上海市普陀区2021届新高考数学二月模拟试卷含解析

上海市普陀区2021届新高考数学二月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）
A．84B．54C．42D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．
【详解】
根据题意，分两种情况进行讨论：
①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为123
323
2
218
C A A
A
=种；
②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.
语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节
英语课也不加以区分，此时，排法种数为
14
24
2
2
24
C A
A
=种.
综上所述，共有182442
+=种不同的排法.
故选：C．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）
A ．32
B ．25
C ．26
D ．27
【答案】C
【解析】
【分析】 根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S ABC -，并且平面SAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，2,2,2,2AD AC BC SD ====，再求得其它的棱长比较下结论.
【详解】 如图所示：
由三视图得：该几何体是一个三棱锥S ABC -，且平面SAC ⊥ 平面ABC ，AC BC ⊥，
过S 作SD AC ⊥，连接BD ，则2,2,2,2AD AC BC SD ==== ，
所以=+=2220BD DC BC ，226SB SD BD =+=，2222SA SD AD =+=2225SC SD AC =+=，
该几何体中的最长棱长为26故选：C
【点睛】
本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
3．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.
【详解】
若32a b >， 0b >，则3log 2a b >，可得3log a b >；
若3log a b >，可得3a b >，无法得到32a b >，
所以“32a b >”是“3log a b >”的充分而不必要条件.
所以本题答案为A.
【点睛】
本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：
① 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
② 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③ 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④ 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件.
⑤ 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系.
4．下列判断错误的是( )
A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=
B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件
C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,
4B ξ⎛
⎫ ⎪⎝⎭:， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.
【详解】
对于A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，根据正态分布曲线的对称性，有()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，故A 选项正确，不符合题意；
对于B 选项，已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则当//αβ时一定有l m ⊥，充分性成立，而当l m ⊥时，不一定有//αβ，故必要性不成立，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 选项正
确，不符合题意；
对于C 选项，若随机变量ξ服从二项分布： 14,
4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 则()114E np ξ==4⨯=，故C 选项正确，不符合题意；
对于D 选项，am bm >Q ，仅当0m >时有a b >，当0m <时，a b >不成立，故充分性不成立；若a b >，仅当0m >时有am bm >，当0m <时，am bm >不成立，故必要性不成立.
因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确，符合题意.
故选：D
【点睛】
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
5．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8
π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π
=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域是（ ）
A ．[1,2]-
B ．[2]
C ．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．[2] 【答案】D
【解析】
【分析】 由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.
【详解】
解：把函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移
8π个单位长度后， 可得32sin 38y x πϕ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
的图象； 再根据得到函数的图象关于直线3x π
=对称，
33382
k π
ππϕπ∴⨯-+=+，k Z ∈， 78πϕ∴=，函数7()2sin 38f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.
在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 382x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦，
故()2sin 3[8f x x π⎛⎫=-
∈ ⎪⎝⎭
，即()f x 的值域是[2]， 故选：D.
【点睛】 本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．
6．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )
A B ． C D 【答案】D
【解析】
【分析】
设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，
122r ⨯=r =
所以圆锥的体积213V r π==
. 故选：D
【点睛】
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.
7．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ）
A ．
B ．(3,2)
C ．(5,0)
D ．(4,1)
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意，设z a bi =+，由|3|2z -=，得22(3)4a b -+=，再一一验证. 【详解】
设z a bi =+，
因为|3|2z -=，
所以22
(3)4a b -+=，
经验证(4,1)M 不满足，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.
8．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B I 的真子集的个数是（ ） A ．8
B ．7
C ．4
D ．3 【答案】D
【解析】
【分析】
转化条件得{}0,1A B =I ，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解.
【详解】
由题意得()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<， ∴{}0,1A B =I ，∴集合A B I 的真子集的个数为2213-=个.
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
9．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）
A ．112π
B ．512π
C ．712π
D ．11π12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果.
【详解】
由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
=⨯，22T πω∴==，
777cos 2cos 112
126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6
πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝
⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=
. 故选：B.
【点睛】
本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 10．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移
9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】
将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9
π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 若函数()y f x =为偶函数，则
()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈， 当0k =时，6π=
ϕ. 因此，“6
π=
ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶
性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.
11．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
12．函数2
sin 1x x y x +=+的部分图象大致为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】
22sin()sin ()()11x x x x f x f x x x
-+-+-=
=-=-++，故奇函数，四个图像均符合。

当(0,)x π∈时，sin 0x >，2
sin 01x x y x +=>+，排除C 、D 当(,2)x ππ∈时，sin 0x <，2sin 01x x y x +=>+，排除A 。

故选B 。

【点睛】
图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面直角坐标系中,O 为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r
,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为
【答案】250x y +-=
【解析】
【分析】
根据向量共线定理得A,B,C 三点共线，再根据点斜式得结果
【详解】 因为OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r ,且α+β=1，所以A,B,C 三点共线，
因此点C 的轨迹为直线AB:131(3)250.31y x x y --=
-∴+-=+ 【点睛】
本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.
