2017-2018学年湖北省孝感市重点高中协作体高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年湖北省孝感市重点高中协作体高二（下）期末数
学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）命题“∃x0∈R，≥1”的否定是（）
A．∃x0∈R，＜1B．∃x0∈R，≤1
C．∀x∈R，2x≥1D．∀x∈R，2x＜1
2．（5分）复数的共轭复数为（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知，是两个向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）用反证法证明命题“若a＞2，则方程x2+ax+1＝0至少有一个实根”时，应假设（）
A．方程x2+ax+1＝0没有实根
B．方程x2+ax+1＝0至多有一个实根
C．方程x2+ax+1＝0至多有两个实根
D．方程x2+ax+1＝0恰好有两个实根
5．（5分）已知命题p是命题“若ac＞bc，则a＞b”的否命题；命题q：若复数（x2﹣1）+（x2+x﹣2）i是实数，则实数x＝1，则下列命题中为真命题的是（）
A．p∨q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）6．（5分）已知数列{a n}满足a1＝2，，则a2019＝（）
A．﹣1B．0C．1D．2
7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CC1的中点，则下列说法正确的是（）
A．A1E⊥BF
B．A1F与BD所成角为60°
C．A1E⊥平面ADF
D．A1F与平面ABCD所成角的余弦值为
8．（5分）若函数f（x）＝（x2﹣ax+2）e x在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]
9．（5分）证明等式12+22+32+…+n2＝（n∈N*）时，某学生的证明过程如下
（1）当n＝1时，12＝，等式成立；
（2）假设n＝k（k∈N*）时，等式成立，
即12+22+32+…+k2＝，则当n＝k+1时，12+22+32+…+k2+（k+1）2＝
+（k+1）2＝＝＝
，所以当n＝k+1时，等式也成立，故原等式成立．
那么上述证明（）
A．全过程都正确
B．当n＝1时验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
10．（5分）某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/时）的函数解析式为．若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（）
A．60千米/时B．80千米/时C．90千米/时D．100千米/时11．（5分）直线y＝﹣2x﹣3与曲线的公共点的个数为（）A．1B．2C．3D．4
12．（5分）函数f（x）＝e2x+e﹣2x，g（x）＝2cos2x+ax，若∀x∈[0，+∞），f（x）≥g（x），则a的取值范围为（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）设空间向量，，且，则m﹣n＝．14．（5分）复数z满足z（2﹣3i）＝18﹣i，则|z|＝．
15．（5分）若曲线与直线x＝a，y＝0所围成的封闭图形的面积为6，则a ＝．
16．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l与该抛物线交于两点，过其中一交点A向准线作垂线，垂足为A'，若△AA'F是面积为的等边三角形，则p＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知复数z＝a2+ai（a∈R），若，且z在复平面内对应的点位于第四象限．
（1）求复数z；
（2）若m2+m﹣mz2是纯虚数，求实数m的值．
18．（12分）已知函数在x＝﹣3处取得极大值为9．（I）求a，b的值；
（II）求函数f（x）在区间[﹣3，3]上的最值．
19．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面ABC，SA＝SB，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，D为AB的中点．
（1）证明：SB⊥平面SAC；
（2）求二面角D﹣SC﹣A的余弦值．
20．（12分）已知椭圆C：的离心率，该椭圆中心到直线
的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点M（0，﹣2）的直线l，使直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过定点N（1，0）？若存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（ax+1）+x2﹣ax﹣ln2（a＞0）．
（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为mx﹣2y﹣3＝0，求a，m的值；
（2）若∀a∈（1，2），，使f（x0）+m（a2﹣1）＞0成立，求m的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C：x2+y2﹣6x＝0，直线l1：，直线l2：
