2023年河南省普高联考高考数学测评试卷(理科)(四)+答案解析(附后)

2023年河南省普高联考高考数学测评试卷（理科）（四）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数z的共轭复数为，且，则z的虚部为( )
A. B. 2i C. D. 2
3. 已知等比数列的前n项和为，且，，则( )
A. B. 5 C. D.
4. 塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.
最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建
筑，称“佛塔”.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同
现测得，
一水平面内的两个测量基点C与D，
，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔
的总高度约为参考数据：，( )
A. 13米
B. 24米
C. 39米
D. 45米
5. 函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6. 某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为( )
A. B. C. D.
7. 记不等式组的解集为D，现有下面四个命题：
：，；
：，；：，；
：
，
其中真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 已知抛物线C ：的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，与
抛物线的准线交于点M ，且点A 位于第一象限，F 恰好为AM 的中点，
，则
( )
A. B. C. D.
9. 任意写出一个正整数m ，并且按照以下的规律进行变换：如果m 是个奇数，则下一步
变成，如果m 是个偶数，则下一步变成
，无论m 是怎样一个数字，最终必进入
循环圈
，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示为数列
：
为正整数，若，则m 的所有可能取值之
和为( )
A. 188
B. 190
C. 192
D. 201
10. 在菱形ABCD 中，
，，AC 与BD 的交点为G ，点M ，N 分别在线段
AD ，CD 上，且
，
，将
沿MN 折叠到
，使
，则三棱锥
的外接球的表面积为( )
A.
B. C. D.
11. 设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，B 为双曲线E 上
在第一象限内的点，线段与双曲线E 相交于另一点A ，AB 的中点为M ，且
，
若
，则双曲线E 的离心率为( )
A. B. 2
C.
D.
12. 已知，
，
，其中e 为自然对数的底数，则( )
A. B.
C.
D.
13.
二项式
的展开式中
的系数为______ .
14. 如图，在矩形ABCD中，，AC与BD
的交点为M，N为边AB上任意点包含端点，则
的最大值为______ .
15. 圆M：与x轴交于A，B两点在B的左侧，点N满足
，直线l：与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为______ .
16. 先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数
在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是______ .
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A；
若的面积为，点D在线段AC上，且，求BD的最小值.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，
，，点M在底面ABCD上的射影为CD的中点O，E为线段AD
上的点含端点
若E为线段AD的中点，证明：平面平面MAD；
若，求二面角的余弦值.
19. 某公司为了解年营销费用单位：万元对年销售量单位：万件的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示.
表中，，，
已知可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程.
求y关于x的回归方程；
若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？收益=销售利润-营
销费用-固定成本
参考数据：，
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和
截距的最小二乘估计分别为，
20. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且点在㮋圆上.
求椭圆C的标准方程；
过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围.
21. 已知函数
当时，求在点处的切线方程；
当时，，求实数m的取值范围.
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为其中t为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，其中为参数.
求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图无需写出作图过程
；
直线与曲线C相交于A，B两点，且，求的值.
