江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高三数学重点难点高

１
江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学重点难点高频考点串讲六
1．已知函数f(x)＝x 3
＋2bx 2
＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是 ( )
A ．[－32，3]
B ．[32，6]
C ．[3,12]
D ．[－3
2，12]
【答案】C
【解析】
试题分析：2
()34f x x bx c '=++，即()0f x '=的两根满足x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，即(2)0(1)0(1)0(2)0f f f f '->⎧⎪'-<⎪⎨'<⎪⎪'>⎩，
即12808120
34012803404301280430
b c b c b c b c b c b c b c b c -+>--<⎧⎧⎪⎪-+<++>⎪⎪
⇒⎨⎨++<-->⎪⎪⎪⎪++>++<⎩⎩，画出平面区域，可得(1)2f b c -=-过点(0,-12)时取最大值12，
过点(0,-3)时取最小值3，选C.
考点：导数的极值、线性规划.
2．设实数,x y 满足20
25020
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则 （ ）
A
【答案】C
【解析】C 在坐标平面上点(),x y 所表示的区域如图所示，令，根据几何意义，t 的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然点,A B 是其中的两个临界值，点()3,1A ，点()1,2B
，这个关于t 的函数在上单调递减、在[]1,2上单调递增，故其最小值为2
，最大
值为两个端点值中的大者，计算知最大值为
10
3
．
3．已知x，y均为正数，(,)
42
ππ
θ∈，且满足
sin cos
x y
θθ
=，
22
2222
cos sin10
3()
x y x y
θθ
+=
+
，则
x
y
的值为____ ．
【答案】3
【解析】
试题分析：令
sin cos
t
x y
θθ
==，则
sin
cos
tx
ty
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
，因为(,)
42
ππ
θ∈，所以sin cos
θθ
>且22
sin cos1
θθ
+=，即x y
>，()
2221
t x y
+=，代入到
22
2222
cos sin10
3()
x y x y
θθ
+=
+
，则()
2222
2222
10
3
t y t x
x y x y
+=
+
，即
22
22
10
3
y x
x y
+=，令
2
2
x
m
y
=，则
110
3
m
m
+=，即2
31030
m m
-+=，解得()
13
m m
==
舍去或，所以3
x
y
=.
考点：本小题主要考查三角函数、不等式、方程，以及换元思想，考查学生的分析、计算能力.
4．设实数x,y满足3≤2
xy≤8，4≤
y
x2
≤9，则
4
3
y
x
的最大值是_____ ____
【答案】27
【解析】
5．已知0
a>，设命题p：函数()2212
f x x ax a
=-+-在区间[]
0,1上与x轴有两个不同的交点；命题q：()
g x x a ax
=--在区间()
0,+∞上有最小值．若()p q
⌝∧是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】(1
0,21,1
2
⎛⎤
⎤
- ⎥
⎦⎝⎦
U
【解析】
试题分析：先由()p q
⌝∧的真假性确定命题p为假命题，q为真命题，然后就命题p为真命题进行求解，结合二次函数的零点分布来讨论，最后在取答案时取参数范围的在()
0,+∞上的补集；对命题q为真命题对
a的范围进行求解，对于函数()
g x解析式化为分段函数，利用分段函数的单调性来考查.
２
３
试题解析：要使函数()2
212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，
必须()()0101,0.f f a ⎧⎪
⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩
≥0，≥0, 2分
即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪
⎪--->⎩
≥0,≥0,0. 4分
解得1212
a -<≤．
所以当1212
a -<≤时，函数()2
212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点． 5分
下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围：
方法1：因为()()()1,
,1,
.
a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨
-++<⎪⎩≥ 6分
①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值； 7分
②当1a =时，()1,
,21,
1.
x g x x x -⎧=⎨
-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-； 8分
③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，
()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-． 9分
所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． 10分
方法2：因为()()()1,,1,
.
a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨
-++<⎪⎩≥ 6分
因为0a >，所以()10a -+<．
所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的． 7分
要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数． 8分 即10a -≥，即1a ≤． 9分
所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． 10分
若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题． 11分
４
所以101,,20 1.
a a a ⎧
<>⎪⎨⎪<⎩≤或 12分
解得01a <或
1
12
a <≤． 13分 故实数a
的取值范围为(
11,12⎛⎤
⎤
⎥⎦⎝⎦
U ． 14分 考点：复合命题真假性的判断、二次函数的零点分布、分段含参函数的单调性 6．（本题满分12分）已知p :对任意]1,1[-∈m ，不等式恒成立；q :存在x ，使不
等式022<++ax x 成立,若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 【答案
【解析】先求出p 真，q 真的a 对应的取值范围，然后再根据“p 或q ”为真，“p 且q ”为假,可得p 真q 假或p 假q 真，再分别求出a 的取值范围，最后求出其并集即可. 若p 成立，由]1,1[-∈m 得即3352≥--a a ，解得6≥a 或1-≤a ；
若q 成立，则不等式中0>∆，解得
若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则命题p 与q 一真一假， （1）若p 真q 假，则 （2）若p 假q 真，则
综上：a 的取值范围是
7．已知p ：对[]2,2-∈∀x ，函数)3lg()(2
x ax a x f --=总有意义；:q
在[)+∞,1上是增函数；若命题“p 或q ”为真，求a 的取值范围。

