专题18 全等三角形(专项训练)(解析版)

专题18 全等三角形
一、单选题
1．（2021·湖南怀化·九年级）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于1
2
EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）
A．AO平分△EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF
【答案】C
【详解】
由尺规作图的痕迹可得：GH垂直平分线段EF．
故选C．
2．（2021·江苏南京·九年级）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若△ADE＝m°，则△BAD的度数是（）
A．m°B．
1
90
2
m
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
°C．（90－m）°D．
3
90
2
m
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
°
【答案】D
【分析】
分别过点E、G作EF△CD、DG△AB，证明△CEF△△BDG、△DEF△△ADG，从而证明△CDE△△ADB，得到△EDC=△BAD，再利用等边对等角，用m表示出△AED和△CED，再利用平角的定义即可表示出△BAD的度数．
【详解】
解：分别过点E、G作EF△CD、DG△AB，垂直分别为F、G，
△AB=AC ， △△B =△C ，
△EF △CD ，DG △AB ， △△EFC =△DGB =90°， 在△CEF 和△BDG 中
△△EFC ＝△DGB ，△C ＝△B ，CE ＝BD ， △△CEF △△DGB （AAS ）， △EF =DG ，
在Rt △DEF 和Rt △ADG 中 △DE ＝AD ，EF ＝DG ， △Rt △DEF △Rt △ADG （HL ）， △△CED =△ADB ，△EDC =△DAB ， △AD =ED ，△ADE =m °， △△DEA =180-()2
m °
△△ADB =△CED =180-(180-
)2
m
°， △△BAD =△EDC =180°-（△ADB +△ADE ）=180°-180-(180-+)2
m
m ° =3(90-)2
m
° ， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，能够根据线段相等等已知条件构造全等三角形是解答此题的关键．
3．（2021·江苏九年级）如图，Rt AOB Rt COD △≌△，直角边分别落在x 轴和y 轴上，斜边相交于点E ，且tan 2OAB ∠=．若四边形OAEC 的面积为12，反比例函数(0)k
y x x
=>的图像经过点E ，则k 的值是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】B 【分析】
过点E 作EF OA ⊥于F ，EG OC ⊥于G ,连接OE ，证明三角形全等，得对应边相等，用来证明四边形为正方形，再根据tan 2OAB ∠=，建立边与边之间的等量关系，利用两直线平行和四边形的面积，即可求出解． 【详解】
解：过点E 作EF OA ⊥于F ，EG OC ⊥于G ,连接OE ,如图：
Rt AOB Rt COD △≌△，
,,OA OC OB OD ABO CDO ∴==∠=∠，
OB OC OD OA ∴-=-，
即：BC AD =， 在BCE DAE =中，
{ABO CDO BEC DEA BC AD ∠=∠∠=∠=，
()BCE DAE AAS ∴≌， EC AE ∴=，
在CEO 和AEO △中， OC OA OE OE EC EA =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
()CEO AEO SSS ∴≌，
45COE AOE ∴∠=∠=︒，
COE
AOE
S
S
=，
,,EG OC EF AO OA OC ⊥⊥⊥，
∴四边形OFEG 为正方形，
EG EF OG OF ∴===，
tan 2,2OB
OAB OA
∠=∴
=， 设OA OC a ==，则2OB OD a ==， 设EG EF x ==，则OG OF x ==，
//EG OA ，
EG BG
OA BO ∴
=， 即：
22x a x a a
-=， 解得：2
3
x a =， 22
(,)33
E a a ∴，
四边形OAEC 的面积为12， 162AEO
S
S ∴=
=四边形OAEC
， 1
62OA EF ∴⨯=， 12
623
a a ∴⨯⨯=， 解得：218a =， 2224
8339
k a a a ∴=
⨯==， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了反比例函数k 的几何意义，待定系数法，三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，三角
形的面积，解直角三角形，解题的关键是：利用点的坐标表示出相应线段的长度．
4．（2021·山东九年级）如图，在ABC中，AB AC
=，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和
