2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练 考点十三函数的零点与方程的解、二分法

线 y＝－x，之后上下移动直线 y＝－x.可以发现直线与函数图象有两个或一个交
点．
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三、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 7．已知函数 f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0，1)上有零点，则 a 的取值范围为 ________．
观察图象可知，若方程 f(x)－a＝0 有三个不同的实数根，则函数 y＝f(x)的图象与 直线 y＝a 有 3 个不同的交点，此时需满足 0＜a＜1.
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【加练备选】
x3，x≤a，
已知函数 f(x)＝
若存在实数 b，使函数 g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则 a
A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(－4)≥0
C．f(－4)＜f(6)
D．f(0)＜f(－6)
【解析】选 AC.因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数，又 f(－3)·f(6)＜0，所以 f(3)·f(6)＜0.又 f(x)在(0， ＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且 f(3)＜0，f(6)＞0，所以函数 f(x) 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是 f(0)的值没有确定，所以函数 f(x)可能有三个零点， 故 A 正确；又 f(－4)＝f(4)，4∈(3，6)，所以 f(－4)的符号不确定，故 B 不正确；C 项显然正确； 由于 f(0)的值没有确定，所以 f(0)与 f(－6)的大小关系不确定，所以 D 不正确．
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2．函数 f(x)＝2x
＋ln
1 x－1
的零点所在的大致区间是(
)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．(1，2)与(2，3)
【解析】选 B.f(x)＝2x
＋ln
1 x－1
＝2x
－ln (x－1)， 1<x<2 时，ln (x－1)<0，2x
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|2x－1|，x＜2，
4．已知函数 f(x)＝x－3 1，x≥2，
若方程 f(x)－a＝0 有三个不同的实数根，则
实数 a 的取值范围是( )
A．(1，3) B．(0，3) C．(0，2) D．(0，1)
【解析】选 D.画出函数 f(x)的图象如图所示，
B．当 m≤－3 时，对∀ x1≠x2，都有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))＜0 成立
C．当 m＝0 时，方程 f[f(x)]＝0 有 4 个不同的实数根
D．当 m＝0 时，方程 f(x)＋f(－x)＝0 有 2 个不同的实数根
基础1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养1 2 3 4 5 6 【解析】选 AC.对于 A.作出函数 y＝ex－1 和 y＝－x2－4x－4 的图象如图所示：
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1．若函数 f(x)＝|logax|－2－x(a>0 且 a≠1)的两个零点是 m，n，则( )
A．mn＝1
B．mn>1
C．0<mn<1
D．以上都不对
【解析】选 C.由题设可得|logax|＝12 x ，不妨设 a>1，m<n，画出函数 y＝|logax|，
【解析】因为－a＝x2＋x 在(0，1)上有解， 又 y＝x2＋x＝x＋12 2 －14 ， 所以函数 y＝x2＋x，x∈(0，1)的值域为(0，2)， 所以 0<－a<2，所以－2<a<0. 答案：(－2，0)
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8．(2021·三湘模拟)已知函数 f(x)＝
y＝21 x 的图象如图所示，结合图象可知 0<m<1，
n>1，且－logam＝12 m ，logan＝21 n ，以上两式两
边相减可得 loga(mn)＝12 n －12 m <0，所以 0<mn<1.
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2．(能力挑战题)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(2－x)＝f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x) ＝x，设函数 g(x)＝f(x)－log7|x|，则 g(x)的零点的个数为( ) A．6 B．12 C．8 D．14 【解析】选 B.由题意，y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称，函数 g(x)＝f(x)－log7|x|的零点即为 f(x)＝ log7|x|的根，又 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(－x)＝f(x)，所以 f(2－x)＝f(x)＝f(－x)， 可得 f(x)的周期为 2，函数 y＝f(x)与 y＝log7|x|的图象都关于 y 轴对称，作出两函数在(0，＋∞) 上的部分图象如图：
则由表中的数据，可得方程 ln (2x＋6)＋2＝3x 的一个近似解(精确度为 0.1)为( )
A．1.125
B．1.312 5
C．1.437 5
D．1.468 75
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【解析】选 B.因为 f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数 f(x)的零点在 区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为 0.125>0.1，因此需要取(1.25， 1.375)的中点 1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足 区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为 0.062 5<0.1， 因此 1.312 5 是一个近似解．
由图可知，两函数在(0，＋∞)上有 6 个交点，根据对称性可得，g(x)的零点的个数为 12.
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3．(多选题)(2022·广州模拟)已知函数 f(x)＝
ex－1，x≥m
，则( )
－（x＋2）2，x＜m（m∈R）
A．对任意的 m∈R，函数 f(x)都有零点
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【解析】(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0 有两个不相等的实
数根，易知
Δ>0，即
4＋12(1－m)>0，可解得
4 m<3
.