【答案】4>a
或2≤a 。

【解析】本试题主要是考查了命题的真值，以及复合命题的运用。

先分析已知题目中两个命题的为真时参数a 的范围，当p 为真时，⎪⎩⎪⎨⎧>-⋅->---⋅-0
2230
)2()2(32
2
a a a a ，解得4>a ；
解：当q 为真时, 042)(2
'
≥+-=ax x x f 在[)+∞,1上恒成立，即对[)+∞∈,1x 恒成立 ∴2≤a
５
当p 为真时，⎪⎩⎪⎨⎧>-⋅->---⋅-0
2230
)2()2(32
2
a a a a ，解得4>a ；
当q 为真时, 042)(2
'
≥+-=ax x x f 在[)+∞,1上恒成立，即a x
x 24
≥+
对[)+∞∈,1x 恒成立 ∴2≤a
综上，“p 或q ”为真时，4>a
或2≤a 。

8．设函数()ln f x a x =，2
1()2
g x x =
． （1）记'
()g x 为()g x 的导函数，若不等式'
()2()(3)()f x g x a x g x +<+-在[1,]x e ∈上有解，求实数a 的
取值范围；
（2）若1a =，对任意的120x x >>，不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立．求m （m Z ∈，
1m ≤）的值．
【答案】（1）1
[,)2
-+∞；（2）1m =. 【解析】
试题分析：（1）先利用不等式整理得212ln x x a x x
-≥-，所以2min 12ln x x a x x -≥-（），设212ln x x y x x -=
-，用求导的方法求出min y ；（2）设出函数()t x ，由题意可判断()t x 在(0,)x ∈+∞递增，所以'
()0t x ≥恒成立，转化为
ln 1x m x +≥
恒成立，下面只需求max ln 1
()x x
+. 试题解析：（1）不等式'
()2()(3)()f x g x a x g x +≤+-，即为2
1ln 2(3)2
a x x a x x +≤+-， 化简得：2
1(ln )2
a x x x x -≥
-， 由[1,]x e ∈知ln 0x x ->，因而212ln x x a x x
-≥-，设212ln x x
y x x -=-，
由2'2
2
111
(1)(ln )(1)()(1)(1ln )22(ln )(ln )x x x x x x x x x y x x x x ------+-==-- ∵当(1,)x e ∈时10x ->，1
1ln 02
x x +->，∴'0y >在[1,]x e ∈ 时成立． 由不等式有解，可得知min 12a y ≥=-，即实数a 的取值范围是1
[,)2
-+∞6分
（2）当1a =，()ln f x x =．
由121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立，得111222()()()()mg x x f x mg x x f x ->-恒成立，
６
设2
()ln (0)2
m t x x x x x =
->． 由题意知120x x >>，故当(0,)x ∈+∞时函数()t x 单调递增， ∴'
()ln 10t x mx x =--≥恒成立，即ln 1
x m x
+≥恒成立， 因此，记ln 1x y x +=
，得'2
ln ()x
y x x
-=， ∵函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
∴函数()h x 在1x =时取得极大值，并且这个极大值就是函数()h x 的最大值．由此可得
max ()(1)1h x h ==，故1m ≥，结合已知条件m Z ∈，1m ≤，可得1m =． 12分
考点：1.恒成立问题；2.用导数判断函数的单调性；3.用导数求函数的最值.
9．已知3(sin ,),(cos(),1)43
a x
b x π
==+r r ，函数()f x a b =⋅r r . （1）求()f x 的最值和单调递减区间；
（2）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，()0,3f A a ==，求△ABC 的面积的最大值.
【答案】（1）()f x 的最大值为
12，最小值为12-，单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
； （2）()max 33
ABC S ∆=. 【解析】
试题分析：（1）先由向量数量积得()f x 表达式，经过三角恒等变换将其化为一个角的三角函数，最终可得()f x 的最大最小值和单调递减区间；
（2）在（1）的基础上先求出A ∠的值，利用余弦定理可得223b c bc +-=，再利用重要不等式222b c bc +≥得bc 的范围，最后利用1sin 2
ABC S bc A ∆=求得ABC ∆面
积的最大值. 试题解析：
（1）()133131sin cos sin sin 2cos 2sin 22423f x x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q 2分 ()()max min 11
,22