点D，再分别以点B，D为圆心，大于1
2
BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若
5,1
AE BE
==，则EC的长度是（）
A
B．C．9D
【答案】A
【分析】
利用基本作图得到CE△AB，根据线段的和差关系可得AC=AB=6，然后利用勾股定理计算CE的长．
【详解】
△AE=5，BE=1，
△AB=6，
由作图可知CM为AB的垂线，即CE△AB，
△在△ACE中，AC2=AE2+CE2，
△AB=AC，
△62=52+CE2，
解得：CE（负值舍去），
故选：A．
【点睛】
本题考查了基本作图及勾股定理，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题关键．5．（2021·江苏省天一中学九年级）如图，ABC中，△C=90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP=3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（）
A．8B．6C．9
4
πD．
25
16
π
【答案】B
【分析】
连接CQ，PQ，证明点Q在CP的垂直平分线上，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，可得PQ扫过的面积为△PMN的面积，证明△ABC△△ACP，得到MN△AB，再证明
△CMN△△CBA，得到相似比，求出△CMN的面积即可得解．
【详解】
解：连接CQ，PQ，
△△ACB=90°，PE△PF，Q为EF中点，
△PQ=CQ=1
2
EF，
△点Q在CP的垂直平分线上，
如图，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，
△PQ扫过的面积为△PMN的面积，
△△ACB=90°，AC=6，BC=8，
△AB，
△AP=3.6，
则
3
5
AP AC
AC AB
==，又△C=△C，
△△ABC△△ACP，
△△APC =△ACB =90°，即CP △AB ， △MN △CP ， △MN △AB ，
△△CMN △△CBA ，又MN 垂直平分CP ， △
1
2
CM CN CB CA ==，且△CMN 和△PMN 的面积相等， △S △PMN =S △CMN =14
S △ABC =11
6842⨯⨯⨯=6，
故选B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是推出点Q 的路径，得到点Q 在CP 的垂直平分线上．
6．（2021·吉林）如图，在ABC 中，90ACB ∠>︒按以下步骤作图：分别以点A 和C 为圆心，大于1
2
AC 的
边长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和N ；作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．若5cm AB =，则BC 的长可能是（ ）
A ．7cm
B ．6cm
C ．5cm
D ．4cm
【答案】D 【分析】
由基本作图得到MN 垂直平分AC ，则DA =DC ，根据三角形三边的关系得到BC ＜CD +DB ，然后对各选项进
行判断． 【详解】
解：由作法得MN 垂直平分AC ， △DA =DC ，
△CD +BD =DA +DB =AB =5， △BC ＜CD +DB ， △BC ＜5． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了作图-基本作图－作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质．
7．（2021·广西柳州·）如图，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，点M 在AC 边上，且A M=2，M C =6，动点P 在AB 边上，连接PC ，P M ，则PC +P M 的最小值是（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．10
【答案】A 【分析】
首先利用等腰三角形和垂直平分线的性质求出8AC '=和90C AC ∠'=︒，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】
解：如解图，过点C 作CO AB ⊥于点O ，延长CO 到点C '，使OC OC '=，连接MC '，交AB 于点P '，此时
MC P M P C P M P C '='+''='+'的值最小，
连接AC '，
,,90CO AB AC BC ACB ⊥=∠=︒，
1
245ACO ACB ∴∠=∠=︒．
,CO OC CO AB ='⊥，
268AC CA AM MC ∴'==+=+=， 45OC A OCA ∴∠'=∠=︒， 90C AC ∴∠'=︒， C A AC ∴'⊥，
MC ∴'=
PC PM ∴+的最小值为
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的应用和勾股定理，找到P 点的位置是关键．
