事件的相互独立性(优秀经典公开课课件)

(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用－A －B －C 表示 P(－A －B －C )＝P(－A )P(－B )P(－C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003 所以三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用 (－A BC)∪(A－B C)∪(AB－C )表示． 由于事件－A BC，A－B C 和 AB－C 两两互斥， 根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为 P(－A BC)＋P(A－B C) ＋P(AB－C )＝P(－A )P(B)P(C)＋P(A)P(－B )P(C)＋P(A)P(B)P(－C ) ＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]·P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)] ＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329.
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( ) (3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件 A，B 相互独立”的充要条件．( ) (4)互斥事件是相互独立事件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
第十章 概率 10.2 事件的相互独立性
学业标准
素养目标
1．结合有限样本空间，了解两个随机事 1．通过学习两个随机事件独立性的含
件独立性的含义．
义，培养学生数学抽象素养．
2．结合古典概型，利用独立性计算概 2．通过利用随机事件的独立性计算概
率．(重点、难点)
率，培养学生数学运算素养.
01 课 前 案 自 主 学 习
答案 C
4．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是 0.8,0.6,0.5， 则 三 人 都 达 标 的 概 率 是 ________ ， 三 人 中 至 少 有 一 人 达 标 的 概 率 是 ____________．
解析 由题意可知三人都达标的概率为 P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至 少有一人达标的概率为 P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 相互独立事件 甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球、2 个黑球．从这两 个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里 摸出白球”．
事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？ [提示] 不影响．
[规律方法] 求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示． (2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立．或者是相互独立)，列出关 系式． (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的 概率，再求出符合条件的事件的概率．
题型二 相互独立事件概率的计算(一题多变) [例 2] 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中 的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响． (1)求 3 人同时被选中的概率； (2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
[解析] 设甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A，B，C， 则 P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝31. (1)3 人同时被选中的概率 P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.
2．袋内有 3 个白球和 2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A 表示“第一次摸
得白球”，用 B 表示“第二次摸得白球”，则 A 与 B 是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
解析 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A 与 B 不是相 互独立事件．
答案 D
3．甲、乙两班各有 36 名同学，甲班有 9 名三好学生，乙班有 6 名三好学生，
两班各派 1 名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )
A．254
B．152
C．214
D．38
解析 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件 A，B 分别为甲班、乙班 派出的是三好学生，则事件 AB 为两班派出的都是三好学生，则 P(AB)＝P(A)P(B) ＝396×366＝214.
【思考】 (1)事件 A 与 B 相互独立可以推广到 n 个事件的一般情形吗？ [提示] 对于 n 个事件 A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率 不受其他事件是否发生的影响，则称事件 A1，A2，…，An 相互独立．
(2)公式 P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？ [提示] 公式 P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件 A1，A2，…， An 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
[素养聚焦] 通过相互独立事件的计算，把逻辑推理与数学运算等核心素养体现在解题过 程中．
[规律方法] 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
(1)用恰当的字母表示题中有关事件． (2)根据题设条件，分析事件间的关系． (3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和 (相互乘积的事件之间必须满足相互独立)． (4)利用乘法公式计算概率．
[触类旁通] 1．判断下列事件是否为相互独立事件． (1)甲组 3 名男生， 2 名女生；乙组 2 名男生， 3 名女生，现从甲、乙两组 中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个， 取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”．
答案 0.24 0.96
02
课堂案 题型探究
题型一 事件独立性的判断 [例 1] 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列 两种情形，讨论 A 与 B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．
[母题变式] 1．条件不变，求三人均未被选中的概率． 解析 解法一 三人均未被选中的概率 P＝P(－A －B －C )＝1－25×1－34×1－13＝110. 解法二 由典例(2)知，三人至少有 1 人被选中的概率为190，∴P＝1－190＝110.
2．若条件“3 人能被选中的概率分别为25，34，13”变为“甲、乙两人只有一 人被选中的概率为2110，两人都被选中的概率为130，丙被选中的概率为13”，求恰 好有 2 人被选中的概率．
解析 设甲被选中的概率为 P(A)，乙被选中的概率为 P(B)， 则 P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＝2110，① P(A)P(B)＝130，② 由①②知 P(A)＝25， P(B)＝34，或PA＝34，PB＝25 故恰有 2 人被选中的概率 P＝P(AB－C )＋P(A－B C)＋P(－A BC)＝2630.
试求 P(A)，P(B)，P(AB)．并判断三者有什么关系． [提示] P(A)＝53，P(B)＝12，P(AB)＝35× ×24＝130，所以 P(AB)＝P(A)P(B)．
◎结论形成
1．相互独立事件的定义 对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝__P_(A__)P__(B_)__成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称为独立． 2．相互独立事件的性质 当事件 A，B 相互独立时，则事件__A___与事件__－B___相互独立，事件_－_A___ 与事件__B___相互独立，事件__－A___与事件__－B___相互独立．
于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝84＝21，P(AB)＝83， 显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
[规律方法] 两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件 A，B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率的积，则事件 A，B 为相互独立事件．
[触类旁通] 2．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是 0.96，乙机床的次 品率是 0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件正品的概率．
解析 用 A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用 B 表示“从乙机床 生产的产品中抽得正品”，用 C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用 D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则 C＝(A－B )∪(－A B)，D＝C∪ (AB)．
[解析] (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男，男)，(男， 女)，(女，男)，(女，女)}，
它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为14. 这时 A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是 P(A)＝12，P(B)＝43，P(AB)＝21. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件 A，B 不相互独立．
(2)3 人中有 2 人被选中的概率 P2＝P(AB－C ∪A－B C∪－A BC)＝25×34×1－13＋25 ×1－34×13＋1－25×34×13＝2630.
3 人中只有 1 人被选中的概率 P3＝P(A－B －C ∪－A B－C ∪－A －B C) ＝25×1－34×1－13＋1－52×43×1－31＋1－25×1－34×13＝152. 故 3 人中至少有 1 人被选中的概率为 P1＋P2＋P3＝110＋2630＋152＝190.
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω＝{(男，男， 男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)， (女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为81，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件．
(1)由题意知，A 与 B 是相互独立事件 P(B)＝1－P(－B )＝1－0.05＝0.95，P(A) ＝0.96，
所以两件都是正品的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.
(2)由于事件 A－B 与－A B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为 P(C)＝P[(A－B )∪(－A B)]＝P(A－B )＋P(－A B) ＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086. (3)由于事件 AB 与 C 互斥， 所以 P(D)＝P[(AB)∪C]＝P(AB)＋P(C) ＝0.912＋0.086＝0.998.
解析 (1)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发 生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为74；若 前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为75，可见，前一事件是否发生，对 后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
题型三 相互独立事件的综合应用 [例 3] 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概 率：语文为 0.9，数学为 0.8，英语为 0.85.问一次考试中： (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
[解析] 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A，B，C， 则 A，B，C 两两相互独立且 P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.