，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线C的参数方程以及直线l1，l2的极坐标方程；
（2）若直线l1与曲线C分别交于O，A两点，直线l2与曲线C分别交于O，B两点，求△AOB的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+a|+2a．
（1）若不等式f（x）≤1的解集为{x|﹣2≤x≤4}，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式f（x）≥k2﹣k﹣4恒成立，求k的取值范围．
2017-2018学年湖北省孝感市重点高中协作体高二（下）
期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：据含量词的命题的否定形式得到：
命题“∃x0∈R，≥1”的否定是，
“∀x∈R，2x＜1”
故选：D．
2．【解答】解：∵，
∴＝，
则复数的共轭复数为﹣2+．
故选：B．
3．【解答】解：由“”可得⊥，或＝或＝，
即“”是“＝”的必要不充分条件，
故选：B．
4．【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．
而要证命题的否定为：“方程x2+ax+1＝0没有实根”，
故选：A．
5．【解答】解：命题“若ac＞bc，则a＞b”的否命题为：“若ac≤bc，则a≤b”，
故命题p为假命题；
若复数（x2﹣1）+（x2+x﹣2）i是实数，则x2+x﹣2＝0，解得：x＝1，或x＝﹣2，
故命题q为假命题；
故命题（￢p）∧（￢q）为真命题，
故选：D．
6．【解答】解：数列{a n}满足a1＝2，＝，
可得a2＝，
a3＝1﹣＝﹣1，
a4＝1﹣＝2，
…
所以数列的周期为3．
则a2019＝a672×3+3＝a3＝﹣1．
故选：A．
7．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F（0，2，1），
＝（0，1，﹣2），＝（﹣2，0，1），
＝﹣2≠0，∴A1E与BF不垂直，
故A错误；
＝（﹣2，2，﹣1），＝（﹣2，﹣2，0），
cos＜，＞＝＝0，
∴A1F与BD所成角为90°，故B错误；
＝（2，0，0），＝（0，2，1），
＝（0，1，﹣2），
•＝0，＝0，
∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，
∴A1E⊥平面ADF，故C正确；
＝（﹣2，2，﹣1），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），
设A1F与平面ABCD所成角为θ，
则sinθ＝＝，
∴cosθ＝＝．
∴A1F与平面ABCD所成角的余弦值为，故D错误．
故选：C．
8．【解答】解：函数f（x）＝（x2﹣ax+2）e x，
∴f′（x）＝[x2+（2﹣a）x+2﹣a]e x
令f′（x）≥0，得x2+（2﹣a）x+2﹣a≥0，
∴△＝（2﹣a）2﹣4（2﹣a）≤0，解得a2≤4，
可得：﹣2≤a≤2．
∴函数f（x）＝（x2﹣ax+2）e x在R上单调递增，则a的取值范围是：[﹣2，2]．
故选：D．
9．【解答】解：首先，所证明的命题是关于正整数n的命题，
其次，依据证明过程，得
该命题证明过程分为两部分：
①当n＝1时和②假设当n＝k时等式成立，即即12+22+32+…+k2＝，那么
当n＝k+1时，证明成立，
这就是数学归纳法的证题思想．
据此可知上述证明全过程都正确
故选：A．
10．【解答】解：当速度为x千米/小时时，该汽车行驶200千米时行驶了小时，设耗油量为h（x）升，．
依题意得h（x）＝（）＝（0＜x≤120），h′（x）＝﹣＝（0＜x≤120）．
令h'（x）＝0，得x＝90．
当x∈（0，90）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（90，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．
∴当x＝90时，h（x）取到极小值h（90）＝18．
因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，
所以当x＝90时取得最小值．
故选：C．
11．【解答】解：当x≥0时，曲线的方程为，一条渐近线方程为：y＝﹣x，
当x＜0时，曲线的方程为，
∴曲线的图象为右图，
在同一坐标系中作出直线y＝﹣2x﹣3的图象，
可得直线与曲线交点个数为2个．
故选：B．
12．【解答】解：f（x）＝e2x+e﹣2x，g（x）＝2cos2x+ax，
若∀x∈[0，+∞），f（x）≥g（x），
可得e2x+e﹣2x≥2cos2x+ax，
x＝0时，不等式显然成立，
可得a≤对x＞0恒成立，
由e2x+e﹣2x≥2＝2，
2cos2x≤2，即有﹣2cos2x≥﹣2，
即e2x+e﹣2x﹣2cos2x≥0，
则a≤0，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．【解答】解：∵，，且，
∴，即（1，2，n）＝λ（﹣2，m，4），
∴，即，m＝﹣4，n＝﹣2．
∴m﹣n＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．【解答】解：复数z满足z（2﹣3i）＝18﹣i，
可得|z||2﹣3i|＝|18﹣i|，
即|z|•＝，
即|z|•＝，
可得|z|＝5．
故答案为：5
15．【解答】解：由定积分的几何意义可知，由曲线与直线x＝a，y＝0所围成的封闭图形的面积为＝＝，
∵a＞0，解得a＝3，