8．（2021·湖南长沙·九年级）如图，用直尺和圆规作图，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB ，OA 于点E 、D ，再分别以点E 、D 为圆心，大于1
2
ED 的长为半径画弧，两弧交于点C ，连接OC ，则△ODC △OEC 的理由是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．AAS
D ．HL
【答案】A 【分析】
连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ，利用SSS 即可证明△ODC △OEC ． 【详解】
如图，连接EC 、DC ．
根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ， 在△EOC 与△DOC 中， OE OD OC OC CE CD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， △△EOC △△DOC （SSS ）． 故选A ． 【点睛】
本题考查了基本作图及三角形全等的判定方法，根据作图方法确定出三角形全等的条件是解决问题的关键． 9．（2021·四川宜宾市·）如图，在ABC 中，90,16,C AC AB ∠=︒=的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若:3:5CD DB =，则ABC 的面积为（ ）
A ．16
B ．32
C ．48
D ．64
【答案】D 【分析】
由于CD ：DB ＝3：5，可设DC ＝3x ，BD ＝5x ，由于MN 是线段AB 的垂直平分线，故AD ＝DB ，AD ＝5x ，又知AC ＝16，即可据此列方程解答． 【详解】
解：△CD ：DB ＝3：5， △设DC ＝3x ，BD ＝5x ，
又△MN 是线段AB 的垂直平分线， △AD ＝DB ＝5x ，
又△AC＝16cm，
△3x＋5x＝16，
解得，x＝2，
△CD＝6，DB＝10，
在Rt△BDC中，CD＝6，DB＝10，BC8
=，
△△ABC的面积＝1
2AC×BC＝1
2
×16×8＝64．
故选D．
10．（2021·河北唐山·）如图，所示的正方形网格中，一条A，B，C三点均在格点上，那么ABC的外接圆圆心是（）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【答案】C
【分析】
由ABC的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，根据网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，BC 的垂直平分线是点G所在直线即可．
【详解】
解：△A，B，C三点均在格点上，连结BC，
△ABC的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，
由网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，
BC的垂直平分线是点G所在直线，
△点G是ABC的外接圆圆心．
故选择：C．
【点睛】
本题考查网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线，掌握网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线是解题关键．
二、填空题
11．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，在ABC中，AC＝4，BC＝8，分别以点A，B为圆心，等长为半径作弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，再以点F为圆心，DE长为半径作弧，交前弧于点G，连接AG并延长交BC于点H．则BH长_____．
【答案】6
【分析】
根据尺规作图可得△CAH=△B，故可得到△ACH△△BCA，得到AC HC
BC AC
=，故可求出CH，从而求出BH的
长．
【详解】
根据尺规作图可得△CAH=△B，又△C=△C
△△ACH△△BCA
△AC HC BC AC
=
△4
84
HC =
△HC=2
故BH=BC-HC=6故答案为6．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知尺规作角相等的方法及相似三角形的判定定理． 12．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，E 是正方形ABCD 外一点，连接AE ，BE ，DE ，AP △AE 交
DE 于点P ，连接BP ，若AE ＝AP ＝1，PB △EB △ED ；△点B 到直线DE 的距离是1；
△
APD
APB
S
S
+=
；△S 正方形ABCD ．其中正确结论的序号为______．
【答案】△△△ 【分析】
根据正方形性质可得AD =AB ，△BAD =ADC =90°，再由AP △AE ，易证△ABE △△ADP ，再利用等腰直角三角形性质可得：△AEB =135°，进而可得：EB △ED ；由勾股定理即可求得BE =1，即点B 到直线DE 的距离为1；
