江苏省苏州中学2010届高三上学期期中考试数学

江苏省苏州中学2010届高三上学期期中考试
高三数学
本试卷分A,B 两部分,文科只做A 部分,满分160分,考试时间120分钟;理科做A,B 两部分,满分160分+40分,考试时间150分钟。

答案直接做在答案专页上。

A.文理科必做题部分(160分)
一、填空题(本大题共有14道小题,每小题5分,计70分)
1. 已知集合}{
{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==，则A B = ▲ .
2. 函数ln(3)y x =-的定义域是 ▲ .
3. 函数22
()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是 ▲ . 4. 函数12
log y x =的单调增区间是 ▲ .
5. 在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若A B C =+，则22
2
a b c -的值是
▲ .
6. 函数2
23
m
m y x --=(常数Z m ∈)是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则m = ▲ .
7. 命题“R x ∃∈，使2
(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ . 8. 已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2
()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a =
▲ .
9. 等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若1121210,0(N )n n a b a b n *
++=>=>∈，则11,n n a b ++的
大小关系是 ▲ . 10. 已知3cos()6
3π
α-
=
，则sin(2)6
π
α+= ▲ . 11. 给出如下的四个命题：
①2(0,)x π∃∈，使1
3sin cos x x +=；②当(0,1)x ∈时，1
ln 2ln x x
+
≤-；③存在区间
(,)a b ，使得cos y x =是减函数，且sin 0x <；④函数()lg(1)g x ax =+的定义域是1{|}a x x >-.
其中所有正确命题的序号是 ▲ . （注：把你认为所有真命题的序号都填上）
12. 已知函数22
02,()02,x x x f x x x x ≥⎧+=⎨<-⎩
，若2(2)()f t f t ->，则实数t 的取值范围是 ▲ .
13. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且当0x >时，()()0xf x f x '->恒成立，
则不等式()0f x >的解集是 ▲ .
14. 已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，已知10010041,49S T ==，记
(N )n n n n n n n C a T b S a b n *
=+-∈，那么数列{}n C 的前100项和100
1
i i C ==∑ ▲ .
二、解答题(本大题共有6道题,计90分)
15. (本小题满分14分)
已知函数()2x
f x =及3
()g x x =的图象如图所示.
(1) 指出图中曲线12,C C 所对应的是哪一个函数？ (2) 若1[,1]x a a ∈+，2[,1]x b b ∈+且
,{|112,N}a b x x x ∈≤≤∈，指出,a b 的值，并说明理由；
(3) 结合函数图象，判断(6),(6),(2009),(2009)f g f g 的大小关系，并按从小到大的顺序排列.
O 1x x x 1C
2C
A B
y
16. (本小题满分14分)
设函数2()cos(2)sin 3
f x x x π
=+
+.
(1) 求函数()f x 的最大值及其图象的对称中心； (2) 设,,A B C 是△ABC 的三个内角，若11
cos ,(),324
C B f C ==-为锐角，求sin A 的值.
17. (本小题满分15分)
已知函数12()2
x f x x -=
-M ，函数2
()lg[(1)]g x x a x a =-++-的定义域是N . (1) 设R U =，2a =时，求()U M C N ；
(2) 当()U M C N U =时，求实数a 的取值范围.
18. (本小题满分15分)
某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经过环保部门审批同意后方可投入生产. 已知该厂连续生产n 个月的累积产量为1
()(1)(21)2
f n n n n =+-吨，但如果月产量超过96吨，则会给环境造成污染.
(1)请你代表环保部门给该厂拟定最长的生产周期；
(2)若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月缴纳a 万元的环保费用. 已知每吨产品的售价为0.6万元，第n 个月的工人工资为282
()155
g n n n =
--万元. 当环保费用a 在什么范围时，
该工厂每月都有利润？
19. (本小题满分16分)
数列{}n a ，{}n b 满足：124
39,(R)n n n
n a ka n
k b a n +=+⎧∈⎨=-+⎩. (1) 当11a =时，求证：{}n a 不是等差数列；
(2) 当1
2k =-
时，试求数列{}n b 是等比数列时，实数1a 满足的条件； (3) 当12k =-时，是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，都有12
33
n S ≤≤成立(其中n S 是
数列{}n b 的前n 项和)，若存在，求出1a 的取值范围；若不存在，试说明理由.
