接BD AC ，交于点O ，连接PD PB PO ，，；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是AM 的中点；//OP MC OP ∴，在平面PDB 内，MC 不在平面PDB 内，//MC ∴平面PDB ．8．【陕西省西安市阎良区2019-2020学年高一上学期期末】如图，在三棱柱111ABC A BC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．（1）求证：1//AB 平面1BC D ；（2）求三棱锥1D BCC -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）1.（1）如图所示：连接1BC 与1C B 交于点O ，连接OD ，因为O ，D 为中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以1//AB 平面1BC D ；（2）因为侧棱1AA ⊥底面ABC ， 所以1AA AB ⊥，即1BB AB ⊥，又AB BC ⊥，1BB BC B =，所以AB ⊥平面1BCC ，因为D 为AC 的中点，所以点D 到平面1BCC 的距离为1， 又11132BCC S BC CC =⨯⨯=， 所以111113D BCC BCC V S -=⨯⨯=. 9．【陕西省榆林市2020-2021学年高一上学期期末】如图，长方体1111ABCD ABC D -的底面ABCD 是正方形，E 是棱1AA 的中点，122AA AB ==.（1）证明：平面EBC ⊥平面1EBC .（2）求点B 到平面1EBC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3. （1）证明：因为1111ABCD ABC D -是长方体，所以BC ⊥侧面11AB BA ，而1B E ⊂平面11AB BA ，所以1B E BC ⊥.又因为底面ABCD 是正方形，且122AA AB ==，所以1EB EB =12BB =， 从而22211EB EB BB +=，所以1B E EB ⊥. 因为EBBC B =，,EB BC ⊂平面EBC ， 所以1EB ⊥平面EBC ， 因为1EB ⊂平面1EBC ，所以平面EBC ⊥平面1EBC .（2）解：由（1）可知，1EB ⊥平面EBC ， 所以1EB EC ⊥，在1Rt EBC 中，111122EB C S B E EC =⋅== 11111121323B EBC E BB C V V --==⨯⨯⨯⨯=. 设B 到平面1EBC 的距离为h ，所以11323=，则h =，即点B 到平面1EBC . 10．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．（1）求证：//BG平面PDE；（2）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理出．【答案】（1）证明见解析；（2）点F为PC的中点，证明见解析.（1）连接,DE PE，因为G为AD的中点，E为BC的中点，所以12DG DA=，12BE BC=，因为底面ABCD是菱形，所以AD BC∥，所以DG BE，所以四边形DGBE是平行四边形，所以//BG DE，又因为BG⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，所以//BG平面PDE，（2）点F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：因为侧面PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，所以PG AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PG AD ⊥，PG ⊂平面PAD ，所以PG ⊥平面ABCD ，连接CG 交DE 于点O ，则点O 是CG 的中点，所以//OF PG ，所以OF ⊥平面ABCD ，又因为OF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面ABCD .11．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为PA 、BC 的中点．（1）求证：//EF 面PCD ；（2）若2AB =，1AD PD ==，求三棱锥P BEF -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）112. （1）如下图所示，取PD 的中点M ，连接EM 、CM ，因为四边形ABCD 为矩形，则//AD BC 且AD BC =， E 、M 分别为PA 、PD 的中点，则//EM AD 且12EM AD =， F 为BC 的中点，所以，//EM CF 且EM CF =，所以，四边形CMEF 为平行四边形，所以，//EF CM ，EF ⊄平面PCD ，CM ⊂平面PCD ，//EF ∴平面PCD ；（2）如下图所示，连接AF ，取AD 的中点N ，连接EN ，E 为PA 的中点，所以，点P 、A 到平面BEF 的距离相等，所以，P BEF A BEF E ABF V V V ---==， E 、N 分别为PA 、AD 的中点，则//EN PD 且1122EN PD ==， PD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ， ABF 的面积为111122222ABF S AB BF =⋅=⨯⨯=△， 因此，11111332212P BEF A BEF E ABF ABF V V V S EN ---===⋅=⨯⨯=△. 12．