设正方形ABCD 边长为a ，根据勾股定理可得2
2
2
12a a ⎛⎛⎫ -
+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，解得：2
2a
=+
，
即可求得：APD
APB
S S
+=
，2正方形2ABCD S a ==+，即可求解．
【详解】
解：△四边形ABCD 是正方形， △AD =AB ，△BAD =△ADC =90° △AP △AE ， △△EAP =90°
△△BAE +△BAP =△BAP +△DAP =90°， △△BAE =△DAP ， △AE =AP =1，
△△ABE △△ADP （SAS ）， △△AEB =△APD ，BE =DP △△AEP 是等腰直角三角形，
△△AEP =△APE =45°
，EP =
==
，
△△APD =180°-△APE =180°-45°=135°， △△AEB =135°，
△△BED =△AEB -△AEP =135°-45°=90°， △EB △ED ，故△正确；
△1BE ==
，故△正确；
过点E 作EF △AB 于点F ，过点P 作PG △AB 于点G ，
△AF =BF ，△AFE =△PGA =90°， △△EAF +△P AG =△P AG +△APG =90°， △△EAF =△APG ， △△EAF △△APG （AAS ）， △EF =AG ，AF =PG ，
设正方形ABCD 边长为a ，则AB =a ，
1
2
AF PG a ==
，
△AG EF ==
=
=
，
△BG AB AG a =-=-
， 在Rt BPG △ 中，由勾股定理得：
2
2
2
1
2a a ⎛⎛⎫ -+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
解得：22a =+，
△()1
2
APD
APB
AEB
APB
S
S
S
S
AB EF PG +=+=
+
1122a a ⎫⎪=+=⎪
⎝⎭
，
故△正确；
△2正方形2ABCD S a ==+，故△错误，
故正确的有△△△． 故答案为：△△△． 【点睛】
本题主要考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形面积和正方形面积等；熟练掌握相关知识点是解题的关键．
13．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级）如图，OA ＝OB ，AC ＝BC ，△ACO ＝30°，则△ACB ＝__．
【答案】60° 【分析】
利用SSS 证明△AOC △△BOC 可得△BCO ＝△ACO ＝30°，进而可求解△ACB 的度数． 【详解】
解：在△ACO 和△BCO 中， OA OB AC BC OC OC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， △△AOC △△BOC （SSS ）， △△BCO ＝△ACO ＝30°， △△ACB ＝△BCO +△ACO ＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】
本题考查了全等三角形判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．（2021·江苏）如图,在四边形ABCD 中,AB △DC ,过点C 作CE △BC ,交AD 于点E ,连接BE ,△BEC ＝△DEC ,若AB ＝6,则CD ＝___．
【答案】3 【分析】
延长AD ,BC 交于点P ,先证明BCE PCE ≅△△,可得到PC =BC ,从而得到CD 是ABP △ 的中位线,即可得出答案． 【详解】
如图,延长AD ,BC 交于点P , △CE △BC ,△90PCE BCE ∠=∠=︒ , 又△△BEC ＝△DEC ,CE =CE , △()BCE PCE ASA ≅ , △PC =BC , △AB △DC ,
△CD 是ABP △ 的中位线, △11
6322
CD AB =
=⨯= , 故答案为3． 【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线定理和三角形全等,解题的关键是做辅助线构造出三角形,找到三角形的中位线．
15．（2021·江苏九年级）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则△1+△2＝___．
【答案】135°
【分析】
直接利用网格证明△ABC△△CDE，得出对应角△1=△3，进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：
可知：AB=CD=3，BC=DE=1，△B=△D=90°，
△△ABC△△CDE（SAS），
△△1=△3，
则△1+△2=△2+△3=135°．
故答案为：135°．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．
三、解答题
16．（2021·西安市铁一中学九年级）如图，已知直线l外有一点P，请用尺规作图的方法在直线l上找一点Q，使得Q到P的距离最小（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析．