20. (本小题满分16分)
已知函数32
21()ln ,()3(,,R)32
f x x x
g x x ax bx c a b c ==-
+-+∈. (1)若函数()()()h x f x g x ''=-是其定义域上的增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若()g x 是奇函数，且()g x 的极大值是3
g ，求函数()g x 在区间[1,]m -上的最大值； (3)证明：当0x >时，12
()1x
f x e ex
'>
-+.
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高三数学答案专页
满分160分，考试时间120分钟． 题号 1--14 15 16 17 18 19 20
总分
复核
得分 批阅
一、填空题（每小题5分，共70分）
二、解答题（共6小题 共90分）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
16.
19.
20.
江苏省苏州中学2010届高三上学期期中考试
高三数学理科附加题
本试卷满分40分，考试时间30分钟.解答直接做在试卷上,请在规定区域内答题．
题号 21 22 23
总分
复核
得分 批阅
21. (本小题满分10分) 设函数()14f x x x a =-+--)f x （
的定义域.
22. (本小题满分10分) 用数学归纳法证明：2
22
11
13123
21
n n n ++++
≥+(N )n *
∈.
23. (本小题满分10分)
设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. (1)求()y f x =的表达式；(2)求()y f x =的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积.
24. (本小题满分10分) 已知函数23()ln(23)2
f x x x =+-
. (1) 求函数()f x 在[0,1]上的极值；
(2) 若对任意11
63[,]x ∈，不等式ln ln[()3]0a x f x x '-++>成立，求实数a 的取值范围.
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高三数学参考答案
一.填空题（每小题5分，共70分） 1.{3,9} 2. (,3)-∞ 3.
2
π 4. (,0)-∞ 5. 1 6. 1 7. [1,3]- 8. 5 9.
11n n a b ++≥
10.13- 11.② 12. (2,1)- 13. (1,0)(1,)-+∞ 14.2009
二.解答题
15.解：(1)1C 对应函数为()2x
f x =；2C 对应函数为3
()g x x =；
(2)1,9a b ==；
(3)(6)(6)(2009)(2009)f g g f <<<. 16.解：312
()2f x x =+. (1)31+4,x k k Z ππ=-∈；对称中心为1
22(,),k k Z π∈；
(2)1
24()C f =-，代入得3
sin C ，由C 为锐角，则3
C π=
；
由13cos B =，则22
sin B =332212sin sin A B B ++=
.
17.解：由1220x x --≥，得1
2[,2)M =；
(1)当2a =时，(2)(1)0x x --->，得(1,2)N =，所以12()[,1]U M C N =.
(2)根据题意，{|()(1)0}N x x a x =--<，由()U M C N U =，得N M ⊆.
由N ≠∅，得1a ≠.
当1a <时，(,1)N a M =⊆，得1
2
a ≥
，即121a ≤<；
当1a >时，(1,)N a M =⊆，得2a ≤，即12a <≤； 综上，取值范围为12[,1)
(1,2].
18.解：(1)设第n 个月产量为n a 吨，则1(1)1a f ==，
当2n ≥时，2
()(1)32n a f n f n n n =--=-，
令232960n n --≤，得1636n -≤≤，又n N *
∈，则1,2,3,4,5,6n =时，每月产量不超过
96吨.
故最长生产周期是6个月.
(2)由题22382
555(32)10n n n n a --++->对1,2,3,4,5,6n =恒成立， 故22141155551(2)a n n n <-+=-+，则1
50a <<.