【新疆伊宁市第四中学2020-2021学年高一上学期期末】如图，在三棱柱111ABC A BC -中，ABC 与111A B C △都为正三角形且1AA ⊥面ABC ，F 、1F 分别是AC 、11AC 的中点.求证：（1）平面11//AB F 平面1C BF ；（2）平面11AB F ⊥平面11ACC A .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）连接1FF ，在三棱柱111ABC A BC -中，11//AA CC 且11AA CC =，所以，四边形11AACC 为平行四边形，所以，11//AC AC 且11AC AC =， F 、1F 分别为AC 、11AC 的中点，则11//AF C F且11AF C F =， 所以，四边形11AFC F 为平行四边形，11//AF C F ∴，1AF ⊄平面1C BF ，1C F ⊂平面1C BF ，1//AF ∴平面1C BF ，同理可知四边形11AAFF 为平行四边形，11//AA FF ∴且11AA FF =，11//AA BB 且11AA BB =，所以，11//BB FF 且11BB FF =，所以，11//BB FF 且11BB FF =，所以，四边形11BB FF 为平行四边形，所以，11//BF B F ， 11B F ⊄平面1C BF ，BF ⊂平面1C BF ，11//B F ∴平面1C BF ，因为1111AF B F F =，所以，平面11//AB F 平面1C BF ； （2）111A BC 为等边三角形，1F 为11AC 的中点，所以，1111B FAC ⊥， 1AA ⊥平面ABC ，平面//ABC 平面111A B C ，1AA ∴⊥平面111A B C ，11B F ⊂平面111A B C ，111B F AA ∴⊥，1111AA AC A ⋂=，11B F ∴⊥平面11AACC ，11B F ⊂平面11AB F ，所以，平面11AB F ⊥平面11AACC .13．【甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高一上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是腰长为三角形．（1）求证：PB AC ⊥；（2）求二面角P AB C 的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）60．（1）证明：连接,AC BD 交于点O ，连接PO由底面ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥由四个侧面都是等腰三角形，PA PC ∴=，AC PO ∴⊥又BD PO O =，BD PO ⊂，平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD又PB ⊂平面PBD ，AC PB ∴⊥（2）取AB 的中点M ，连接OM ，PM由正方形的性质可得OM AB ⊥，由等腰三角形的性质可得PM AB ⊥， PMO ∴∠是二面角P AB C 的平面角 ，又PO AC ⊥，同理PO BD ⊥，又ACBD O =，,AC BD ⊂平面ABCD ， PO ∴⊥平面ABCD ，PO MO ∴⊥在直角三角形POM 中，1MO =，2PM ==1cos 2MO PMO PM ∴∠==，即60PMO ∠=所以二面角P AB C 的大小为6014．【甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2020-2021学年高一上学期期末】如图所示，凸多面体ABCED 中，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，1AC AD AB ===，BC =2CE =，F 为BC 的中点.求证：（1）//AF 平面BDE ；（2）平面BDE ⊥平面BCE .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析(1）取BE 的中点G ，连接GF ，GD ，如图，因为AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，所以//EC DA ，∴GF 为三角形BCE 的中位线，∴////GF EC DA ，12GF CE DA ==， ∴四边形GFAD 为平行四边形，∴//AF GD ，又AF ⊄平面BDE ，GD ⊂平面BDE ，∴//AF 平面BDE ．（2）∵AB AC =，F 为BC 的中点，∴AF BC ⊥，又GF AF ⊥，BCGF F = ∴AF ⊥平面BCE ，∵//AF GD ，∴GD ⊥平面BCE ，又GD ⊂平面BDE ，∴ 平面BDE ⊥平面BCE ；15．【吉林省梅河口市三校2019-2020学年高一上学期期末】如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.求证：（1）1AC BC ⊥；（2）1//AC 平面1BCD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.证明：（1）在直三棱柱111ABC A BC -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，1AC CC ∴⊥，又AC BC ⊥，1BCCC C =，AC ∴⊥平面11BBCC ， 1BC ⊂平面11BBCC ，1ACBC ∴⊥； （2）设1BC 交1BC 的交点为O ，连接OD ，在直三棱柱111ABC A BC -中，四边形11BCC B 为平行四边形，则O 为1BC 中点， 又因为D 是AB 的中点，OD ∴是1ABC 的中位线，1//OD AC ∴，又1AC ⊄平面1BCD ，OD ⊂平面1BCD ，1//AC ∴平面1BCD . 