【分析】
以点P为圆心，适当长为半径，作弧交直线l于两点，再作以这两点为线段的垂直平分线，交直线于点Q 即可．
【详解】
解：如图，点Q即是所求作的点．
【点睛】
本题考查过直线外一点，作直线的垂直平分线，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，在ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝4，过点C作MN△AB，点P为斜边BC上一点，点Q为直线MN上一点，连接PQ，作PR△PQ交直线AC于点R．
（1）当点Q在射线CM上时
△如图1，若P是BC的中点，则线段PQ，PR的数量关系为；
△如图2，若P不是BC的中点，写出线段CP，CQ，CR之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）若
1
4
CP BC
=，3
CQ=，请直接写出CR的长．
【答案】（1）△PQ＝PR；CQ CR
+=，见解析；（2）5或1
【分析】
（1）△PQ＝PR；连结AP，△BAC＝90°，AB＝AC，可得△ACP=45°，由点P为BC中点，可得AP△BC，
AP平分△BAC，可得△APQ+△QPC=90°，△P AC=45°，可求△RAP=135°，△ACP=△P AC=45°，可证△RAP△△QCP （ASA）即可；
CQ CR
+=．作PE △PC交AC于点E，可得△EPC＝90°，可得△EPQ+△QPC=90°，由PR△PQ，可得△RPE+△EPQ=90°，可得△RPE＝△QPC，再证△PER△△PCQ（ASA），可得ER＝CQ，在Rt△CEP中，
利用三角函数
可求CE=即可；
（2）由△BAC＝90°，AB＝AC＝4
，利用勾股定理可求BC=
1
4
CP BC
=
，可
1
4
CP BC
=Q在MN上位置分两种情况：当点Q在CM上与点Q在CN上时，利用结论可求CR．
【详解】
（1）△连结AP，
△△BAC＝90°，AB＝AC，
△△ACP=45°，
△点P为BC中点
△AP△BC，AP平分△BAC，
△△APQ+△QPC=90°，△P AC=45°，
△△RAP=180°-△P AC=135°，△ACP=△P AC=45°
△AP=CP，
△RP△PQ，
△△RP A+△APQ=90°，
△△RP A=△QOC，
△MN∥AB，
△△ACQ=△BAC=90°，
△△QCP=△ACQ+△PCA=90°+45°=135°=△RAP，
在△RAP和△QCP中，
RAP QCP
AP CP
RPA QPC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
△△RAP△△QCP（ASA），
△PR=PQ，
故答案为：PQ ＝PR ；
CQ CR +=．
证明：作PE △PC 交AC 于点E ，
则△EPC ＝90°， △△EPQ+△QPC =90° △PR △PQ △△RPQ ＝90°， △△RPE +△EPQ =90°， △△RPE ＝△QPC ，
△△BAC ＝90°，AB ＝AC ，MN △AB
△△ABC ＝△ACB ＝45°，△ACM ＝△BAC ＝90° △△PEC ＝45°
△PE ＝PC ，△PER ＝△PCQ ＝135°， 在△REP 和△QCP 中，
REP QCP EP CP
RPE QPC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
△△PER △△PCQ （ASA ）， △ER ＝CQ ，
在Rt △CEP 中，cos △PEC ＝PC CE =
CE = 又△CE ER CR +=，
CQ CR +=．
（2）△△BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，
△
BC = △1
4
CP BC =
△11
44
CP BC =
=⨯ 当点Q 在CM 上时
CR CQ =+
当点Q 在CN 上时
证明：作PE △PC 交CN 于点E ， 则△EPC ＝90°， △△EPR+△RPC =90° △PR △PQ △△RPQ ＝90°， △△RPE +△EPQ =90°， △△RPC ＝△QPE ，
△△BAC ＝90°，AB ＝AC ，MN △AB
△△ABC ＝△ACB ＝45°=△BCQ ，△ACN ＝△ACB +△BCQ =90°=△BAC
△△PEC ＝45°
△PE ＝PC ，△PEQ ＝△PCR ＝135°， 在△QEP 和△RCP 中，
QEP RCP EP CP
QPE RPC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
△△QEP △△RCP （ASA ）， △EQ ＝CR ，
在Rt △CEP 中，cos △PEC
＝PC CE =
CE = 又△CR CE CR -=，
△CQ CR =．
=3CR CQ =
△CR 的长为5或1． 【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数，掌握等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数是解题关键．