14．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，2
MF NF b +=，若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a ，则-a b 的值为_________. 【答案】1
【解析】
【分析】
设()()1122,,,M x y N x y ，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得12x x +，由抛物线定义得焦点弦长，求得b ，再写出MN 的垂直平分线方程，得a ，从而可得结论．
【详解】
抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0，直线l 的方程为1y x =-，
据214y x y x
=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ， 则()12121216,4,11422
MF NF x x y y b x x ++=+=∴==+++=. 线段MN 垂直平分线方程为()213y x -=-⨯-，令0y =，则5x =，所以5a =，
所以1a b -=.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．
15．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4AD AA AB ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值为（ ）
A ．25
B ．25
C ．225
D ．45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据11//A B CD 确定1ACD ∠是异面直线1A B 与AC 所成的角，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】
由题意可得1115,42AC AD AB CD ====.因为1
1//A B CD ， 所以1ACD ∠是异面直线1A B 与AC 所成的角，记为θ，
故22211122cos 252542
AC CD AD AC CD θ+-===⋅⨯⨯. 故选：C .
【点睛】
本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
16．已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为______________.
【答案】31
【解析】
设11n n a a q -=，235a a =可化为24411a q a q =，得11a =，21422a a =-=，212a q a ==，
55(1)311q q S q -==- 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()|21|
|1|f x x ax =+--，a R ∈．
（1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；
（2）当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】 (1) 11[,]44
- (2) [4,0)-
【解析】
【分析】
【详解】
（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为112
4211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩， 解得1144x -
≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44
-． （2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+， 所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．
当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．
当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a
<<， 因为当1(,0)2
x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a -⊆， 所以212
a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-． 18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点．
（1）证明：PD //平面AEC ；
（2）设F 是线段DC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求三棱锥P AFE -的体积．
【答案】（1）见解析（2）3 【解析】
【分析】
（1）连接DB 与AC 交于O ，连接OE ，证明//PD OE 即可得证线面平行；
（2）首先证明PA ⊥平面ABCD (只要取BC 中点M ，可证BC ⊥平面PAM ，从而得PA BC ⊥，同理得PA CD ⊥),因此点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积．
【详解】
（1）证明：连接DB 与AC 交于O ，连接OE ，
因为ABCD 是菱形，所以O 为DB 的中点，
又因为E 为PB 的中点，
所以//PD OE ，
因为PD ⊄平面,AEC OE ⊂平面AEC ，
所以//PD 平面AEC ．
（2）解：取BC 中点M ，连接,AM PM ，
因为四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，且PC PB =，
所以,BC AM BC PM ⊥⊥，又AM PM M =I ，
所以BC ⊥平面APM ，又AP ⊂平面APM ，
所以BC PA ⊥．
同理可证：DC PA ⊥，又BC DC C =I ，
所以PA ⊥平面ABCD ，
所以平面PAF ⊥平面ABCD ，
又平面PAF ⋂平面ABCD AF =，
所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，
过B 作直线AF 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为2AB =，
因为E 为PB 的中点，故点E 到平面PAF 的最大距离为1，
此时，F 为DC 的中点，即AF =
所以11222
PAF S PA AF =⋅=⨯=△
所以1133P AFE E PAF V V --==
=． 【点睛】
本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键．
19．设直线l 与抛物线2
2x y =交于,A B 两点，与椭圆22
142x y +=交于,C D 两点，设直线,OA ,OB ,OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1,k 2,k 3,k 4k ，若OA OB ⊥.
（1）证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设直线l 的方程为y=kx+b 代入抛物线的方程，利用OA ⊥OB ，求出b ，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出12k k +，34k k +，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得12x x +，12x x ，34x x +，34x x 代入12k k +，34k k +，化简即可求解.
【详解】
（1）证明：由题知，直线l 的斜率存在且不过原点，
故设:(0),l y kx b b =+≠()11,,A x y ()22,B x y
由22y kx b x y
=+⎧⎨=⎩可得2220x kx b --=， 12122,2x x k x x b ∴+==-.
,OA OB ⊥Q 0OA OB ∴⋅=u u u r u u u r ，
()212121212
04x x x x y y x x ∴+=+=，
故2b =
所以直线l 的方程为2y kx =+
故直线l 恒过定点(0,2).
（2）由（1）知122,x x k +=124x x =-
121212
y y k k x x ∴+=+ 1212
22kx kx x x ++=+ 12222k x x =+
+ ()1212
22x x k x x +=+k = 设()33,,C x y ()44,D x y 由22214
2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2212840k x kx +++=， 3428,12k x x k ∴+=-+342412x x k =+ 343434
y y k k x x ∴+=+ 3434
22kx kx x x ++=+ 34222k x x =+
+ ()3434
22x x k x x +=+ 2k =-
()123412k k k k ∴+=-
+，即存在常数12λ=-满足题意. 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
222sin A b a c =+-. （Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若5c =，1cos 7B =，求b . 【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）8 【解析】
【分析】 （Ⅰ）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即可求出A,
（Ⅱ）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出.