16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD Ⅰ底面ABCD ，PD=D C ，E 是PC 的中点，作EF ⅠPB 交PB 于点F .（1）求直线P A 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求证：PB Ⅰ平面EFD ；（3）求二面角C-PB-D 的大小.【答案】（1）45；（2）证明见解析；（3）60.（1）因为侧棱PD ⊥平面ABCD ，所以AD 为直线PA 在平面ABCD 上的射影，PD AD ⊥，故PAD ∠即为直线P A 与平面ABCD 所成的角，又PD DC AD ==，所以45PAD ∠=，所以直线P A 与平面ABCD 所成的角为45； （2）证明：因为侧棱PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥， 又BC DC ⊥，PD DC D ⋂=，所以BC ⊥平面PDC ，BC DE ⊥，由PD DC =可得DE PC ⊥，又BC PC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，ED PB ⊥， 因为PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面EFD ；（3）由（2）知,EF PB DF PB ⊥⊥，所以EFD ∠为二面角C PB D --的平面角，不妨设PD DC a ==，则2DE a =，6EF a =，DF =， 在DEF 中，由余弦定理得2221cos 22EF DF DE EFD EF DF +-∠==⋅， 所以二面角C PB D --的大小为60.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ︒∠=∠=∠=.2PB PD BC CD ====.1AP =.（1）证明：AP BD ⊥；（2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）26+ （1）取BD 的中点E ，连接AE ，PE ，如图，因为60APB APD ∠∠==︒，PD PB =， 所以APB APD ≅△△，所以AD AB =． 所以AE BD ⊥，PE BD ⊥,AE PE E ⋂=,所以BD ⊥面PAE ．又AP ⊂面PAE ，所以AP BD ⊥．（2）在APD △中，根据余弦定理，得：2222cos607AD AP PD AP PD =+-⨯⨯⨯︒=，所以AD =又因为1DE =，所以AE =PE =所以222AP AE PE =+，即AEPE ⊥． 在正CDB △中，22CE =⨯= 在Rt PEC 中，222336PC PE CE =+=+=，即PC = 设点C 到平面PAB 的距离为h ，PC 与平面PAB 所成角为θ， 因为C PAB P ABC V V --=，即1133PAE ABC h S PE S ⨯⨯=⨯⨯△△，所以112132sin 602ABCPAB PE S h S ⨯⨯⋅===⨯⨯⨯︒△△，所以2sin 6h PC θ+== 所以PC 与平面PAB所成角的正弦值为26 18．如图，三棱台ABC DEF -中，90ABC ∠=，22AC AB DF ==，四边形ACFD 为等腰梯形，45ACF ∠=，平面ABED ⊥平面ACFD ．（Ⅰ）求证：AB CF ⊥；（Ⅰ）求直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（I ）延长AD 、BE 、CF 交于点P ，四边形ACFD 为等腰梯形，45ACF ∠=，90APC ∴∠=，则CP AP ⊥， 平面ABED ⊥平面ACFD ，平面ABED ⋂平面ACFD AD =，CP ⊂平面ACFD ，CP ∴⊥平面ABED ，由AB平面ABED ，可得CP AB ⊥，即AB CF ⊥；（II ）22AC AB DF ==，可知D 为PA 的中点.=设DF a =，则PA =，PB a =，CB =，由CF AB ⊥，90ABC ∠=，可得AB BC ⊥，CFBC C =，AB ∴⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，AB PB ∴⊥，122BD PA a ∴==，过点P 作PM BC ⊥，垂足为M ，AB ⊥平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，AB PM ∴⊥， PM BC ⊥，AB BC B ⋂=，所以PM ⊥平面ABC ， CP PB ⊥，CP PB PM BC ⋅∴==，则D 到平面ABC的距离12h PM ==， 所以直线BD 与平面ABC所成角的正弦值为2h BD ==. 19．【福建省泉州市2017-2018学年高一上学期期末】如图，ABD △是边长为2的正三角形，BC ⊥平面ABD ，4,,=BC E F 分别为,AC DC 的中点，G 为线段AD 上的一个动点.（1）当G 为线段AD 中点时，证明：EF ⊥平面BCG ；（2）判断三棱锥-E BGF 的体积是否为定值？ 【答案】（1）证明见解析；（2）是定值.（1）∵在CAD 中，,E F 分别为,AC DC 的中点， ∴//EF AD .∵BC ⊥平面⊆，ABD AD 平面ABD ， ∴BC AD ⊥，∴BC EF ⊥，在正ABD △中，G 为线段AD 中点，BG AD ⊥，∴BG EF ⊥， 又∵BGCG G =，∴EF 平面BCG .（2）三棱锥-E BGF 的体积是定值.理由如下： ∵//,⊄EF AD AD 平面BEF ，∴//AD 平面BEF ， 所以直线AD 上的点到平面BEF 的距离都相等111244------=====E BGF G BEF D BEF E BCD A BCD C ABD V V V V V V∵ABD S=又BC ⊥平面ABD 且4BC =，∴3-=C ABD V∴三棱锥-E BGF 的体积为定值3. 