§5.2 平面向量基本定理及坐标表示

7 4
优解 由tan α=7,α∈ 0 , ,得 sin α= ,cos α= ,则cos(α+45°)=
5 2 5 2
1 3 2 × - × =- , · =1 × × =1, · =1 × × = , · 2 2 O A O C 5 O B O C 2 5 2 2 5 2 2
≤ × 4 9 1 .∴| | 的最大值为 (37+12)= B M . 3 7 1 2sin θ
2



6
4
4
4 9 4
2 疑难突破 本题的难点是如何找出| B M| 与变量之间的关系,突破之处 A P |=1⇒(x+ )23+y2=1,然后将坐标参数化,从而将问题转化为求 是抓住|
解析 由| |=| |=| | 及 · = · = · 得 DB ⊥ CA D A D A D B D B D C D C D A ,DC⊥ D B D C AB,DA⊥CB,且∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,∴△ABC为正三角形,设|
D A|=a,则a2cos 120°=-2⇒a=2⇒AC=2 ,如图建立平面直角坐标系 xOy, 3

则OC=3,
则A(- 3,0),B( ,0), M,C三点共线且M为PC的中 P M ⇒P 3 C(0,3).由 = M ,C
2 2 点,设P(x,y),由| A P |=1⇒(x+ ) 3+y =1,



1 ,根据平面向量基本定理,得xλ= 1 ,所以x2= ,1-x1 = ,所以 2 ,(1-x)μ= AC 3
3
3
3 λ
3 μ
2 μ ,当且仅当 λ 3 2λ=2 2 = 1 1 =1,所以λ+μ= 1 (λ+μ) 1 ≥ 2 + 3
λ 3 3 . 2 2 μ时等号成立,∴λ+μ的最小值为 2 3
P,M满足| |=1, | | 的最大 A P= ,则 PM BM A D B= D· B = M C D =-2, C D 动点 D C·










2


值是 ( B ) A. 解题导引
4 3 4
B.
4 9 4
C.
37 6 3 37 2 33 D. 4 4
3 λ
3 μ
3
λ
μ
μ
3
答案
3 2 3
2

2
7
1
1 5 2
1 O A O B 5
1
7
1
2 1 3 3 =1×1× = , 由 = m + n , 得 · = m + n · , 即 = m n O A O A O A O A O B O B O C O C 5 5 5 2 3 ①,同理可得 O A +n O1=B m+n②,联立①②,解得 O =Bm · O B ,即 O C· 5
点的坐标减去④ 始点 的坐标. 3.平面向量共线的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λb⇔⑤ x1y2-x2y1=0 .
方法技巧
方法 1 平面向量基本定理及其应用策略
O A O B O C
2 O A

பைடு நூலகம்


O C O C


O B
O A


O C

O B
2 asin θ+bcos θ= a sin( θ2 +φ)的最大值问题. b
方法 3 方程的思想方法
BD

C D

AM

A B AN


AC

解题导引
1 1 B + B D+ C=0, D , B D A B A+ D =A 解析 连接AD.因为2 D 所以 =B B C= BC 3 3 1 1 .因为D、M、N三点共线,所以存在x∈R,使 2 = )= + A B+ ( A B A B AC AC 3 3 3 2 Aμ B ,所以xλ A= B + A C A B A D=x +(1A D+(1-x) A M x) ,则 A C +(1-x)μ A N =xλ 3
7 1 7 yB),则xC=| 2 = ,yC=| |sin 2 ,即C . O C|cos α= × O C α= × = 5 2 5 5 2 5
1
O A+n ,O可得 B



5 1 3 m , 5 m n, 4 解得 所以 m + n = + =3. 5 5 4 n 7 , 7 4 n, 4 5 5



x 3 sin θ , x sin θ 3, 3 令 则 即P(sin θ- ,cos θ), y cos θ , y cos θ , sinθ 3 3co sθ ∴M , , 2 2 1 [(sin θ-3 )2+(3+cos θ)2]= 1 [37-(6 sin θ-6cos θ)]= 1 ∴| |2= BM 3 3 4 4 4

解题导引
解析 通解 以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
则A(1,0),由tan α=7,α∈ 0 , ,得 sin α= ,cos α= ,设C(xC,yC),B(xB,
2
7
1
5
2
5
2
1 7 , 5 5 1 1 1 1 1 3 又cos(α+45°)= × - 7× = ,sin( α+45°)= 7× + × = 1 5 2 5 2 2 2 5 2 2 5 2 5 2 4 3 4 3 4 , 则 x =| |cos( α +45 ° )= , y =| |· sin( α +45 ° )= , 即 B , 由 = m B O B B O B O C 5 , 5 5 5 5
3 5
5 5 7 m , 所以 m + n = + =3. 4 4 4 n 7 , 4
答案 3
方法 2 平面向量的坐标运算技巧
A B

方法 2 平面向量的坐标运算技巧
例2 (2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足| D |=| A D|=| B |,D C ·D A
知识清单
O A

O A

O A

向量 坐标
a (x1,y1)
b (x2,y2)
a +b (x1+x2,
a -b (x1-x2,
λa ③ (λx1,λy1)
y1+y2)
y1-y2)
2.向量坐标的求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 A B =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终