23. 已知函数的最小值为
在直角坐标系中画出的图象，并求出m的值；
若a，b，c均为正数，且，求的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合，或，
，
所以，所以B正确；A不正确；
或，所以C、D不正确；
故选：
求解集合B，然后求解交集与并集，即可判断元素与集合的关系，得到正确的选项．
本题考查二次不等式的解法，交集以及并集的元素，运算与集合的关系，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设，
则，
，
，化简整理可得，，即
，解得，
故，即虚部为
故选：
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，推得z，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：等比数列的前n项和为，且，，
则，，
，
，即，解得，
故，
所以
故选：
根据已知条件，结合等比数列的性质，求出m，即可求出，再将代入，即可求解．
本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：在中，由于，，米，
所以，
利用正弦定理，
整理得，
在中，，解得：米．
故选：
直接利用正弦定理和三角函数的值求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
5.【答案】A
【解析】解：由函数解析式可得定义域为，关于原点对称，设，则
，
所以函数为奇函数，
排除B，D；
取特殊值，则，所以，所以
，
当时相应的函数值小于0，即A正确；
故选：
先判断函数的奇偶性，再取特殊值，判断函数的证法，可得所选的结果．
本题考查函数的大致图象的判断方法，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动都被选中的概率为
，
则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为，
故选：
先计算出书法、舞蹈这两项活动都被选中的概率，再利用对立事件的概率求得结果．
本题考查古典概率的计算，考查对立事件的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：不等式组的解集为D，作出平面区域：
由图可知，在阴影区域ABC中，
对于：，，正确；
：，，错误；
：，，代入不成立，错误；
：，，正确．
故选：
依题意，作出线性规划图，对、、、四个选项逐一判断分析即可．
本题考查命题的真假判断与应用，作出平面区域是关键，考查分析与作图能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：抛物线C：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，
所以M的纵坐标为：，则A的纵坐标：，A的横坐标为：，M的横坐标为：，
FA的斜率为：，AF的方程为：，代入抛物线方程可得：
，
可得，，
可得，可得
故选：
利用已知条件求解A的坐标，得到M的坐标，然后求解B的坐标，即可求解的值．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
9.【答案】B
【解析】解：由题意，的可能情况有：
①：②；
③：④：
⑤：⑥
的所有可能取值为2，16，20，3，128，21，所有可能取值的和为
故选：
根据“冰雹猜想”，一一列举出所有可能的情况即可．
本题考查数列的递推式，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】解：在菱形ABCD中，，，AC与
BD的交点为G，
则，
设，
又点M，N分别在线段AD，CD上，且，
，
则，，
将沿MN折叠到，使，
设在平面ABC内的射影为F，
则点F在BG直线上，
又，，，
由可得点F与点G重合，
即在平面ABC内的射影为G，
又为直角三角形，且，
则，，
则，
设的外接圆的圆心为，半径为r，
则，
即，
即，，
设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，
则平面ABC，
设H为的外心，
则四边形为矩形，
设，
则，
则，，
即三棱锥的外接球的表面积为，
故选：
由已知可得在平面ABC内的射影为G，由正弦定理可得的外接圆的半径为，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，H为的外心，且，则
，然后结合球的表面积公式求解即可．
本题考查了正弦定理及勾股定理，重点考查了球的表面积公式，属中档题．
11.【答案】D
【解析】解：双曲线的左、右焦点分别为，，
，可得AB的方程为：，
代入双曲线方程化简可得：，
所以，，，
解得，
所以双曲线的离心率为：
故选：
求出AB的方程，与双曲线方程联立，求解M的坐标，然后利用已知条件列出方程，求解离心率即可．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的离心率的求法，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：根据泰勒公式：，
，
，
故选：
根据泰勒公式展开式即可比较出a，b，c的大小关系．
本题考查了泰勒公式展开式的运用，考查了计算能力，属于中档题．
13.【答案】90
【解析】解：展开式的通项公式为，，1，，5，令，解得，
所以的系数为，
故答案为：
求出展开式的通项公式，然后令x的指数为4，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：以AB，AD所在直线为坐标轴，建立坐标系，如
图，
，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点
包含端点，，，，，
，
，，
则，
则的最大值为：
故答案为：
利用向量的坐标运算，转化求解即可．
本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆M的圆心，半径，
令可得，解得或，由题意可得，，
设，由题意可得，整理可得：，
可得N的轨迹为圆，且圆心，半径为4，
因为直线l与两个圆相切，所以，两式相除可得，
可得或，
即或，
当时，代入中，整理可得，因为，解得；
当时，代入中，整理可得，显然无解，
综上所述直线l的斜率，
故答案为：