20．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：ⅠAB AD =，ⅠAB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析；（2）11.解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA . ∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥， 又二面角E GH B --的大小为90°， ∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD ， ∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥，AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =设CO x =，OMx =，222216OB OM MB x =+=-+，2222216EB EO OB x =+=-+，当x =min EB =连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ， 由（1）知BD ⊥平面EOA ， ∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ， ∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，EB =2BM =，EM =AE由()2222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=2QF =∴sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为11.21．【天津市耀华中学2019-2020学年高一下学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,PA AB ==60.BAD ∠=（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：直线BD ⊥平面;PAC（3）求直线PB 与平面PAD 所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以//AB CD ， 因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD 所以//AB 平面PCD .（2）因为四边形ABCD 是菱形，所以.AC BD ⊥又因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD 所以,PA BD ⊥又因为,PA AC A ⋂=所以BD ⊥平面.PAC（3）过B 作,BE AD ⊥连结,PE因为PA ⊥平面,ABCD BE ⊂平面,ABCD 所以.PA BE ⊥ 又因为,,BE AD PAAD A ⊥=所以BE ⊥平面.PAD所以BPE ∠是直线PB 与平面PAD 所成角在Rt BEP △中，BE PE ===所以tan BE BPE PE ∠===所以BPE ∠是直线BP 与平面PAD 所成角的正切值522．如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D BE ⊥，如图2.（1）求证：1A E⊥平面BCDE ；（2）求二面角1E AD B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7. （1）翻折前，在图1中，DE AB ⊥，即DE AE ⊥，DE BE ⊥，翻折后，在图2中，则有1DE A E ⊥，DE BE ⊥，1BE A D ⊥，1DE AD D =，BE ∴⊥平面1ADE ， 1A E ⊂平面1ADE ，1A EBE ∴⊥，1A E DE ⊥，BE DE E ⋂=，1A E ∴⊥平面BCDE ；（2）如下图所示，过点E 在平面1ADE 内作1EF AD ⊥，垂足为点F ，连接BF ，由（1）知，BE ⊥平面1ADE ，1A D ⊂平面1ADE ，1BE A D ∴⊥，1EF A D ⊥，BE EF E =，1A D ∴⊥平面BEF ，BF ⊂平面BEF ，1BF A D ∴⊥，所以，二面角1E AD B --的平面角为BFE ∠，在图1中，菱形ABCD 的边长为2，且60BAD ∠=，所以，ABD △为等边三角形，DE AB ∵⊥，则2sin603DE ==E 为AB 的中点，1AE BE ∴==，在图2中，在1Rt A DE △中，11122A E DE EF A D ⋅===，BE ⊥平面1ADE ，EF ⊂平面1ADE ，BE EF ∴⊥，则BF ==，cos 27EF BFE BF ∴∠===. 因此，二面角1E AD B --的余弦值为7.23．【北京市顺义区2019-2020学年高一下学期期末质量监测】如图1，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为AB 的中点．将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示．