新人教B版高中数学必修二教学课件 第一章 立体几何初步 1.2.3《(第2课时)平面与平面垂直》

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．
[点评]
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直
线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线 与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中， 高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看 到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[ 解析]
解法一：取 BC 的中点 D，连接 AD、SD.
由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角 形，则 AB＝AC． ∴AD⊥BC，SD⊥BC． 2 令 SA＝a，在△SBC 中，SD＝ 2 a， 2 又∵AD＝ AC －CD ＝ 2 a，
2 2
∴AD2＋SD2＝SA2. 即 AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面 SBC． ∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC．
[解析]
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC． 又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC， ∴CC1⊥AD. 又BC∩CC1＝C， ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
三棱锥 S －ABC 中，∠ BSC ＝ 90°，∠ ASB＝ 60°，∠ ASC ＝60°，SA＝SB＝SC．
当 F 为 PC 的中点时，满
足平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 G，PC 的中点 F，连 接 PG、BG、DE、EF、DF，则 PG⊥ AD，而平面 PAD⊥面 ABCD， 所以 PG⊥平面 ABCD.在△PBC 中， EF∥PB； 在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE ＝E，∴平面 DEF∥平面 PGB.又 PG⊥平面 ABCD，PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
[ 错解] ∵平面 PAB⊥平面 ABC，
∴PA⊥AB， 又∵平面 PAC⊥平面 ABC， ∴PA⊥AC，又 AB∩AC＝A， ∴PA⊥平面 ABC．
[ 辨析] 错误的．
错解中，凭想当然认为 PA⊥AB，PA⊥AC，这是
[ 正解]
如图所示，在平面 ABC 内任
取一点 D，作 DF⊥AC 于点 F，作 DG⊥ AB 于点 G， ∵平面 PAC⊥平面 ABC， 平面 PAC∩平面 ABC＝AC， ∴DF⊥平面 PAC， 又∵PA⊂平面 PAC，∴PA⊥DF， 同理可证：DG⊥PA， ∵DF∩DG＝D，且 DF⊂平面 ABC，DG⊂平面 ABC， ∴PA⊥平面 ABC．
此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定惟 一平面β满足α⊥β.
பைடு நூலகம்
5 ．平面 α⊥平面 β ， α∩β ＝ l ， n⊂β ， n⊥l ，直线 m⊥α ，则 直线m与n的位置关系是________． [答案] 平行
[解析] 由题意知n⊥α，
而m⊥α，∴m∥n.
6 ．如图，长方体 ABCD － A1B1C1D1 中， AB＝ AD ＝ 1 ， AA1 ＝2，点P为DD1的中点．
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
立体几何初步
第一章 1.2.3 空间中的垂直关系 平面与平面垂直
第2课时
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
思想方法技巧
3
易错疑难辨析
5
课 时 作 业
课前自主预习
建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直， 泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线 砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直.
1.平面与平面垂直的定义： 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平
面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这
__________________．平面α、β互相垂直，记作α⊥β. 两个平面互相垂直
2．两个平面垂直的判定定理：
另一个平面的一条垂线 ，那么这两个 如果一个平面经过______________________
解法二：∵SA＝SB＝SC＝a，
又∵∠ASB＝∠ASC＝60°， ∴△ASB、△ASC都是等边三角形． ∴AB＝AC＝a. 作AD⊥平面SBC于点D，
∵AB＝AC＝AS，∴D为△SBC的外心．
又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形， ∴D为BC的中点，故AD⊂平面ABC．
∴平面ABC⊥平面SBC．
求证：平面PAC⊥平面BDD1.
[解析]
∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，
∴底面ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，
∴DD1⊥AC，又DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD1，∴平面PAC⊥平面BDD1.
课堂典例讲练
面面垂直的判定 如图，在底面为正三角形的直三棱柱 ABC － A1B1C1中，点D是BC的中点，求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.
平面PAB⊥平面ABC．又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB， ∴平面PBC⊥平面PAB.
4．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 ________个． [答案] [解析] 1个或无数 设平面外的点为A，平面内的点为B，过点A作平
面 α 的垂线 l. 若点 B 恰为垂足，则所有过 AB的平面均与 α 垂直，
[解析]
如图，
∵SC⊥AB，SC⊥AC，AB∩AC＝A， ∴SC⊥平面ABC．
∴平面SCB⊥平面ABC．
2 ．设有直线 m 、 n 和平面 α 、 β ，则下列命题中正确的是
( ) A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β B．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
已知三棱锥 P－ABC 中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂直，PA ＝PB＝PC． (1)求证：AB⊥BC； (2)若 AB＝BC， 过点 A 作 AF⊥PB 于点 F， 连接 CF， 求证： 平面 PBD⊥平面 AFC．
[ 解析]
如图所示：
(1)取 AC 的中点 D，连接 PD、BD， ∵PA＝PC，∴PD⊥AC， 又平面 PAC ⊥平面 ABC ，且平面 PAC∩平面 ABC＝AC， ∴PD⊥平面 ABC，D 为垂足． ∵PA＝PB＝PC， ∴DA＝DB＝DC， ∴AC 为△ABC 的外接圆的直径，故 AB⊥BC．
[点评]
在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找
平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来 解决，如有两平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内 作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线 垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件
是解决这类问题的关键．下图是垂直相互转化的示意图．
平面互相垂直．
a⊥α，a⊂β 符号表示：_____________________ ⇒α⊥β，
如图：
3 ．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么 垂直于它们交线的直线 ，垂直于另一个平面． 在一个平面内______________________
符号表示： ________________________________________ α ⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为 垂足 ⇒BA⊥β， ________
思想方法技巧
转化思想 如图所示，在四棱锥 P －ABCD 中， 底面 ABCD 是∠DAB＝60° 且边长为 a 的菱形， 侧面 PAD 为正三角 形，其所在平面垂直于底面 ABCD，若 E 为 BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF ⊥平面 ABCD，并证明你的结论．
[ 解析]
如图：
推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点 ____________________垂
直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
1.在空间四面体S－ABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC
是锐角三角形，那么必有( A．平面SAC⊥平面SCB )
B．平面SAB⊥平面ABC
C．平面SAC⊥平面SAB D．平面SCB⊥平面ABC [答案] D
D．若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β
[答案] B
[ 解析]
n⊥β ⇒m⊥β m∥n m⊂α
⇒α⊥β，
∴B 正确．
3.如图所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，则图中互相
垂直的平面有( A．2对 B．4对 C．3对 )
D．5对
[答案] [解析] C ∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，
面面垂直的性质
已知 P 是△ ABC 所在平面外的一点，且 PA⊥平
面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
[ 解析] PC 于点 D， ∵平面 PAC ⊥平面 PBC ， AD ⊂ 平面 PAC，且 AD⊥PC， ∴AD⊥平面 PBC， 又 BC⊂平面 PBC，∴AD⊥BC． 如图，在平面 PAC 内作 AD⊥
(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB， ∴△ABP≌△CBP. ∵AF⊥PB， ∴CF⊥PB，又 AF∩CF＝F， ∴PB⊥平面 AFC，又 PB⊂平面 PBD， ∴平面 PBD⊥平面 AFC．
易错疑难辨析
已知平面 PAB ⊥平面 ABC ，平面 PAC ⊥平面 ABC，如图所示．证：PA⊥平面 ABC．