高中数学选择性必修二 5 1 导数的概念及意义(精练)(含答案)

5.1 导数的概念及意义
【题组一 平均速率】
1．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A ．k 1＜k 2 B ．k 1＞k 2 C ．k 1＝k 2 D ．无法确定
【答案】D
【解析】∵k 1＝
0000()()f x x f x x x x +-+-＝2x 0＋Δx ，k 2＝0000()()
()
f x f x x x x x ----＝2x 0－Δx ，
又Δx 可正可负且不为零，∴k 1，k 2的大小关系不确定．选D.
2．（2020·全国高二课时练习）若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点331,24⎛⎫
⎪⎝⎭
及邻近一点331,24x y ⎛⎫+∆+∆ ⎪⎝⎭，
则
y
x
∆∆＝( ) A ．3
B ．－3
C ．－3－()2
x ∆ D ．－x ∆－3
【答案】D
【解析】()233322y f x f x x ⎛⎫⎛⎫
∆=+∆-
=-∆-∆ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，()2
33x x y x x x
-∆-∆∆∴==--∆∆∆.故选：D. 3．（2020·临海市白云高级中学高二月考）已知函数y ＝f(x)＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44
【答案】B
【解析】2
2
()()(20.1)(2)(2.1)1(21)0.41.y f x x f x f f ∆=+∆-=+-=+-+= 故选B ．
4．（2020·河南洛阳·高二期中（理））函数()f x 的图象如下图，则函数()f x 在下列区间上平均变化率最大的是（ ）
A ．[]1,2
B ．[]2,3
C ．[]3,4
D ．[]4,7
【答案】C
【解析】函数()f x 在区间上的平均变化率为
y
x
∆∆， 由函数图象可得，在区间[]4,7上，
0y
x
∆<∆即函数()f x 在区间[]4,7上的平均变化率小于0； 在区间[]1,2、[]2,3、[]3,4上时，
0y x ∆>∆且x ∆相同，由图象可知函数在区间[]3,4上的y x
∆∆最大. 所以函数()f x 在区间[]3,4上的平均变化率最大. 故选：C.
5．（2020·陕西新城·西安中学高二期中（理））函数2
()1f x x =-在区间[]1,m 上的平均变化率为3，则实数
m 的值为（ ） A ．5 B ．4
C ．3
D ．2
【答案】D
【解析】解解：根据题意，函数2
()1f x x =-在区间[]1,m 上的平均变化率为
221(11)
11
y m m x m ---==+-， 则有13m +=，解可得：2m =，故选：D
【题组二 导数的概念】
1．（2020·四川高二期中（理））如果一个物体的运动方程为()()3
0s t t t =>，其中s 的单位是千米，t 的单
位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ） A ．12千米/小时 B ．24千米/小时 C ．48千米/小时 D ．64千米/小时
【答案】C
【解析】由()2
3v s t t '==，则当4t =，48v =故选：C.
2．（2020·广东宝安·高三开学考试）设函数(),f x x =则
()()
11lim
x f x f x
∆→+∆-=∆（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1-
【答案】B
【解析】
()()0
00
11111lim
lim lim x x x f x f x x
x x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-∆===∆∆∆.故选：B.
3．（2020·全国高二单元测试）已知()03f x '=，则()()
000
3lim
m f x m f x m
→+-=（ ）
A ．
1
3
B ．1
C ．3
D ．9
【答案】D
【解析】()()()()
()0000003033lim 3lim 393m m f x m f x f x m f x f x m m
→→+-+-'===.故选：D.
4．（2020·伊美区第二中学高二期末（文））设()f x 在0x x =处可导，则000
()()
lim x f x x f x x
∆→-∆-=∆（ ）
A ．0()f x -'
B ．0()'-f x
C ．0()f x '
D ．02()'f x
【答案】A
【解析】因为()f x 在0x x =处可导,
所以，由导数的定义可得：()000000
0()()()()
lim lim ∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆x x f x x f x f x x f x f x x x
.
故选：A
5．（2020·陕西蓝田·高二期末（理））设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则()()0
11lim
3x f x f x
→+-=( )
A ．2
B ．1
C ．
23
D ．6
【答案】C
【解析】∵函数f （x ）在x ＝1处存在导数，
∴()()
()()0
011111
1333
x x f x f f x f lim
lim x
x →→+-+-==f ′（1）=23．故选C ．
6．（2020·贵州威宁·高二期末（理））已知()f x '是()f x 的导函数，且()14f '=，则0
(1)(12)
lim x f f x x
∆→-+∆=
∆（ ） A ．4 B ．8
C ．-8
D ．-2
【答案】C 【解析】因为0
(1)(12)lim
x f f x x ∆→-+∆∆，20(12)(1)
2lim 2x f x f x
∆→+∆-=-∆，()218f '=-=-故选：C
7．（2020·青海西宁·高二期末（文））若()f x e =，则0
()()
lim x f e x f e x
∆→+∆-=∆（ ）
A ．e
B ．ln e
C ．1
D ．0
【答案】D 【解析】0
()()
lim
()x f e x f e f e x
∆→+∆-'=∆，()f x e =，则()0f x '=，
∴()0
()()
lim
0x f e x f e f e x
∆→+∆-='=∆，故选：D ．
8．（2020·辽宁葫芦岛·高二期末）设函数()y f x =在0x x =处可导，且()()
000
3lim
12x f x x f x x
∆→+∆-=∆，则
()0f x '等于（ ）
A ．
23
B ．23
-
C ．1
D ．-1
【答案】A
【解析】由题意知()()()()()000000
03333
lim
lim 12232
x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'=⨯==∆∆， 所以()02
3
f x '=
，故选:A. 9．（2020·宜城市第二高级中学高二期中）已知函数()f x 可导，则()()
11lim
x f x f x
∆→-∆--∆等于（
）
A ．()'1f
B ．不存在
C ．
()1
'13
f D ．以上都不对
【答案】A
【解析】因为0x ∆→，所以()0x -∆→，
所以()()()()
'0
01111lim
lim (1)x x f x f f x f f x x
∆→-∆→-∆--∆-==-∆-∆.故选：A 10．（2020·江苏广陵·扬州中学高二月考（文））已知某物体的运动方程是3
9
t s t =+，则当3t s =时的瞬时速
度是（ ） A ．2/m s B ．3/m s
C ．4/m s
D ．5/m s
【答案】C
【解析】当3t s =时的瞬时速度是为s 导函数在3t =的值，因为39t s t =+，所以213
t
s '=+，因此当3t s
=时的瞬时速度是2
3143
+=，选C.