（1）求证：DE PC ⊥；（2）试问平面PFC 与平面PBC 所成的二面角是否为90︒，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面//CFM 平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）平面PFC 与平面PBC 所成的二面角为90︒，证明见解析；（3）存在满足条件的,M N ，,M N 分别为,PD BC 中点，证明见解析. （1）四边形AECD 为菱形，AC DE ∴⊥，即DEPF ⊥，DE CF ⊥，又,PF CF ⊂平面PCF ，PF CF F =，DE ∴⊥平面PCF ，PC ⊂平面PCF ，DE PC ∴⊥.（2）平面PFC 与平面PBC所成的二面角为90︒，证明如下：E 为AB 中点且四边形AECD 为菱形，//BE CD ∴，∴四边形BCDE 为平行四边形，//BC DE ∴，由（1）知：DE ⊥平面PCF ，BC ∴⊥平面PCF ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PCF⊥平面PBC ，即平面PFC 与平面PBC 所成的二面角为90︒.（3）存在满足条件的,M N ，,M N 分别为,PD BC 中点，证明如下：由（2）知：四边形BCDE 为平行四边形，又,F N 分别为,DE BC 中点，//EF CN ∴，∴四边形EFCN 为平行四边形，//CF EN ∴，又EN ⊂平面PEN ，CF ⊄平面PEN ，//CF ∴平面PEN ；,M F 分别为,PD DE 中点，MF ∴为PDE △中位线，//MF PE ∴，又PE ⊂平面PEN ，MF ⊄平面PEN ，//MF ∴平面PEN ，又MFCF F =，,MF CF ⊂平面FCM ，∴平面//CFM 平面PEN .24．如图所示，在直角梯形ABCD 中，90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ∠=︒===，M 为线段AB 的中点，将ADC 沿AC 折起，得到几何体P ABC -．（Ⅰ）求证：AC PM ⊥； （Ⅰ）已知2PM=，求直线PB 与平面APC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3（Ⅰ）证明，取AC 中点E ，连结PE ，EM ，E 是中点，AP CP =，AC PE ∴⊥，ME 是中位线，MEBC ，由题意得，BC AC ⊥，ME AC ∴⊥，ME PE E ⋂=，AC ∴⊥平面PME ，PM ⊂平面PME ，AC PM ∴⊥（Ⅱ）根据（Ⅰ）的图像，在等腰直角三角形PAC 中，易得，PE =，由（Ⅰ）得EM =2PM=，根据勾股定理，可得Rt PEM 中，PE EM ⊥，又由BCEM ，由（Ⅰ）得，BC AC ⊥，∴EM AC ⊥，所以，EM ⊥面ACP ，所以，BC ⊥面ACP ，则BPC ∠为PB 与平面APC 所成角，又由BC =2PC =，所以，PB =，sin3BC BPC PB ∴∠===，∴直线PB 与平面APC25．如图，ABCDEF 是由两个全等的菱形ABEF 和CDFE 组成的空间图形，2AB =，60BAF ECD ∠=∠=︒.（1）求证：BD DC ⊥； （2）如果二面角B EF D --的平面角为60︒，求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）7解：（1）证明：如图，取EF 的中点G ，连接BG 、DG ， 在菱形ABEF 中，60BAF ∠=︒，BEF ∴是正三角形，EF BG ∴⊥，同理在菱形CDEF 中，可证EF DG ⊥，因为BG DG G ⋂=，BG ⊂平面BDG ，DG ⊂平面BDGEF ∴⊥平面BDG ，因为BD⊂平面BDGEF BD ∴⊥，又//CD EF ，CD BD ∴⊥．（2）解：由（1）知，BGD ∠是二面角B EF D --的平面角，即60BGD ∠=︒，又BG GD ==BDG ∴△是正三角形，故有BD =，如图，取DG 的中点O ，连接BO ，则BO DG ⊥， 又由（1）得EF BO ⊥，BO ∴⊥平面CDFE ，且32BO =，又BD CD ⊥，在直角BDC 中，BC =，∴12BCE S ∆=， 设D 到平面BCE 的距离为h ，则1134332B DCE DCE V BO S -∆=⨯⨯=⨯=，1133D BCE BCE V h S h -∆=⨯⨯=⨯=，解得7h =，故直线BD 与平面BCE 所成角正弦值为7h BD =．。
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A组习题一、判断题1、空间三点确定一个平面。
( )2、若一条直线与另两条直线都相交，则这三条直线共面。
（）3、一条直线与两平行直线都相交，则三者共面。
( )4、若点A、B、C、D共面，则直线AB、CD一定相交。
( )5、若AC、BD相交，则四点一定共面。
( )6、若a//α，b//α，则a//b。
（）7、若a//b，b//α，则a//α。
（）8、两条直线和同一平面平行，则这两条直线平行。
（）9、两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
（）10、两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
（）11、如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行。
（）12、如果两个平面有三个不共线的公共点，那么两个平面重合。
（）13、平面α与平面β相交，他们只有有限个公共点。
（）14、经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
（）15、经过一条直线和一个点确定一个平面。
（）16、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面。
（ ）17、梯形可以确定一个平面。
（ ） 18、已知a//b ，b//c ，c//d 则a//d 。
（ ）19、两条直线a, b 没有公共点，那么a 与b 是异面直线。
