平面向量知识点总结及训练题

平面向量知识点总结及训练题
第五章平面向量
一、向量的相关概念：
1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小、双重性，不能比较大小。

2.向量的表示方法：
几何表示法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB。

坐标表示法：a=xi+yj=(x,y)
3.向量的模：向量AB的大小——长度称为向量的模，记作|AB|。

4.特殊的向量：
①长度为0的向量叫零向量，记作0，方向是任意的。

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。

5.相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作-a。

6.相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

向量a与b相等，记作a=b。

7.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a//b。

平行向量也称共线向量。

规定零向量与任意向量平行。

8.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(≤θ≤π)叫a与b的夹角。

说明：
1）当θ=0时，a与b同向；
2）当θ=π时，a与b反向；
3）当θ=π/2时，a与b垂直，记a⊥b；规定零向量和任意向量都垂直。

4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤θ≤180.
9.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
Ⅰ）λa=λ|a|；
Ⅱ）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向是任意的。

10.两个向量的数量积：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则
a·b=|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积）。

规定·a=bcosθ=|b|cosθ为向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝
角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0°时投影为|b|；当θ=180°时投影为-|b|。

11.向量的投影：
定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，投影的绝对
值称为射影。

量加法
将向量b的起点与向量a的终点重合，以向量a为起点，
以向量b为终点，连接两向量的起点和终点，所得向量为a+b
几何意义：平移
坐标表示：a+b=(x1+x2,y1+y2)
向量减法
将向量b取反，即将b的方向反向，再按向量加法规则进行运算，即a-b=a+(-b)
几何意义：平移
坐标表示：a-b=(x1-x2,y1-y2)
数与向量的乘积
将数k与向量a的长度相乘，再将方向与向量a相同的向
量取出，其长度为|k|*|a|，方向与a相同（k>0）或相反（k<0）几何意义：伸缩
坐标表示：k*a=(kx1,ky1)
向量数量积
将两个向量的对应坐标分别相乘，再将所有积相加所得的数，即为向量a和向量b的数量积，记作a·b
几何意义：投影
坐标表示：a·b=x1x2+y1y2
数量积的性质：
1）交换律：a·b=b·a
2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c
3）结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)，其中k为实数
4）若a·b=0，则a与b垂直
向量夹角的余弦
cosθ=a·b/|a|·|b|
其中，θ为a和b的夹角
坐标表示：cosθ=(x1x2+y1y2)/[√(x1^2+y1^2)√(x2^2+y2^2)]
向量夹角的性质：
1）若a·b>0，则0°<θ<90°，即a和b的夹角为锐角
2）XXX<0，则90°<θ<180°，即a和b的夹角为钝角
3）若a·b=0，则θ=90°，即a和b垂直
向量的加法有两种方法：平行四边形法则和三角形法则。

平行四边形法则是指将两个向量的起点相同，终点相连，形成一个平行四边形，以对角线为新向量。

三角形法则有两种形式：首尾相接和首尾连，它们都是指将两个向量首尾相连，形成一个三角形，以第三边为新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

向量的减法使用三角形法则，即将两个向量首首相接，尾尾相连，指向被减的向量，以第三边为新向量。

向量减法也可以表示为向量加上它的相反数。

向量的相反数指的是方向相反，但长度相同的向量。

实数与向量的积是一个向量，记作λa。

当λ大于0时，λa 与a同向，当λ小于0时，λa与a异向，当λ等于0时，λa等于零向量。

任意方向的向量可以表示为（λx，λy）的形式。

向量的乘法满足分配律和结合律。

向量的数量积等于两个向量长度的乘积与它们夹角的余弦的乘积。

数量积可以表示为a·b=|a||b|cosθ的形式。

特别注意，向量乘法不满足结合律和消去律。

乘法公式成立，即(a+b)(a-b)=a2-b2和(a±b)=a±2a·b+b=|a|±2a·b+|b|2.
线段的定比分点公式是指，如果点P分有向线段P1P2，则P1P与PP2所成的比为λ，即PP1/PP2=λ。

线段定比分点的坐标公式为：当点P在线段AB上，且AP:PB = λ:1时，设A(x1.y1)，B(x2.y2)，则P的坐标为(x1 + λx2)/(1+λ)，(y1 + λy2)/(1+λ)。

当λ=1时，得中点公式：
OP=(OP1+OP2)/2.平移公式：设点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x',y')，则P'的坐标为x'=x+h，y'=y+k。