11．（2020·陕西咸阳·高二期末（理））设()f x 是可导函数，且()()
000
lim 2x f x f x x x
∆→--∆=∆，则()0f x '=
（ ） A ．2 B ．-1
C ．1
D ．-2
【答案】A
【解析】()()()
000000
0[()]lim
lim ()2x x f x f x x f x x f x f x x x
∆→∆→--∆+-∆-'===∆-∆．故选：A. 12．（2020·广东清远·高二期末）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品时，需要对原油进行冷却和加热.如果第xh 时，原油的温度（单位：℃）为y ＝f (x )＝x 2﹣7x +15（0≤x ≤＜8），则第4h 时，原油温度的瞬时变化率为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．3 D ．5
【答案】B
【解析】根据题意，第4h 时，原油温度的瞬时变化率为()4f '； 又()2
715f x x x =-+，故可得()27f x x '=-，则()41f '=.故选：B .
13．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中（理））如图所示的是()y f x =的图象，则()A f x '与()B f x '的大小关系是( )
A ．()()A
B f x f x >'' B ．()()A B f x f x <''
C ．()()A B f x f x =''
D ．不能确定
【答案】B
【解析】由函数图像可知函数在A 处的切点斜率比在B 处的切线斜率要小，由导数的几何意义可知
()()A B f x f x <''成立
14．（2020·陕西咸阳·高二期末（文））已知()f x 是可导函数，且()()
000
lim 2x f x f x x x
∆→+∆-=∆，
则()0f x '=（ ） A ．2 B ．1-
C ．1
D ．2-
【答案】A
【解析】根据题意，()()
0000
lim
()2x f x f x x f x x
∆→+'∆-∆==；故0()2f x '=；故选：A ．
15．（2019·安徽马鞍山二中高二期中（理））有一机器人的运动方程为2
3
s t t
（t 是时间，s 是位移），则该机器人在时刻2t =时的瞬时速度为（ ）
A ．
194
B ．
174
C ．
154
D ．
134
【答案】D
【解析】因为()2
3s f t t t ==+
，所以()23'2f t t t =-，则()313'2444
f =-=， 所以机器人在时刻2t =时的瞬时速度为13
4
，故选D. 【题组三 导数的计算】
1．（2020·陕西省丹凤中学高三一模（理））点P 在曲线3
2
3
y x x =-+
上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，
则角α的范围是（ ）
A ．[0,
]2
π
B ．3(
,
]24ππ
C ．3[
,)4
ππ D ．3[0,
)[
,)2
4
π
ππ⋃ 【答案】D
【解析】由3
2()3
y f x x x ==-+
，则2
'()311f x x =-≥-， 则tan 1α≥-，又[)0,απ∈，所以α∈3[0,
)[
,)2
4
π
π
π⋃，故选：D. 2．（2020·广东汕尾·
高二期末）已知曲线:=C y ，P 为曲线C 上任意一点，设曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）
A ．0,3
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．,
32ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．2,23ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2
,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】由题意可知，()
2
2'=-+x
x e y e ，
曲线C 在点()30,P x y 处的切线斜率为
(
)(
)
002
tan 42
4
x x x x e k f x e
e e
α-='==-=
≥+++ 当且仅当0
04=
x x e
e
，即0
2x e =，即0ln 2x =时，等号成立，
∴()00f x '<
，即tan 0α≤<，∴2,3παπ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
． 故选：D ．
3．（2020·江西省奉新县第一中学高三月考（理））曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4
M π
处的切线的斜率
为（ ）
A
．2
-
B ．12
-
C ．
12
D
．
2
【答案】C
【解析】24
cos (sin cos )sin (cos sin )11
''|(sin cos )1sin 22x x x x x x x y y x x x π
=+--=
=⇒=++,故选C. 4．（2020·全国高三月考）已知函数()32
1313
f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______. 【答案】2-
【解析】因为()32
1313
f x x x x =-
--+，所以()223f x x x '=---2(1)2x =-+-， 因为当1x =-时()f x '取得最大值为()12f '-=-，
所以根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =的切线中斜率的最大值为2-. 故答案为：2-.
5．（2019·广东湛江·高二期末（文））函数()x
f x xe =在0x =处的切线的斜率为_________.
【答案】1
【解析】由()x
f x xe =，得'
()x
x
f x e xe +=，则'
0)01(f e e +⋅==，
所以()x
f x xe =在0x =处的切线的斜率为1故答案为：1
6．（2020·河南高三月考（文））曲线()3
20y x x x
=-
+>的一条切线的斜率为4，则该切线的方程为_______．
【答案】440x y --=
【解析】设切点坐标为()00,x y ，其中00x >，
对函数32y x x =-+求导得231y x '=+，所以切线的斜率020
314x x y x ='=+=， 因为00x >，解得01x =，则02310y =-+=，切点为()1,0， 则该切线的方程为()41y x =-，即所求切线方程为440x y --=．
故答案为：440x y --=．。