故答案为：3．
16．【解答】解：如图，设等边三角形△AA'F的边长为a，
则⇒a＝4，
可得∠A′FO＝600，A′F＝4
∴2OF＝A′F cos60°＝2．
即p＝2．
故答案为：2．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．【解答】解：（1）∵z＝a2+ai，，
∴a4+a2＝2，得a2＝1．
又∵z在复平面内对应的点位于第四象限，∴a＝﹣1，
即z＝1﹣i；
（2）由（1）得z＝1﹣i，
∴z2＝﹣2i，则m2+m﹣mz2＝m2+m+2mi．
∵m2+m﹣mz2是纯虚数，
∴，解得m＝﹣1．
18．【解答】解：（I）函数，可得f′（x）＝x2+2ax+b，函数在x＝﹣3处取得极大值为9．
可得：，
解得：
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）＝x，f′（x）＝x2+4x+3＝0
令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣3，
令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜﹣1，∵x∈[﹣3，3]
∴f（x）在（﹣1，3]递增，在（﹣3，﹣1）递减，
而f（﹣3）＝0，
∴f（x）最小值＝f（﹣1）＝，
f（x）最大值＝f（3）＝9+18+27＝54，
∴f（x）在[﹣3，3]上的最小值是﹣，最大值，54．
19．【解答】（1）证明：因为平面SAB⊥平面ABC，平面SAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥AC，所以AC⊥平面SAB，所以SB⊥AC．
又因为SA＝SB，，所以AB2＝SA2+SB2，即SB⊥SA．
因为AC∩SA＝A，且AC，SA⊂平面SAC，
所以SB⊥平面SAC．
（2）解：如图，
建立空间直角坐标系A﹣xyz，令AB＝4，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，4，0），S （2，0，2），B（4，0，0）．
易得，，．
设为平面DCS的一个法向量，则，取x＝2，则y＝1，z ＝0，
所以．
又因为为平面SAC的一个法向量，所以
．
所以二面角D﹣SC﹣A的余弦值为．
20．【解答】解：（1）直线的一般方程为bx+ay﹣ab＝0，
依题意得，解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，
此时A，B为椭圆C的短轴端点，以AB为直径的圆经过点N（1，0）；
当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，由，
得（1+3k2）x2﹣12kx+9＝0，
所以△＝（﹣12k）2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，①
而﹣2k（x1+x2）+4，
因为以AB为直径的圆过定点N（1，0），
所以AN⊥BN，则，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0．
所以（k2+1）x1x2﹣（2k+1）（x1+x2）+5＝0．②
将①式代入②式整理解得．
综上可知，存在直线l：x＝0或l：，使得以AB为直径的圆经过点N（1，0）．21．【解答】解：，
（1），f（1）＝ln（a+1）+1﹣a﹣ln2，
由，
得．
令，，
所以函数n（a）在（0，+∞）上单调递增，又n（1）＝0，所以．
（2）令，因为当a∈（1，2）时，函数g（a）在a∈（1，2）上单调递增，
所以，
于是函数f（x）在上一定单调递增．
所以f（x）在上的最大值为f（1）＝ln（a+1）+1﹣a﹣ln2．
于是问题等价于：∀a∈（1，2），不等式ln（a+1）+1﹣a﹣ln2+m（a2﹣1）＞0恒成立．
记h（a）＝ln（a+1）+1﹣a﹣ln2+m（a2﹣1）（1＜a＜2），
则．
当m≤0时，因为，2ma≤0，所以h'（a）＜0，
则h（a）在区间（1，2）上单调递减，此时，h（a）＜h（1）＝0，不合题意．
故必有m＞0．
若，由可知h（a）在区间上单调递减，
在此区间上，有h（a）＜h（1）＝0，与h（a）＞0恒成立矛盾．
故，这时h'（a）＞0，h（a）在（1，2）上单调递增，
恒有h（a）＞h（1）＝0，满足题设要求．
所以，即．
所以m的取值范围为．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（1）∵曲线C：x2+y2﹣6x＝0，
∴依题意，曲线C：（x﹣3）2+y2＝9，
故曲线C的参数方程是（α为参数），
∵直线l1：，直线l2：，
∴l1，l2的极坐标方程为l1：，l2：．
（2）∵曲线C：x2+y2﹣6x＝0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，
把代入ρ＝6cosθ，得，所以．
把代入ρ＝6cosθ，得ρ2＝3，所以．
所以＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（1）因为|x+a|+2a≤1，所以|x+a|≤1﹣2a，
所以2a﹣1≤x+a≤1﹣2a，所以a﹣1≤x≤1﹣3a．
因为不等式f（x）≤1的解集为{x|﹣2≤x≤4}，所以，解得a＝﹣1．
（2）由（1）得f（x）＝|x﹣1|﹣2．
要使不等式f（x）≥k2﹣k﹣4恒成立，
只需，
所以﹣2≥k2﹣k﹣4，即k2﹣k﹣2≤0．
所以k的取值范围是[﹣1，2]．。