二项式定理
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4.代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为__x_4__. 解析 (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1 ＝C04(x＋1)4＋C14(x＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)·(－1)3＋C44(－1)4 ＝[(x＋1)－1]4＝x4.
跟踪训练 1 求2x－23x25 的展开式.
解 方法一 2x－23x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4·－23x2＋C25(2x)3－23x22 ＋C35(2x)2－23x23＋C45(2x)·－23x24＋C55－23x25 ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310. 方法二 2x－23x25＝43x32－x1035＝321x10[C05(4x3)5＋C15(4x3)4(－3)＋C25(4x3)3(－3)2 ＋C35(4x3)2(－3)3＋C45(4x3)(－3)4＋C55(－3)5] ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
反思感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝Ckn－1an－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项； ④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是 整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要 求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解； ③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负 整数，求解方式与求有理项一致.
(2)求x3的系数.
解 设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则 令9－2k＝3，得k＝3， 即展开式中第4项含x3， 其系数为(－1)3·C39＝－84.
延伸探究 若将本例中题目改为“x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84”， 则 a＝__1___.
解析 x－ax9 的展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k·1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3， 代入得 x3 的系数为 C39(－a)3＝－84， 解得a＝1.
注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次 增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换.
例1
求3
x＋
1
4
x
的展开式.
解
方法一
3
x＋ 1x4＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3·1x＋C24(3
x)2
1
2
x
＋C34(3
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35·(2x＋1)2＋C45(2x＋1) －C55(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
三、二项展开式的通项的应用
例 3 在二项式x－1x9 的展开式中， (1)求第 6 项的二项式系数和第 6 项的系数；
解 由已知得二项式通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k·－1xk＝(－1)k·Ck9·x9－2k， ∴T6＝(－1)5·C59·x9－2×5＝－126x－1. ∴第 6 项的二项式系数为 C59＝126，第 6 项的系数为－126.
随堂演练
1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是
A.2n
√B.2n＋1
C.2n－1
D.2பைடு நூலகம்n＋1)
解析 展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
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2.x＋1x9 的展开式中的第 4 项是
A.56x3
√B.84x3
C.56x4
解析 T4＝C39x61x3＝84x3.
D.84x4
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3.二项式2x＋x126 的展开式中，常数项是___2_4_0___. 解析 二项式2x＋x126 的第 k＋1 项为 Tk＋1＝Ck6(2x)6－k·x12k＝Ck6·26－k·x6－3k， 令6－3k＝0，解得k＝2， 所以常数项是 C26·24＝240.
延伸探究 若将例 2(1)的式子变为“1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn”， 求化简结果.
解 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原 式＝(1－2)n＝(－1)n.
跟踪训练 2 化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k ＋…＋(－1)nCnn.
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课堂小结
1.知识清单： (1)二项式展开式的形成过程. (2)二项式定理的正用与逆用. (3)二项展开式的通项的应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：二项式系数与系数的区别，Cknan－kbk 是展开式的第 k＋1 项.
第六章 §6.3 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
一、二项式定理
知识梳理
二项式定理 (a＋b)n＝__C_0n_a_n_＋__C_1n_a_n－_1_b_1＋__…__＋__C__kna_n_－_k_b_k＋__…__＋__C__nnb_n__，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 _n_＋__1__项. (3)二项式系数：各项的系数Ckn (k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数. (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第__k_＋__1_项叫做二项式通项，记作Tk＋1 ＝__C_kn_a_n－_k_b_k __.
x)
1x3＋C44
1x4＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
方法二
3
x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4
＝x12·[1＋C14·3x＋C24(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4]
＝x12(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x2.
反思感悟 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开 时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如 (a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用 二项式定理展开.
二、二项式定理的逆用
例 2 (1)化简：1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn. 解 原式＝C0n·1n·20＋C1n·1n－1·2＋C2n·1n－2·22＋…＋Cnn2n＝(1＋2)n＝3n.
跟踪训练 3
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第 3 项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn(x＋1)n－k (－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
反思感悟 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要 熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.