【详解】
（Ⅰ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，
所以2222cos b c a bc A +-=，
所以431sin 2cos 2
bc A bc A ⨯=， 即tan 3A =，
因为0A π<<，
所以3A π
=；
（Ⅱ）因为1cos 7B =，所以43sin B =， 因为()sin sin C A B =+，
sin cos cos sin A B A B =+
311435372=⋅+⋅=， 由正弦定理得
sin sin b c B C =，所以sin 8sin c b B C
=⋅=. 【点睛】 本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.
21．如图所示的几何体中，ADEF ABCD ⊥面底面，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，2BAD π
∠=，24AB AD CD ===，G 为BF 中点.
（1）证明：//CG ADEF 面；
（2）求二面角A BF C --的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
13
【解析】
【分析】
(1)取AF 的中点H ，结合三角形中位线和长度关系，CDHG 为平行四边形，进而得到//CG HD ，根据线面平行判定定理可证得结论；
(2)以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；
【详解】
（1）取AF 的中点H ，连结GH ，HD
因为G 为BF 中点，//AB CD ，2AB CD =，
所以//GH CD ，GH CD =，∴CDHG 为平行四边形，
所以//CG HD ，
又因为HD ADEF ⊂面，CG ADEF ⊄面
所以//CG ADEF 面；
（2）由题及（1）易知AB ，AD ，AF 两两垂直，
所以以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系, 则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()0,4,0D ，()0,0,4F ，()2,4,0C ，()4,0,4BF =-u u u r ，()2,4,4FC =-u u u r
易知面ABF 的法向量为()10,1,0n u r =
设面ABF 的法向量为()2,,n x y z =u u r
则22
4402440n BF x z n FC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u v v 可得211,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
r
所以1211cos ,3n n ==r r
, 如图可知二面角A BF C --为锐角，所以余弦值为13
【点睛】
本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.
22．在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记ABC ∆的面积为S ，且2S AB AC =⋅u u u v u u u v ． （1）求角A 的大小；
（2）若7c =，cos 45
B =，求a 的值． 【答案】（1）
4
π；（2）5a = 【解析】
【分析】 （1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得sin cos bc A bc A =，结合范围(0,)A π∈，可求tan 1A =，进而可求A 的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求3sin 5
B =
，利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值，由正弦定理可求得a 的值．
【详解】
解：（1）由2S AB AC =u u u r u u u r g ，得sin cos bc A bc A =， 因为(0,)A π∈，
所以tan 1A =， 可得：4A π
=．
（2）ABC ∆中，cos 45B =
， 所以3sin 5
B =. 所以：72sin sin()sin cos cos sin
C A B A B A B =+=+=
， 由正弦定理sin sin a c A C =272=，解得5a =， 【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数
公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 23．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.
（1）求证：AB AC ⊥；
（2）若侧面11ACC A 为正方形，求直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（225 【解析】
【分析】
（1）取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，证明AB ⊥平面1ODB 得出AB OD ⊥，再得出AB AC ⊥；
（2）建立空间坐标系，求出平面1C AD 的法向量n r ，计算cos n <r ，1B D >u u u u r 即可得出答案． 【详解】
（1）证明：取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，
160B BA ∠=︒Q ，12B B =，112
OB AB ==， 141221cos603OB ∴=+-⨯⨯⨯︒
22211OB OB BB ∴+=，故1AB OB ⊥，
又1AB B D ⊥，111OB B D B =I ，11,OB B D ⊂平面1ODB ，
AB ∴⊥平面1ODB ，
AB OD ∴⊥，
O Q ，D 分别是AB ，BC 的中点，//OD AC ∴，
AB AC ∴⊥．
（2）解：Q 四边形11ACC A 是正方形，1AC AA ∴⊥，
又AC AB ⊥，1AB AA A =I ，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，
AC ∴⊥平面11ABB A ，
在平面11ABB A 内作直线AB 的垂线AE ，以A 为原点，以AB ，AC ，AE 为所在直线为坐标轴建立空
间直角坐标系A xyz -，
则(0A ，0，0)，(1D ，1，0)，1(1C -，2，3)，1(1B ，0
，3)， ∴(1AD =u u u r ，1，0)，1(1AC =-u u u u r ，2，3)，1(0B D =u u u u r
，1，3)-， 设平面1C AD 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则1·0·0n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v r u u u u v r ，即0230
x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =可得：(1n =r
，1-，3)，
cos n ∴<r ，11125||||5n B D B D n B D >===-u u u u r r u u u u r g u u u u r r ． ∴直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值为|cos n <r ，125|B D >=u u u u r ．
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．。