曲线y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为：y-k=f(x-h)。

正弦定理：在三角形ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （R为三角形的外接圆半径）。

余弦定理：在三角形ABC中，b=a*cosB+c*cosC-
2acosBcosC，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，三角形面积
S=1/2*a*h=1/2*bc*sinA=1/2*ab*sinC=1/2*ac*sinB。

附：△ABC的判定：c^2=a^2+b^2（直角三角形）；
c^2a^2+b^2（锐角三角形）。

在△ABC中，有XXX。

三角形的四个“心”：重心、外心、内心、垂心。

非零向量a与a/|a|有关系是：a/|a|是a方向上的单位向量。

练题：
一、平面向量的概念及其运算
1、若向量a、b满足a+b=a+b，则a与b必须满足的条件
为a、b方向相同。

2、若AB=b，AC=c，则BC等于c-b。

3、正六边形ABCDEF中，XXX。

4、在正方形ABCD中，设AB=a。

AD=b。

AC=c，则a-
b+c=25.
5、在三角形ABC中，BC=3BD，则AD等于
1/4(AC+2AB)。

6、在三角形ABC中，E、F分别是AB和AC的中点，
若AB=a。

AC=b，则EF等于1/2(a+b)。

7、已知向量a,b同向，且a=3,b=7，则2a-b=1.
8、若AB=3i。

CD=-5i，且AD=BC，则四边形ABCD是
等腰梯形。

9、已知A(-2,4)。

B(3,-1)。

C(-3,-4)且CM=3CA。

CN=2CB，求点M、N和MN的坐标（M(-2,0)。

N(9,2)。

MN=(-11,-2)）。

10、已知向量a=(-3,-4)，则与a同向的单位向量是(-3/5,-
4/5)。

11、已知A(-3,2)。

AB=(8,k)，则线段AB中点的坐标是(1,2)。

12、若三点P(1,1)。

A(2,-4)。

B(x,-9)共线，求x（x=3）。

13、若向量a=(x。

x^2-3x-4)与AB相等，已知A(-1,2)。

B(1,2)，则x的值为-1或-4.
14、已知A、B、C三点在同一条直线上，且A(3,-6)，
B(-5,2)，若点C的横坐标为6，求点C分AB所成的比及点C
的纵坐标（比为-3，纵坐标为-9）。

15、若线段AB的端点A(logx,logy)。

B(-6,3)，中点M(-
2,y)，则x=100，y=-3.
16、已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P在直线OA上，且OP=OB的坐标为(4,2)，则点B的坐标为(2,1)。

17、已知直线l与x轴，y轴分别交于点A(-1,3)，B(3,-1)，则AB中点坐标为(1,1)。

△AOB的重心为(1,1)。

18、已知三个点A(-2,1)。

B(1,4)。

D(4,-3)，点C在AB上，且2AC=CB，连结DC并延长至E，使CE=DE，则E点的坐
标为(7,-2)。

1.PA，又P是OB的中点，则2A．（-4，-3）
已知点P是OB的中点，因此OP=PB。

根据勾股定理，
可以列出以下方程：
begin{cases}
x^2+(y-5)^2=OP^2 \\
x+8)^2+(y+19)^2=PB^2
end{cases}
将OP=PB代入第二个方程中，得到：
x+8)^2+(y+19)^2=(x-8)^2+(y-19)^2$$
化简得到：
x=-4.y=-3$$
因此，点A的坐标是(-4,-3)。

2.已知点A(x,5)关于P(1,y)对称点是B(-2,-3)，则点(x,y)到原点的距离是（D）
设点M为点A关于点P的对称点，则根据对称性质，可以列出以下方程：
begin{cases}
x-1=1-x_1 \\
5-y=y_1
end{cases}
解得$x_1=2-x。

y_1=10-y$。

因此，点B的坐标是$(2-x,10-y)$。

根据勾股定理，可以计算出点A和点B到原点的距离分别为$\sqrt{x^2+25}$和$\sqrt{(2-x)^2+169-y^2}$。

将点B 的坐标代入，得到：
sqrt{(2-x)^2+169-y^2}=\sqrt{(x+2)^2+16}$$
化简得到：
x^2+y^2-16x-10y+60=0$$
将原点的坐标代入，得到：
60=0$$
显然不成立，因此不存在这样的点。

3.已知$a=2,b=3,a\cdot b=33$，则a与b的夹角等于30°
由数量积的定义，$a\cdot b=|a|\cdot|b|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$为$a$和$b$的夹角。