4.代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为__x_4__. 解析 (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1 ＝C04(x＋1)4＋C14(x＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)·(－1)3＋C44(－1)4 ＝[(x＋1)－1]4＝x4.
跟踪训练 1 求2x－23x25 的展开式.
解 方法一 2x－23x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4·－23x2＋C25(2x)3－23x22 ＋C35(2x)2－23x23＋C45(2x)·－23x24＋C55－23x25 ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310. 方法二 2x－23x25＝43x32－x1035＝321x10[C05(4x3)5＋C15(4x3)4(－3)＋C25(4x3)3(－3)2 ＋C35(4x3)2(－3)3＋C45(4x3)(－3)4＋C55(－3)5] ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
反思感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝Ckn－1an－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项； ④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是 整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要 求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解； ③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负 整数，求解方式与求有理项一致.
(2)求x3的系数.
解 设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则 令9－2k＝3，得k＝3， 即展开式中第4项含x3， 其系数为(－1)3·C39＝－84.
延伸探究 若将本例中题目改为“x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84”， 则 a＝__1___.
解析 x－ax9 的展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k·1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3， 代入得 x3 的系数为 C39(－a)3＝－84， 解得a＝1.
注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次 增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换.
例1
求3
x＋
1
4
x
的展开式.
解
方法一
3
x＋ 1x4＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3·1x＋C24(3
x)2
1
2
x
＋C34(3
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35·(2x＋1)2＋C45(2x＋1) －C55(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
三、二项展开式的通项的应用
例 3 在二项式x－1x9 的展开式中， (1)求第 6 项的二项式系数和第 6 项的系数；
解 由已知得二项式通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k·－1xk＝(－1)k·Ck9·x9－2k， ∴T6＝(－1)5·C59·x9－2×5＝－126x－1. ∴第 6 项的二项式系数为 C59＝126，第 6 项的系数为－126.
随堂演练
1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是
A.2n
√B.2n＋1
C.2n－1
D.2பைடு நூலகம்n＋1)
解析 展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
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2.x＋1x9 的展开式中的第 4 项是
A.56x3
√B.84x3
C.56x4
解析 T4＝C39x61x3＝84x3.
D.84x4
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3.二项式2x＋x126 的展开式中，常数项是___2_4_0___. 解析 二项式2x＋x126 的第 k＋1 项为 Tk＋1＝Ck6(2x)6－k·x12k＝Ck6·26－k·x6－3k， 令6－3k＝0，解得k＝2， 所以常数项是 C26·24＝240.
延伸探究 若将例 2(1)的式子变为“1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn”， 求化简结果.
解 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原 式＝(1－2)n＝(－1)n.
跟踪训练 2 化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k ＋…＋(－1)nCnn.
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课堂小结
1.知识清单： (1)二项式展开式的形成过程. (2)二项式定理的正用与逆用. (3)二项展开式的通项的应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：二项式系数与系数的区别，Cknan－kbk 是展开式的第 k＋1 项.
第六章 §6.3 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
一、二项式定理
知识梳理
二项式定理 (a＋b)n＝__C_0n_a_n_＋__C_1n_a_n－_1_b_1＋__…__＋__C__kna_n_－_k_b_k＋__…__＋__C__nnb_n__，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 _n_＋__1__项. (3)二项式系数：各项的系数Ckn (k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数. (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第__k_＋__1_项叫做二项式通项，记作Tk＋1 ＝__C_kn_a_n－_k_b_k __.
x)
1x3＋C44
1x4＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
方法二
3
x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4
＝x12·[1＋C14·3x＋C24(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4]
＝x12(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x2.
反思感悟 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开 时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如 (a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用 二项式定理展开.
二、二项式定理的逆用
例 2 (1)化简：1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn. 解 原式＝C0n·1n·20＋C1n·1n－1·2＋C2n·1n－2·22＋…＋Cnn2n＝(1＋2)n＝3n.
跟踪训练 3
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第 3 项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn(x＋1)n－k (－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
反思感悟 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要 熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.