故当
4 m<3
时，函数有两个零点；
同理可得当 Δ＝0，即 m＝34 时，函数有一个零点；
当
Δ＜0，即
4 m>3
时，函数无零点．
(2)由题意知 0 是对应方程的根，故有 1－m＝0，可解得 m＝1.
(3)由题意可得 f(2)>0，即－7－m>0，
则 m<－7.故实数 m 的取值范围为(－∞，－7).
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f（x），x≤3， 10．已知 f(x)＝|x－1|＋1，F(x)＝
|log 2x|，0<x≤2
，函数 g(x)＝f(x)－a 有四个不同零点，这四个零点之积的取值范
x－32，x>2
围是____________．
【解析】函数 g(x)的零点，就是曲线 y＝f(x)与直线 y＝a 交点的横坐标，如图所示．不 妨设四个零点从小到大依次为 x1，x2，x3，x4， 则－log 2x1＝log 2x2，所以 x1x2＝1.又 x3x4＝x3(6－x3)＝ －(x3－3)2＋9，因为 2<x3<3，所以 x3x4 的取值范围是 (8，9).所以，这四个零点积的取值范围是(8，9). 答案：(8，9)
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|x－1|＋1，x≤3， (2)F(x)＝
12－3x，x>3，
2－x，x<1， 即 F(x)＝ x，1≤x≤3，
12－3x，x>3.
作出函数 F(x)的图象如图所示： 当直线 y＝a 与函数 y＝F(x)的图象有三个 公共点时，方程 F(x)＝a 有三个解，所以 1＜a＜3.所以实数 a 的取值范围是(1，3).
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【加练备选】 (2022·福州模拟)方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间是( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【解析】选 C.令 f(x)＝2x－1＋x－5，则方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间就是函数 f(x)＝2x－1＋x－5 的零点所在的区间．由于 f(2)＝4－5＝－1<0，f(3)＝4＋3－5＝2 ＞0，根据函数零点的存在性定理可得函数 f(x)＝2x－1＋x－5 的零点所在的区间为 (2，3).
x2，x>a.
的取值范围是________．
【解析】令 φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数 g(x)＝f(x)－b 有两个零点，即函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得 a<0 或 φ(a)>h(a)，即 a<0 或 a3>a2，解得 a<0 或 a>1，故 a∈(－∞，0)∪(1，＋∞). 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
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3．用二分法求方程 ln (2x＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令 f(x)＝ln (2x＋6)＋2－3x，
并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
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四、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．已知函数 f(x)＝－3x2＋2x－m＋1. (1)当 m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求 m 的值； (3)若 f(x)＝0 有两个根，且一个根大于 2，一个根小于 2，求实数 m 的取值范围．
12－3x，x>3.
(1)解不等式 f(x)≤2x＋3； (2)若方程 F(x)＝a 有三个解，求实数 a 的取值范围．
x（x≥1）， 【解析】(1)f(x)＝|x－1|＋1＝
－x＋2（x<1），
①当 x≥1 时，解不等式 x≤2x＋3 得 x≥1， ②当 x＜1 时，解不等式－x＋2≤2x＋3 得－13 ≤x＜1， 综合①②得：不等式 f(x)≤2x＋3 的解集 为：－13，＋∞ .
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ex，x≤0，
6．已知函数 f(x)＝
g(x)＝f(x)＋x＋a，则函数 g(x)的零点个数可能为
ln x，x>0，
()
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选 BC.画出函数 f(x)的图象，y＝ex 在 y 轴右侧的去掉，如图，再画出直
课时作业本
十三 函数的零点与方程的 解、二分法
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一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)
1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝ln x
B．y＝x2＋1
C．y＝sin x
D．y＝cos x
【解析】选 D.对于 A，y＝ln x 定义域为(0，＋∞)，所以是非奇非偶的函数；对于 B，是偶函数，但是不存在零点；对于 C，sin (－x)＝－sin x，是奇函数；对于 D， cos (－x)＝cos x，是偶函数并且有无数个零点．
>0，
所以 f(x)>0，故函数 f(x)在(1，2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝23 －ln 2＝
2－3ln 2 2－ln 8 3 ＝ 3 .因为 8 ＝2 2 ≈2.828>e，所以 8>e2，即 ln 8>2，即 f(3)<0.
又 f(4)＝12 －ln 3<0，所以 f(x)在(2，3)内存在一个零点．
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二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分)
5．已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且 f(－3)·f(6)＜0，那么下列结论
中正确的是( )