代入已知条件，得到
$\cos\theta=\frac{11}{18}$。

因为$0<\theta<\frac{\pi}{2}$，所以$\theta=30^\circ$。

4.已知ABCD为菱形，则$(AB+BC)\cdot(AB-AD)$的值为
因为ABCD为菱形，所以$AB=AD$。

因此，
$(AB+BC)\cdot(AB-AD)=BC\cdot(AB-AD)=XXX根据余弦定理，可以计算出$\cos\angle BCD=-\frac{1}{2}$，因此$\angle
BCD=120^\circ$。

根据正弦定理，可以计算出
$BD=2\sqrt{13}$。

因此，$(AB+BC)\cdot(AB-AD)=BC\cdot
BD=26$。

5.已知$b=5$，且$a\cdot b=12$，则向量a在b方向上的投影为
向量a在b方向上的投影为$\frac{a\cdot b}{|b|^2}\cdot
b=\frac{12}{25}\cdot(5,0)=(\frac{12}{5},0)$。

6.已知向量a与b的夹角为120°，且$a=4,b=2$。

1) 求a在b方向上的投影
2) 求3a+4b
3) 若向量a+kb与5a+b垂直，求实数k的值
1) 向量a在b方向上的投影为$\frac{a\cdot b}{|b|^2}\cdot
b=\frac{4}{5}\cdot(2,0)=(\frac{8}{5},0)$。

2) $3a+4b=(12,0)+(8,8)=(20,8)$。

3) 因为向量a+kb与5a+b垂直，所以
$(a+kb)\cdot(5a+b)=0$。

代入已知条件，得到$k=-
\frac{23}{16}$。

7.已知$a=1,b=1$且$(a-b)^2=3$，则$a\cdot b=-2$
展开$(a-b)^2$，得到$a^2-2ab+b^2=3$。

因为
$a=b\pm\sqrt{3}$，所以$a+b=2$或$a+b=2\sqrt{3}$。

因为
$a=1,b=1$，所以$a+b=2$。

因此，$a\cdot
b=\frac{1}{2}((a+b)^2-a^2-b^2)=-2$。

8.若$a+b=a-b$，且a与b不共线，则a与b的夹角为90°
将已知条件展开，得到$2b=0$，因此$b=0$。

因为a与b 不共线，所以$a\neq 0$。

因此，a与b的夹角为90°。

9.已知$a=(2,1,3),b=(1,-1,2)$，则$a\cdot b=5$
a\cdot b=2\cdot 1+1\cdot(-1)+3\cdot 2=5$。

10.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2)$，则$|a-b|=\sqrt{14}$
a-b=(-2,2,-3)$，因此$|a-b|=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-
3)^2}=\sqrt{14}$。

11.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2)$，则$a\times b=(-4,-5,6)$
a\times b=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&2&-
1\\3&0&2\end{vmatrix}=(-4,-5,6)$。

12.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2)$，则$|a\times b|=\sqrt{77}$
a\times b|=\sqrt{(-4)^2+(-5)^2+6^2}=\sqrt{77}$。

13.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2),c=(2,-1,3)$，则$[a,b,c]=(-13,-7,-13)$
a,b,c]=\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&0&2\\2&-
1&3\end{vmatrix}=(-13,-7,-13)$。

14.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2),c=(2,-1,3)$，则
$a\times(b\times c)=(-18,4,-6)$
b\times c=\begin{vmatrix}i&j&k\\3&0&2\\2&-
1&3\end{vmatrix}=(2,-12,-3)$，因此$a\times(b\times
c)=a\times(-12,-3,2)=(-18,4,-6)$。

15.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2),c=(2,-1,3)$，则$a\cdot(b\times
c)=-11$
b\times c=\begin{vmatrix}i&j&k\\3&0&2\\2&-
1&3\end{vmatrix}=(2,-12,-3)$，因此$a\cdot(b\times
c)=\begin{pmatrix}1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-12\\-3\end{pmatrix}=-11$。

16.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2),c=(2,-1,3)$，则$[a,b,c]$的模长等于平行六面体的体积
平行六面体的体积等于底面积乘以高，其中高等于任意一条边上的向量与底面法向量的数量积的绝对值。

因此，平行六面体的体积为$|[a,b,c]|\cdot\frac{|a\times b\cdot c|}{|a\times
b|}=|-13\cdot(-7)\cdot(-13)|\cdot\frac{|(-18,4,-6)\cdot(2,-12,-
3)|}{|(-4,-5,6)|}=546$。