19. 解：(1)证：11a =，21a k =+，2
32a k k =++，
又22
21(22)1k k k k k +++-+=-+，而2
10k k -+=无实数解，
则2132a a a ≠+，从而{}n a 不是等差数列.
(2)当12k =-时，12
11129,n n a a n b
a +=-+=-, 因为241
11392(1)n n n
b a n b ++=-++=-，故1121129()()n n b a -+=--， 从而当2
19a ≠时，数列{}n b 为等比数列；
(3)当12k =-，219a =时，0n S =，不满足题设，故219a ≠，数列{}n b 为等比数列. 其首项为2
119b a =-，公比为12
-，于是2211392()[1()]n n S a =---. 若12
33
n S ≤≤
，则112
2
1212
1992[1()]
1()n n a ----+≤≤+对任意正整数n 恒成立， 而121()n
--得最大值为32，最小值为34，因此88199a ≤≤，即8
19a =时，成立.
20.解：(1)()ln 1f x x '=+ ，2()23g x x ax b '=-+-，所以2
()ln 231h x x x ax b =+-++， 由于()h x 是定义域内的增函数，故1()40x h x x a '=+-≥恒成立，
即14x a x ≤+对0x ∀>恒成立，又144x x +≥(2x =时取等号)，故(,4]a ∈-∞.
(2)由()g x 是奇函数，则()()0g x g x +-=对0x ∀>恒成立，从而0a c ==，
所以323
()3g x x bx =--，有2
()23g x x b '=--. 由()g x 极大值为3
3(
)g ，即33(0g '=，从而2
9
b =-； 因此32233()g x x x =--，即23
32333()22(g x x x x '=-+=-，
所以函数()g x 在3(,-∞和3()+∞上是减函数，在33()上是增函数.
由()0g x =，得1x =±或0x =，因此得到：
当10m -<<时，最大值为(1)0g -=； 当33
0m ≤<322
33()g m m m =-+；
当33
m ≥
时，最大值为343
327
(g .
(3)问题等价于证明2()ln x
x
e
e f x x x =>
-对0x >恒成立； ()ln 1f x x '=+，所以当1(0,)e x ∈时，()0f x '<，()f x 在1
(0,)e 上单调减； 当1(,)e x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1
(,)e +∞上单调增； 所以()f x 在(0,)+∞上最小值为1e -(当且仅当1
e x =时取得)
设2()(0)x x
e e m x x =
->，则1()x x e
m x -'=，得()m x 最大值1(1)e m =-(当且仅当1x =时取得), 又()f x 得最小值与()m x 的最大值不能同时取到，所以结论成立.
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高三数学理科附加题参考答案
21.解：根据题意，当3a ≤时，()f x 的定义域为R ；
当3a >时，定义域为5522(,][,)a a
-+-∞+∞.
22.证：当1n =时，结论成立； 假设n k =时，不等式成立； 当1n k =+时，左边231
21
(1)
k
k k ++≥
+，下证：23(1)31212(1)1(1)k k k k k ++++++≥， 作差得22
3(1)
(2)3
1
212(1)1(1)(1)(21)(23)
0k k k k k k k k k k ++++++++++-=
>，
得结论成立，即当1n k =+时，不等式成立， 根据归纳原理，不等式成立.
23.解：(1)设2
()2f x x x c =++，根据()0f x =有两等根，则1c =，即2
()21f x x x =++； (2)
2131
(21)x x dx -++=⎰
.
24.解：(1) 3(1)(31)
3
2332()3x x x
x f x x -+-++'=-=
，令()0f x '=，得13x =或1x =-(舍).
所以根据单调性，11
36()ln 3f =-为函数()f x 在[0,1]上的极大值；
(2)由ln ln[()3]0a x f x x '-++>，得323ln ln x a x +>-；
令2
323233()ln ln ln x x x h x x ++=-=，根据题意，()a h x >在1163[,]x ∈上恒成立； 而()0h x '>说明，()h x 在1163[,]上单调增，从而13()a h >，即13ln a >.。