由圆M的方程，可得圆心M的坐标及半径的大小，设N的坐标，由题意可得N的轨迹方程，可得圆心坐标及半径的大小，由题意直线l与两个圆相切，可得k，b的关系，进而求出k的值．本题考查求点的轨迹方程及直线与圆相切的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：先将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，
所得图象与函数的图象关于x轴对称，
故
函数在上恰有两个零点，故，解得
求函数的单调递增区间，
需满足，
整理得
因为函数在上单调递增，
所以，
所以，解得，
故的取值范围是
故答案为：
首先利用三角函数的平移变换和伸缩变换求出函数的的关系式，进一步利用余弦型函数的求
出的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
17.【答案】解：因为，
由正弦定理得
所以，
整理得，
因为，
所以，即，
由A为三角形内角得；
因为，
所以，
因为D在线段AC上，且，
所以，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，
所以BD的最小值为
【解析】由已知结合正弦定理，和差角公式进行化简可求，进而可求A；
结合三角形面积公式先求出bc，然后结合向量数量积的性质及基本不等式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，三角形的面积公式的应用，还考查了向量数量积的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
18.【答案】证明：由点M在底面ABCD上的射影为CD的中点O，知平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，
在中，，，，
由余弦定理知，，
所以，即，
因为，OM、平面MOE，所以平面MOE，
又平面MAD，所以平面平面
解：连接OA，
在中，由余弦定理知，
，
所以，即，
因为平面ABCD，
故以O为坐标原点，OD，OA，OM所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面OME的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
同理可得，平面DME的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
【解析】由平面ABCD，知，在中，结合余弦定理与勾股定理，可证，从而知平面MOE，再由面面垂直的判定定理，得证；
连接OA，先证，再以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面OME与平面DME
的法向量与，然后利用空间向量数量积的坐标运算，求得，的值，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：由表可知，，，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
即y关于x的回归方程为
年收益，
所以，
令，则，即，
当时，，递增；
当时，，递减，
所以当时，年收益取得最大值，
故估计该公司每年投入万元的营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大．
【解析】结合表中数据与参考公式，可求得和的值，再利用，，根据对数的运算法则，即可得解；
年收益，利用导数研究其单调性，进而知其最大值，得解．
本题考查回归方程的求法及其实际应用，利用导数求函数的最值，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为，可得，
设椭圆的方程为：，将点代入椭圆的方程：，
解得，
所以椭圆的方程为：；
由可得右焦点，由题意设直线l的方程为，设，，
联立，整理可得：，
显然成立，，，，可得AB的中点，
可得弦长
，
可得直线OQ的方程为，设，，
联立，整理可得，可得，
设，，
所以M到直线l的距离，
N到直线l的距离，
因为M，N在直线l的两侧，所以，
所以
，
因为
所以四边形的面积的范围
【解析】由离心率的值可得a，b的关系，再将点的坐标，代入椭圆的方程，可得a，b的值，可得椭圆的方程；
设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得弦长的代数式，
可得AB的中点Q的坐标，可得直线OQ的方程，与椭圆联立，可得M，N的坐标，可得M，N
到直线l的距离，由M，N在直线的两侧，可得M，N到直线l的距离之和的代数式，可得四边
形的面积的表达式，由自变量的范围，可得四边形的面积的范围．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，四边形的面积的求法，属于中档题．
21.【答案】解：函数的导数为，可得在点处的切线的斜率为，
又切点为，则切线的方程为，
即为；
当时，，即为，
由，，可得恒成立．
设，
由，，
可得，
由，，可得，
所以函数在递减，可得，
则，即恒成立，
所以，即m的取值范围是
【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；
由参数分离可得恒成立，考虑与1的大小，运用导数和单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查函数的导数的运用：求切线的方程和单调性，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：直线l的参数方程为，其中t为参数，转换为普通方程为
；
曲线C的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为
故曲线C的简图为：
直线，与曲线C相交于A，B两点，
所以，解得，
同理，所以，
故，
整理得：，
由于，
所以
【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用极径的关系式和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径关系式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
23.【答案】解：，由图知，
的最小值为，即；
由可得，
因为a，b，c都为正数，由柯西不等式可得：
，当且仅当时取等号，
所以，即的最小值为
【解析】去掉绝对值，可得分段函数的解析式，如图所示，可得函数的最小值；
由柯西不等式可得代数式的最小值．
本题考查分段函数的图像求函数的最小值及柯西不等式的应用，属于基础题．。