（ ）20、圆心和圆上两点可以确定一个平面。
（ ） 21、一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线。
（ ）22、过平面外一点，有且仅有一条直线与已知平面垂直 。
（ ）23、过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直 。
（ ）24、过平面外一点，可做无数条直线与已知平面平行。
（ ）25、过直线外一点，只能作一条直线与已知直线垂直。
（ ）26、如果α不垂直于β那么α内一定不存在直线垂直于β。
（ ）27、若a//b α a 则b//α 。
（ ） 28、若a,b 相交，b,c 相交，则a,c 相交。
（ ） 29、若a,b 异面，b,c 异面，则a,c 异面。
（ ） 30、一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个面平行。
（ ）31、过平面外一点有且仅有一条直线和这个面平行。
（ ）32、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个面的位置关系是至少与一个面平行。
（ ）33、对于任意直线l 和平面α，在平面α内必存在直线m 使m 和l 垂直 。
（ ）34、若a,b 垂直，b,c 垂直，则a,c 垂直。
（ ） 35、空间四点共面，则其中三点必共线。
（ ） 36、空间四点不共面，则其中任何三点不共线 。
（ ）37、空间四点有三点共线，此四点必共面 。
（ ） 38、空间四点任何三点不共线，则此四点不共面 。
（ ） 39、,,,,,Qb a b a P n m n m =⋂⊂⊂=⋂⊂⊂ββαα则α//β （ ）40、a ⊥α b ⊂α 则a ⊥b （ ） 41、a ⊥α b ⊥α 则a//b （ ） 42、α//β a ⊥α 则a ⊥β （ ） 43、a ⊥α a ⊥β 则α//β（ ） 44、a//b a ⊥α 则b ⊥α （ ）45、α⊂a ，α⊂b l ⊥a l ⊥b 则 l ⊥α （ ） 46、三棱锥P —ABC ，P 在底面投影为O ，若PA ⊥PB ，PA ⊥PC ， PB ⊥PC 则O 为△ABC 垂心。
（ ） 47、PA=PB=PC ，则O 为△ABC 外心 。
（ ）48、若P 到底面三边的距离相等，则O 为△ABC 内心 。
（ ）49、二面角P —AB —C ，P —BC —A ， P —AC —B 相等则O 为△ABC 内心。
（ ）50、PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，则O 为△ABC 垂心。
（ ） 51、若γββα⊥⊥,，则γα⊥。
（ ） 52、若βα⊥，α⊥a ，β⊥b 则b a ⊥。
（ ） 53、若α⊥a，β⊥b ，b a ⊥则βα⊥。
（ ）54、若γββα||,||，则γα||。
（ ）55、直线a,b 异面，且c ∥a,则b 与c 一定异面。
（ ）56、两条直线a,b 和第三条直线成等角，则a ∥b 。
（ ） 57、直线a,b 共面，b,c 共面，则直线a,c 共面。
（ ） 58、如果直线a,b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b 不含于α, 那么b ∥α。
（ ） 59、cb a ==⋂=⋂γαγββα ,,，若O b a = ，则c b a ,,三线共点。
（ ）60、三个平面两两相交且不共点，交线互相平行。
（ ）61、若两个角的对边分别平行，则这两个角相等。
（ ）二、选择题1、若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）（A）α内的所有直线都与直线a异面（B）α内不存在与a平行的直线（C）α内的直线都与相交（D）直线a与平面α有公共点2、以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），①若a∥b,b⊂α,a∥α;②若a∥α, b∥α,则a∥b；③若a∥b，b∥α,则a∥α;④若a∥α，b⊂α，则a∥b。
其中正确命题的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3、对于任意的直线ι和平面α，在平面α内必有直线m，使m和ιA 平行B 相交C垂直D异面4、若一直线上有两点在已知平面外，则下列命题正确的是（）A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内5、下列命题：①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行与这个平面。
其中正确的个数为（）：A．0 B．1 C．2 D．36、已知α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可以确定α∥β的是（）A．α、β都平行于直线ιB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．ι、m是α内两条直线，且ι∥β，m∥βD．ι、m是两条异面直线，且ι∥β，m∥β，ι∥α，m∥α7、若α∥β，a⊂α，则下列四个命题中正确的是（）①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点。
A.①②B.②④C.②③D.③④8、平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则下列四中情况：①a⊥b；②a∥b;③a与b异面；④a与b相交。
其中可能出现的情况有（）：A．1种 B．2种 C．3种 D．4种9、平面α∥平面β，△ABC和△Ａ＇B＇C＇分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形。