18．（2021·广东广州·铁一中学）如图，90A ∠=︒，//AD BC ，点E 是AB 上的一点，且AE BC =，12∠=∠．求
证：ADE BEC △△≌
．
【答案】见解析 【分析】
根据等角对等边可得ED EC =，由此根据HL 证明Rt ADE △和Rt BEC △全等解答即可． 【详解】
证明：12∠=∠，
ED EC ∴=，
△90A ∠=︒，//AD BC ， △18090B A ∠=︒-=︒∠， 在Rt ADE △和Rt BEC △中，
AE BC ED EC
=⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)ADE BEC ∴△≌△．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
19．（2021·江苏高港区·高港实验学校九年级）如图，在正方形ABCD 中，F 为BC 为边上的定点，E 、G 分别是AB 、CD 边上的动点，AF 和EG 交于点H 且AF △EG ．
（1）求证：AF ＝EG ； （2）若AB ＝6，BF ＝2．
△若BE ＝3，求AG 的长；
△连结AG 、EF ，求AG ＋EF 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）
△【分析】
（1）过点G 作GM △AD 交AB 于点M ，则可得AD =MG ，然后证明△GME △△ABF 即可；
（2）△过点G 作GM △AD 交AB 于点M ，连接AG ，由（1）可得EM =BF =2，从而可求得AM ，在Rt △AMG 中由勾股定理即可求得AG 的长；
△过点F 作FP △EG ，FP =EG ，连接AP ,则易得GP =EF ，当A 、G 、P 三点共线时，AG +EF 最小，在Rt △AFP 中由勾股定理即可求得AP 的长即可． 【详解】
（1）过点G 作GM △AD 交AB 于点M △四边形ABCD 是正方形
△△BAD =△B =90゜，AB △CD ，AD =AB △△EMG =△BAD =△B =90゜ △AB △CD ，GM △AD
△四边形AMGD 是平行四边形 △△BAD =90゜
△四边形AMGD 是矩形 △MG =AD △MG =AB △AF △EG
△△AEH +△EAH =90゜ △△EAH +△AFB =90゜ △△AEH =△AFB 在△GME 和△ABF 中
EMG B AEH AFB MG AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
△△GME △△ABF (AAS ) △AF =EG
（2）△过点G作GM△AD交AB于点M，连接AG，如图
由（1）知，△GME△△ABF
△EM=BF=2
△AB=6，BE=3
△AE=AB－BE=3
△AM=AE－EM=1
在Rt△AMG中，GM=AD=6，由勾股定理得：
AG=
△过点F作FP△EG，FP=EG，连接AP,如图
则四边形EFPG是平行四边形
△GP=EF
△AG+GP≥GP
△当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小,最小值为线段AP的长△AF△EG，FP△EG
△FP△AF
在Rt△ABF中，由勾股定理得AF==
△AF=EG，EG=FP
△FP=AF=
在Rt△AFP中，由勾股定理得
AP=
所以AG+EF的最小值为
【点睛】
本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，灵活运用这些知识是解决的关键，确定AG+EF最小值是线段AP的长是难点．
20．（2021·杭州市丰潭中学九年级）如图，已知AB是△O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交△O于点D，连接AD．设△B＝α，△ADC＝β．
（1）求△BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；
（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．
【答案】（1）△BOD＝2α+2β；（2）AC（3）OC．
【分析】
（1）作辅助线OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可确定△DOB的值；
（2）分析△ACD中只有△D可能等于30°，得出△D的对应角为△B，根据相垂径定理可得出AC的长；（3）先根据比例中项得出a和b的关系式，再证明△ACD△△OCA，再得出AD和AC的关系式，两式联立即可求出AC、AD，从而求出OC．
【详解】
解：（1）连接AO，如图：
△OA ＝OD ，OA ＝OB ，△B ＝α，△ADC ＝β， △△OAD ＝△ADC ＝α，△OAB ＝△B ＝β，
△△BOD ＝2△DAB ＝2（△OAD +△OAB ）＝2α+2β； （2）△点C 不与A 、B 重合， △△DAC ＞30°，△ACD ＞30°， △△ACD △△OCB ， △△D ＝△B ＝α＝30°，
由（1）知△DOB ＝2（30°+30°）＝120°， △△BOC ＝60°， △△OCB ＝90°，