f x f x ∴=
=-. 4分 令3222232k x k πππππ+≤+≤+， 解得7,,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈
７
()f x ∴单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
. 6分
（2）()0,3
f A A π
=∴=
Q ． 8分
由余弦定理得，2
2
2
2
2
2cos ,3a b c bc A b c bc =+-∴+-=．
又2
2
2
2
2,322,3b c bc b c bc bc bc bc +≥∴=+-≥-∴≤. 10分
133
sin 24
ABC S bc ∆∴=
A ≤. 12分 考点：1、向量数量积运算；2、三角恒等变换及三角函数性质；3、解三角形；4、重要不等式．
10．（本小题满分13分）
在锐角．．
ABC ∆中，,,A B C 三内角所对的边分别为,,a b c ． 设(cos ,),(cos ,),7m A sinA n A sinA a ==-=u r r ，12
m n ⋅=-u r r 且
（Ⅰ）若3=b ，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求c b +的最大值.
【答案】解：（Ⅰ）12m n ⋅=-u r r 由得221
cos 2
A sin A -=-
即1cos 2,2A =- 02A π<<Q ,02A π<< ∴223
A π= ,3A π
= ……3分
由2222cos a b c bc A =+-得2320c c -+= 21或=∴c
1c =Q 时， cos 0,1B c <∴=舍去，2=∴c …………………………………5分
1133
32sin 2232S b c sinA π∴=⋅⋅=⨯⨯⨯=. …………………………… ………7分
（Ⅱ）222222cos 7a b c bc A b c bc =+-∴+-=
……………………………9分 28)(7)2
(
373)(22
2≤+∴++≤+=+c b c b bc c b ……………………11分 72≤+c b 当且仅当时c b =取等号 ()27max b c ∴+=. ………………13分
【解析】
11．（13分）已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[0,]22223
a b θθθθπ
θ==-∈v v ， （1）求||
a b
a b ⋅+v v v v 的最大值和最小值；
８
（2）若||3||()ka b a kb k R +=-∈v v v v
，求k 的取值范围。

【答案】（1）33cos cos sin sin cos 2,2222
a b θθθ
θθ⋅=-=v v
2222||222cos24cos ,a b a b a b θθ+=++⋅=+=v v v v v v
222max min cos 22cos 1||2cos ([0,],.
32cos 2cos ||12111
cos ,[,1],([,1]),
2222||
111
10,[,1].
222
11111
1,.
121222
22
a b a b a b a b t t t y t t t t a b y y t t t y y πθθθθθθθ⋅-∴+=∈∴==+⋅-=∈===-∈+'=+>∴=-∴=-==-=-⨯⨯v v
v v v v v v
v v 令在上递增
（2）由22
||3||()3(),ka b a kb ka b a kb +=-+⇒-v v v v v v v v 有
22222
22
22
222
2
223(2),||||1,
1123(12),.
4111cos 2,[0,]1, 1.
322411(1)0,042
414110,044k a b ka b a ka b k b a b k k ka b k ka b a b k
k a b a b k
k k k k k k k k k πθθ+=⋅=-⋅+==+∴++⋅=+-⋅∴⋅=+⋅=∈-≤⋅≤∴-≤≤⎧⎧+++≥≥⎪⎪∴⇒⎨⎨+-+⎪-≤≤⎪⎩v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v 即又由有10023231232 3.
{|12323}.
k k k k k k k k k k ⎪=->⎧⎪⎪⇒⎨<-≤≤+⎪
⎩⎪⎪⎩
⇒=--≤≤+=--≤≤+或或或综上所术：的取值范围为或
【解析】略
12．在数列{}n a 中，对于任意*
n ∈N ，等式：21123+222(221)n n n n a a a a n t -+++=⋅-+L 恒成立，其中
常数0t >．
（1）求12,a a 的值；
（2）求证：数列{2}n a
为等比数列； （3）如果关于n 的不等式2481
21111n m a a a a a ++++>L 的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ，试求实数m 的取值范围．
９
【答案】（1）1a t =，22a t =；（2）只需求出n a nt =即可；（3）37
48
m ≤<。