10、空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有( )A 2个或3个B 4个或3个C 1个或3个D 1个或4个11、分别与两条异面直线同时相交的两条直线的位置关系是（）A 相交B 平行C 异面D 相交或异面12、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，⑴ BM与ED平行；⑵ CN与BE异面；⑶ CN与BM成60 ；⑷ DM与BN异面三、解答题（一）三点共线、三线共点5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是AA 1的中点。
求证：（1）E 、C 、D 1、F 四点共面 （2）CE 、D 1F 、DA 三线共点。
（二）平行问题1、如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， Ｅ、Ｆ分别是棱ＢＣ，Ｃ１Ｄ１的中点， 求证：ＥＦ//面B B 1 D 1D2. （15分）如图，正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ，M 、N 分别为AC 和BF 上的点，且CM=BN.求证：MN ∥平面DAF3、四面体ABCD 被一平面所截,截面与四条棱相交于E 、F 、G 、H 四点，且截面为一个矩形，求证：AB ⊥CD4.已知：如图所示，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ， A 1C 1上的点。
（1）当A 1D 1：D 1C 1等于何值时，BC 1//平面AB 1D 1（2）若平面BC 1D 1//面AB 1D 1，求ＡＤ：ＤＣ的值5、已知三个平行平面与两条直线l 、m 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，C FD H GE BA AB E F D CM N求证：AB BC ＝DE EF（三）垂直问题1、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点，AC 交BD 于点O ， 求证：A 1O ⊥平面MBD2、如图，在三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC=90°，O 为BC 中点，求证：SO ⊥平面ABC.3、如图，已知矩形ABCD,过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于E,过E 作EF ⊥SC 交SC 于F 。
求证：AF ⊥SC 。
4、如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是角DAB=60度且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD 。
（1）求证：AD 垂直PB（2）若E 为BC 边中点，能否在棱上找到一点F 使平面DEF 垂直于平面ABCD ，证明结论5、如图所示，已知SA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，过A 垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于 点EFG ，求证：AE ⊥ SB6、如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 是侧棱BB 1的中点，求证：平面ADC 1⊥平面A 1ACC 1。
α β γ A D B E C FB CD A B 1C 1D 1A M O（四）异面直线的夹角1. 已知长方体ABCD —1A 1B 1C 1D 中， AB=AD=23, A 1A =2⑴ BC 和1A 1C 所成的角为__________度并求证。
⑵ A 1A 和B 1C 所成的角为__________度并求证。
2. 正方体ABCD —1A 1B 1C 1D 中，AB 的中点为M ，D 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成的夹角为__________度。
并求证。
3. 正方体ABCD —1A 1B 1C 1D 中，异面直线1A D 与AC 的夹角为__________度。
并求证。
4、三棱锥ABCD 中，BC=AD=2, E 、F 分别为AB,CD 的中点，且EF=3,则BC 与AD 所成角的为（ ） （五）二面角1、如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 的正切值.2、将一副三角板拼接，使他们有公共边BC ，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若使∠A=90°，AB=AC ，∠BCD=90°，∠D=60°，求二面角A-BD-C 的正切值.3、在三棱锥中，PA ⊥面ABC,∠ABC=90 ,PA=AB=BC=2,求：（1）二面角B-PA-C 的大小；（2）二面角P-BC-A 的大小.4、长方体AC 1中，AB=BC=2,AA 1= 6.(1) 求二面角A 1-BD-A 的大小；(2) 求二面角A 1-BD-C 1的大小.（六）线面角1、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求A 1C 1和平面CDA 1B 1所成的角.BDCOEADC A AD C B A 1 D 1 C 1 B 1B 1C 1D 12、 在底面为菱形的四棱锥P-ABCD 中，PA=AB=a ，PB=PD=2a ，AC=a ，求直线PC 与底面ABCD 所成角的大小。