17.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2),c=(2,-1,3)$，则$[a,b,c]$的方向向量为$(1,2,-1)$
a,b,c]$的方向向量等于底面法向量的方向向量。

根据向量的叉乘定义，$[a,b,c]$的方向向量为$(a\times b)\times(b\times c)$。

计算得到$(a\times b)\times(b\times c)=(1,2,-1)$。

18.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2),c=(2,-1,3)$，则$[a,b,c]$的模
长等于三角形面积
三角形面积等于底边长度乘以高，其中高等于底边上的向量与三角形法向量的数量积的绝对值。

因此，三角形面积为$\frac{1}{2}|[a,b,c]|\cdot\frac{|a\times b|}{|a\times b\cdot c|}=18$。

19.已知$a=(1,2,-1),b=(3,0,2),c=(2,-1,3)$，则$[a,b,c]$的模
长等于四面体的体积
四面体的体积等于任意一条边上的向量与三角形法向量的数量积的绝对值的三分之一。

因此，四面体的体积为
$\frac{1}{6}|[a,b,c]|\cdot|(a-b)\cdot(a-c)\cdot(b-c)|=36$。

20.已知$a=2,b=3,a\cdot b=33$，则$a$与$b$的夹角等于30°
已知$a\cdot b=|a|\cdot|b|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$为
$a$和$b$的夹角。

代入已知条件，得到
$\cos\theta=\frac{11}{18}$。

因为$0<\theta<\frac{\pi}{2}$，所
以$\theta=30^\circ$。

21.已知ABCD为菱形，则$(AB+BC)\cdot(AB-AD)$的值
为
因为ABCD为菱形，所以$AB=AD$。

因此，
$(AB+BC)\cdot(AB-AD)=BC\cdot(AB-AD)=XXX根据余弦定理，可以计算出$\cos\angle BCD=-\frac{1}{2}$，因此$\angle
BCD=120^\circ$。

根据正弦定理，可以计算出
$BD=2\sqrt{13}$。

因此，$(AB+BC)\cdot(AB-AD)=BC\cdot
BD=26$。

22.已知$b=5$，且$a\cdot b=12$，则向量$a$在$b$方向上
的投影为
向量$a$在$b$方向上的投影为$\frac{a\cdot b}{|b|^2}\cdot
b=\frac{12}{25}\cdot(5,0)=(\frac{12}{5},0)$。

23.已知向量$a$与$b$的夹角为120°，且$a=(4,0,2),b=(2,0,-1)$。

1) 求$a$在$b$方向上的投影
2) 求$3a+4b$
3) 若向量$a+kb$与$5a+b$垂直，求实数$k$的值
1) 向量$a$在$b$方向上的投影为$\frac{a\cdot
b}{|b|^2}\cdot b=\frac{4}{5}\cdot(2,0,-1)=(\frac{8}{5},0,-\
35、在三角形ABC中，已知∠C=45°，∠A=30°，a=22，
求b。

根据正弦定理，有：
b/sinB = a/sinA
代入已知数据，得：
b/sinB = 22/sin30°
解得sinB = (22/2)/b = 11/b
又因为∠C=45°，根据三角形内角和为180°可知∠B=105°。

因此，有：
sinB = sin(180°-∠A-∠C) = sin105°
解得b = 23+2.
36、在三角形ABC中，已知∠B=45°，b=2，c=1，求a。

根据余弦定理，有：
a² = b² + c² - 2bc*cosB
代入已知数据，得：
a² = 2² + 1² - 2*2*1*cos45°
解得a² = 8，即a = √8 = 2√2.
37、在三角形ABC中，已知∠B=150°，a=33，c=2，求b。

根据正弦定理，有：
b/sinB = a/sinA
代入已知数据，得：
b/sinB = 33/sin30°
解得sinB = (33/2)/b = 16.5/b
又因为∠B=150°，根据三角形内角和为180°可知
∠A=180°-∠B-∠C=30°。

因此，有：
sinB = sin(180°-∠A-∠C) = sin(180°-30°-150°) = sin(0°) = 0 解得b = 7.
38、在三角形ABC中。

1）已知∠A=120°，b=3，c=5，求sinB+sinC。

根据正弦定理，有：
b/sinB = c/sinC
代入已知数据，得：
3/sinB = 5/sinC
解得sinB = (3/5)sinC
又因为∠A+∠B+∠C=180°，代入已知数据可得∠C=60°。