根据垂径定理知C 是AB 的中点，
△AC ＝BC ＝OB •cos 30°＝1=
（3）△α＝β， △△ADO =△ABO ， △OA =OD =OB ，
△△ADO =△OAD =△ABO =△OAB ， △△ADO △△ABO ，
△OA 是△DAC 的角平分线，
设AD ＝a ，AC =b ，AD 、AC 边上的高为h ， 则：112
S ah =
，212S bh =，3()1
2S a b h =-，
又△S 2是S 1和S 3的比例中项，
△2
213S S S =•，即211()()1222
bh ah a b h =•-，
化简得a 2﹣b 2＝ab △，
△α＝β， △△DOB ＝4α， △△DCB ＝3α， △△AOC ＝△DAC ＝2α， △△ACO ～△DCA ， △AO CO
A C A C D A C D ==， △
11b OC
a OC b
+==，
整理得：b
OC a
=，a 2b ＝a +b △， 联立△△得：
1a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
△OC
=
21．（2021·珠海市九洲中学九年级）如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线．
（1）利用尺规作出AC 的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AC 的垂直平分线分别与AB 、AC 、CD 交于点E 、O 、F ，求证：OE OF =． 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解 【分析】
（1）如图可得AC 的垂直平分线；
（2）由根据作图知，PQ 是AC 的垂直平分线，又由四边形ABCD 是平行四边形，易证得△AOE △△COF ，继而证得结论． 【详解】 解：（1）如图：
（2）证明：根据作图知，PQ 是AC 的垂直平分线， △OA ＝OC ，且EF △AC ， △四边形ABCD 是平行四边形， △AB △CD ， △△OAE ＝△OCF ， 在△OAE 和△OCF 中， OAE OCF OA OC
AOE COF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， △△AOE △△COF （ASA ）， △OE ＝OF ． 【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质与作法以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（2021·温州绣山中学九年级）如图，在△ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE △BD ，CF △BD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：EO ＝FO ；
（2）若AE ＝EF ＝4，求AC 的长．
【答案】（1）见解析；（2
） 【分析】
（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，△ABE =△CDF ，然后根据题意证明ABE CDF △≌△即可．
（2）根据OE =OF =1
2
EF 求出OE 的长度，然后根据勾股定理求出AO 的长度，即可根据平行四边形对角线
互相平分求出AC 的长度． 【详解】
（1）△四边形ABCD 是平行四边形， △AB =CD ，AB △CD ， △△ABE =△CDF ， △AE △ED ，CF △BD ， △△AEB =△CFD =90°， 在△ABE 和△CDF 中，
AEB CFD ABE CDF AB CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， △()ABE CDF AAS △≌△， △BE =DF ， △OB =OD ， △OB -BE =OD -DF ， △OE =OF ．
（2）△AE ＝EF ＝4， △OE =OF ＝1
22
EF =，
△在Rt AEO
中，AO =
△2AC AO == 【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理．
23．（2021·福建泉州五中）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ，求证：BE DF =．
【答案】见解析．
【分析】
根据平行四边形的性质可得AB ＝CD ，△B ＝△D ，然后利用AAS 定理证明△ABE △△CFD 可得BE ＝DF
【详解】 证明：四边形ABCD 是平行四边形，
AB CD ∴=，B D ∠=∠，
AE BC ⊥，CF AD ⊥，
90AEB CFD ∴∠=∠=︒
在ABE ∆和CDF ∆中，AEB CFD B D
AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABE CDF AAS ∴∆≅∆，
BE DF ∴=．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法．。