【解析】
试题分析：（Ⅰ） 因为21123+222(221)n n n
n a a a a n t -+++=⋅-+L ， 所以11
1(221)a t =-+，2212+2(2221)a a t =⋅-+，
解得 1a t =，22a t =． 3分
（Ⅱ）当2n ≥时，由21123+222(221)n n n
n a a a a n t -+++=⋅-+L ， ① 得2211
1231+222[(1)221]n n n n a a a a n t ----+++=-⋅-+L ， ②
将①，②两式相减，得1
112
(221)[(1)221]n n n n n n a n t n t ---=⋅-+--⋅-+,
化简，得n a nt =，其中2n ≥． 5分 因为1a t =，
所以n a nt =，其中*n ∈N ． 6分
因为 11
222(2)2n n n n a a a t
a n ---==≥为常数，
所以数列{2}n a
为等比数列． 8分
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得22n n
a t =， 9分 所以
248211(1)
111111111122(1)1242212
n n n n
a a a a t t t t t -++++=+++=⨯=--L L ， 又因为1a t =，所以不等式
24821111
n a a a a ++++
L 1
m a > 可化简为11(1)2n m t
t
-
>
， ∵0t >，∴原不等式11(1)2n m t t ->1
12n m ⇔-> 11分
由题意知，不等式112n m ->的解集为*
{|3,}n n n ≥∈N ，
因为函数1
1()2x y =-在R 上单调递增，
所以只要求 3112m ->且21
12
m -≤即可，
１０
解得
37
48
m ≤<． 14分 考点：等比数列的性质；数列通项公式的求法；数列求和；数列的综合应用；恒成立问题；指数函数的单调性。

点评：（1）解此题的关键是通过证明数列是等比数列，从而求出数列的通项公式。

（2）解决恒成立问题常用的方法是分离参数法。

13．如图，已知椭圆2
2:14
x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，
（Ⅰ）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值；
（Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；
（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论． 【答案】（Ⅰ）121
4
k k ⋅=-；（Ⅱ）43；（Ⅲ）(0,223)-+或(0,223)--. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）12,k k 随点P 运动而变化，故设点00(,)P x y 表示12k k ⋅，进而化简整体消去变量；（Ⅱ）点
,M N 的位置由直线AP ，BP 生成，所以可用两直线方程解出交点坐标，求出MN ，它必是12,k k 的函数，
利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用,M N 的坐标求出圆的方程，方程必含有参数12,k k ，消去一个后，利用等式恒成立方法求出圆所过定点坐标.
试题解析：（Ⅰ）(0,1),(0,1)A B -Q ，令00(,)P x y ，则由题设可知00x ≠， ∴直线AP 的斜率010
1y k x -=
，BP 的斜率0201
y k x +=，又点P 在椭圆上，
所以22
0014x y +=，（00x ≠），从而有200012200011114
y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-. （Ⅱ）由题设可以得到直线AP 的方程为11(0)y k x -=-， 直线BP 的方程为2(1)(0)y k x --=-，
x
y Oy A
B
NF
P
M
１１ 由113122x y k x k y y ⎧=--=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎩， 由221
122
x y k x k y y ⎧=-
+=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎩，
∴直线AP 与直线l 的交点13(,2)M k --，直线BP 与直线l 的交点2
1
(,2)N k --.
又121
4k k ⋅=-，11112111
3
1333
442443MN k k k k k k k k ∴=-=+=+≥⋅= 等号当且仅当113
4k k =即13
2k =±时取到，故线段MN 长的最小值是43
.
（Ⅲ）设点(,)Q x y 是以MN 为直径的圆上的任意一点，则0QM QN ⋅=u u u u r u u u r ，故有 123
1()()(2)(2)0x x y y k k +++++=，又121
4
k k ⋅=-，所以以MN 为直径的圆的方程为
22113(2)12(4)0x y k x k ++-+-=，令220(2)120x x y =⎧⎨++-=⎩解得0
223
x y =⎧⎪⎨=-±⎪⎩，
以MN 为直径的圆是否经过定点(0,223)-+和(0,223)--.
考点：直线的交点，圆的方程，圆过定点问题，基本不等式的应用.。