湖南省岳阳市平江县第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区.若甲、乙分别从这六大展区中随机
选择一个展区做志愿者，则甲、乙都选择汽车展区的概率为
.
14．已知过点
p 2
,
0
(
p
0)
的直线与抛物线 C
:
y2
2
px 交于
A,
B
两点，若 |
AB
|
3p
且
线段 AB 的中点的横坐标为 1，则 C 的方程为
.
15．已知函数
f
D． x2 y2 1 4 16
8．已知椭圆 C1 :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的左、右焦点分别为 F1, F2 , C1 的上顶点为
M，且
F1MF2
2π 3
，双曲线 C2
和椭圆 C1 有相同的焦点，P
为 C1 与 C2

的一个公共点.若
试卷第 1页，共 4页
| OP |
1 2
F1F2
（O 为坐标原点），则 C2 的离心率 e （
1 6
a101a99
a2 100
，则 bn
.
四、解答题
17．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn , a4 6, S6 33 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 bn
2 an an 1
，数列 bn 的前
n
项和为 Tn
，若 Tn
m
恒成立，求实数
m
的最小值.
18．已知 ABC 的角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c ，且 2 sin(B C) a sin B .
A．an bn 为常数列
B． an 为递增数列， bn 为递减数列
C． n N*,
an bn1
1 2
D． n N*,
an1 an
5 2
三、填空题 13．第六届中国国际进口博览会于 2023 年 11 月 5 日至 10 日在国家会展中心（上海）
试卷第 2页，共 4页
举行，主题为“新时代，共享未来”，企业商业展设置食品及农产品、汽车、技术装备、
A． A2 C 2 0
B．若 C A ，则直线 l 过定点 (1, 0)
C．若 A B 0 且 B C 0 ，则直线 l 不过第二象限
D．若 AC 0 ，则直线 l 必过第二、三象限
11．已知圆 C 关于 y 轴对称，被 x 轴分成的上下两段弧的弧长之比为 2 :1，且与 x 轴相
交所得的弦长为 2 3 ，点 A(0, 2), B(6,1), P 为圆 C 上的动点，则（ ）
A． R
B．x |1 x 2
C．{x | x 1}
D．{x | x 2}
2．已知抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，C 经过纵坐标为 4 的点 P ，且 FP 平行于
C 的准线，则点 P 的横坐标为（ ）
A． 9
B． 8
C． 6
D． 4
3．在正项等比数列an 中，若 a2 a6 16, a8 64，则an 的公比 q （ ）
）
A．
4 3
B． 5
2
C． 6 2
D． 2
二、多选题
9．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，首项 a1 6 ，则下列递推关系式能使 Sn 存在最大值
的是（ ）
A． an1 an 1
B．
an1
1 3
an
C． an1 an
D． an1 an2 2an 2
10．已知直线 l 的方程是 Ax By C 0（A，B 不同时为 0），则下列结论正确的是（ ）
D．
3 2
, 3
7．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，点
M
为 F1 关于渐近
线的对称点.若
MF1 MF2
2 ，且 △MF1F2 的面积为 4，则 C 的方程为（
）
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1 4
C． x2 y2 1 28
A．圆 C 的方程为 x2 ( y 1)2 4
B．点 P 到直线 AB 的距离恒大于 1 C．有且仅有一个点 P 使得直线 AP 的斜率为 5
2
D．当 PBA 最大时， | PB | 4 3
12．已知正项数列an,bn 满足 bn an1 2 an, bn1 an 2bn，若 a1 2, b1 1 ，则（ ）
A． 4π
B． 3π
C． 2 2π
D．
4π 3
6．过直线 y 2x 上的点 P 作圆 C : (x 2)2 ( y 4)2 4 的两条切线 l1, l2 ，当直线 l1, l2 关
于直线 y 2x 对称时，点 P 的坐标为（ ）
A．
3 5
,
6 5
B．
6 5
,
12 5
C． (1, 2)
(x)
sin( x
)
0, 0
π 2
在区间
π 3
,
π 6
上单调递增，且
f
π 6
f
π 3
2
，则
f
(x)
在区间
0,
π 2
上的值域为
.
16．已知数列an 满足 a1 a2 1，且 an an1 an2 ,n 3 ，数列bn 的各项均不为 0，
且 bnbn1
bn1
bn.若 b3
22．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的上顶点、右焦点分别为 P, F ,O 为坐标原点，且
POF 是面积为 2 的等腰直角三角形.
(1)求 C 的方程；
(2)设
A，B
是
C
上的两个动点，且以
AB
为直径的圆经过点
1 O，证明： | OA |2
1 | OB |2
为
定值.
试卷第 4页，共 4页
(2)已知点 Q 在棱 B1C1 上，且 AB 平面 OPQ ，求直线 OQ 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值.
21．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，点 A(4, a) 满足 AF (6, 8) .
(1)求 a 的值及 C 的方程；
(2)若过点 F 的直线 l 交 C 于 M，N 两点，求 AM AN 的最小值及此时直线 l 的方程.
湖南省岳阳市平江县第一中学 2023-2024 学年高二上学期 12 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A x∣x2 3x 2 0 , B {x∣x 1} ，则 A B （ ）
(1)求 b； (2)若 AD 是 ABC 的中线，且 AD 2, c 6 ，求 ABC 的面积.
19．已知数列an的前 n 项和为 Sn ，且数列2Sn 3 是首项为 3，公比也为 3 的等比数
列.
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列bn 满足 bn
n an
，求 bn 的前
n
项和 Tn
A． 2
B．2
C． 2 2
4．已知
a
sin
3 2
，
b
3 4
，c
1 2
ln
5 2
，则（
）
A． a c b
B． b a c
C． b c a
D．4 D． a b c
5．已知三棱锥 A BCD 的外接球的球心 O 在棱 BC 上，且 AO 底面 BCD .若 DBC π ， 4
三棱锥 A BCD 的体积为 1，则球 O 的体积为（ ）
.
20．如图，在多面体 ABC - A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 是边长为 4 的正方形， AC 平面
ABB1A1, CC1 平面 ABC ，且 AC 3,CC1 2,O, P 分别是线段 AB1, BC 的中点.
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(1)求证： OP// 平面 ACC1A1 ；