因此，有：
sinB + sinC = sinB + sin(60°) = sinB + √3/2
代入已知数据，得：
sinB + sinC = (3/5)sinC + √3/2
解得XXX 43/60.
2）已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，求∠C。

展开式子，得：
a² + 2ab + b² - c² = 3ab
化简，得：
a² + b² - c² = ab
代入已知数据，得：
2² + 3² - c² = 2*3
解得c² = 7，即c = √7.
根据余弦定理，有：
c² = a² + b² - 2ab*cosC
代入已知数据，得：
7 = 3² + b² - 2*3*b*cosC
化简，得：
2b*cosC = 2
解得cosC = 1/2，即∠C=60°。

39、根据三角形两边之和大于第三边的原则，可知此三角形为锐角三角形。

40、根据余弦定理，有：
a² = b² + c² - 2bc*cosA
代入已知数据，得：
a² = 4b² + c² - 4bc*cosC
又因为cosC = (b² + c² - a²)/(2bc)，代入已知数据，得：a² = 4b² + c² - 4b² - c² + a²
化简，得：
a = 2b*cosC
因此，此三角形为等腰三角形或直角三角形。

41、根据正弦定理，有：
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2S/3
代入已知数据，得：
a/sin60° = 1/sinB = 2S/3
解得XXX，即∠B=60°。

根据余弦定理，有：
a² = b² + c² - 2bc*cosA
代入已知数据，得：
a² = b² + 1 - 2b*cos60°
化简，得：
a² = b² - b + 1
因为a=2S/3，代入已知数据，得：2S²/9 = b² - b + 1
又因为S² = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2，代入已知数据，得：
4/3 = b² - b + 1
化简，得：
b² - b - 1/3 = 0
解得b = (1+√13)/2或(1-√13)/2，因为b<1，所以可知
b=(1-√13)/2.
因此，a² = b² - b + 1 = 13/4，即a = √13/2.
42、（1）设D(x,y)，则有AD=BC，即|x-1|+|y-2|=|x-3|+|y-1|。

分别考虑四种情况：
当x<1且y<2时，有2x+3y=8；
当x<1且y≥2时，有2x+y-3=0；
当x≥1且y<2时，有x+2y-5=0；
当x≥1且y≥2时，有x-y+2=0.
解得x=-3，y=1，因此D(-3,1)。

2）设P(x,y)，则有AP=3PB，即√[(x-1)²+(y-2)²]=3√[(x-3)²+(y-1)²]。

化简，得：
8x-11y+29=0
因此，P的坐标为(4,3)或(2,-1)。

3）根据余弦定理，有：
cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)
代入已知数据，得：
cosA = (3² + 5² - 22²)/(2*3*5) = -23/30
因为A为锐角，所以有A = π-arccos(-23/30)。

化简，得：
A = arccos(23/30)。

43、（1）因为m//n，所以有m=k*n，其中k为常数。

展开式子，得：
a-c)(a-b) = k(a+b)(a-b+c)
化简，得：
a² - b² - c² + bc = ka² + kab - kac + kb² - kc² + kbc 移项，得：
a-kb-kc)² = k²b² + k²c² - kbc
代入已知数据，得：
a-3)² = 8
解得a = 3±2√2.
因为a<b+c，所以可知a=3+2√2.
又因为m//n，所以有m=k*n，其中k为常数。

展开式子，得：
a-c)(a-b) = k(a+b)(a-b+c)
化简，得：
a² - b² - c² + bc = ka² + kab - kac + kb² - kc² + kbc
移项，得：
a-kb-kc)² = k²b² + k²c² - kbc
代入已知数据，得：
a-3)² = 8
解得a = 3±2√2.
因为a<b+c，所以可知a=3+2√2.
又因为∠B<90°，所以可知∠B=arcsin(kc/√(k²+1))。

代入已知数据，得：
B = arcsin(3√2/√17)
化简，得：
B = π/3 - arccos(1/√17)
因此，有∠B = π/3 - arccos(1/√17)，∠C = π-arcsin(3√2/√17)-π/3，即∠C = π/3-arcsin(3√2/√17)。

2）根据海伦公式，有：
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
代入已知数据，得：
S = √[(3+2√2)/2*(3-2√2)/2*(3√2)/2*(3-√2)/2] = 3
因此，S=3.。