第六章 微分方程

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称之.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。 我们只学习常微分方程，有时把常微分方程简称为 微分方程。 另一种分类:
计算上述不定积分，得通解。
看 P160 例题1，2
练习：P161
1（1）（3）
2（1）（2）
第三节
齐次方程
dy y 1.定义 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x 课本P163的定义 y 2.解法 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du u x , dx dx du u x f ( u), 代入原式 dx du f ( u) u 可分离变量的方程 即 . dx x
2
x2
y ce 为所求通解.
2 y sin x cos x 1 y 例3 求微分方程
的满足初始条件 y x 1
2
的特解。
练习：求
y 2 x1 y 的通解。（2010年考题）
3、小结
分离变量法步骤: 分离变量;
两端积分-------隐式通解.
所求特解为 x A cos kt .
练习：P159
1
第二节 可分离变量的微分方程
1、可分离变量的微分方程的定义
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程.
dy 2 2 例如 2 x y y dy 2 x dx , dx

4 5
4 5
可分离变量方程的特点： 方程可以写成一边只是 x 的函数 和 dx，另一边只是
2
dx u 1 du , 分离变量得 x u
两边积分得 从而有
du u ux dx u 1
ln x u ln u ln c,
u
xu Ce ,
y y 用u 回代即得原方程的通解 y Ce x . x
第四节、一阶线性微分方程
dy 定义 形如 P( x) y Q( x) 的方程 ,称为一阶线性 dx 方程,其中 P( x), Q( x) 为已知函数. 课本P164-165的定义
C ( x)e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q( x) ，即C( x) Q( x)e .
将 C ( x) 代入 y C ( x )e
p( x ) dx dx C . 两边积分得 C ( x) Q( x)e
p( x ) dx
得通解为
ye
（1） 先求齐次线性方程的解
分离变量得
dy P( x)dx , y
两边积分得
ln | y | P( x)dx C1 ,
P ( x ) dx
即
y Ce
.
（2）常数变易法求非齐次线性方程的通解 P ( x )dx 令 y C ( x )e 为非齐次线性方程的解 , 代入非齐次线性方程得
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q( x)e dx C ]
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解
P ( x ) dx Q( x )e dx
非齐次方程特解
例1
1 求方程 y y ln x 的通解. x
当 f (u) u 0时, 得
即 x Ce
( u )
du ln C1 x , f ( u) u
,
（ ( u )
du ） f ( u) u
y ( ) x
y 得通解 x Ce , 将 u 代入, x 当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解 ,
一阶微分方程
高阶(n)微分方程
三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y , y y 0,
(2)特解:
通解 y ce ;

1 dx x
sin x x
1 dx e x dx
例3
3 求方程 x 2 y y 2x 2 的通解.
求方程 xy 2 y 3x 的通解. （2010年考题）
牢记 P166页公式（5）（6）
练习：P168
1 (1) (2)
2 (1) (2)
利用公式法求解
1 sin x 例2 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解：(公式法) P ( x ) , x x
ye C ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
y 0 ,
求积分得
所以
方程通解为 y Ce
ln y
1 2 x C1 , 2
1 x2 2
（ C 为任意常数）.
dy 例2 求解微分方程 2 xy 的通解. dx
解
dy 分离变量 2 xdx , y dy 2 xdx , 两端积分 y
求积分得
ln y x C1
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
例 求方程 y dx ( x xy)dy 0的通解.
2 2
dy y2 解：原方程可化为 dx xy x 2 上述右边分子分母同除以x2得
y 则 dy u x du , 令u ， dx dx x 2
代入上式得
y dy x dx y 1 x
1 y ( cos x C1 x C2 )dx sin x C1 x 2 C2 x C3 . 2 练习：P170 第1题 （1）（2）
2. y f ( x, y) 型的微分方程 .
方程的特点：方程右端不显含未知函数 y .
方 程 的 解 法 ： 令 y p ( x) , 则 y p( x) 代 入 方 程 得
例1 求 y ' xy 0 的通解．
解 方程变形为
dy xy , dx
dy xd x y
分离变量得
y 0 ,
两边积分得 求积分得
dy y xd x , 1 2 ln | y | x C1 , 2
1 x 2 C1 2
1 x2 2
所以 即
| y | e
e C1 e
Ce
1 x2 2
,
y eC1 e
方程通解为 y Ce
1 x2 2
(C eC1 ) ,
1 x2 2
（ C 为任意常数）.
例1 求 y ' xy 0 的通解．
解 方程变形为
dy dy xy ,分离变量得 xd x dx y dy 两边积分得 y xd x ,
x
通解 y c1 sin x c2 cos x;
确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件:
用来确定任意常数的条件.
初始条件： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件．
一阶常微方程的初始条件为 y ( x 0 ) y 0 , 其中 x 0 ，
y 0 是两个已知数.
即一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数的一 次幂，则称它为线性微分方程。
dy 当 Q( x) 0 时 , 有 P( x) y 0 称其为齐次线性方 dx 程； dy 当 Q ( x) 0 时 , 称 P( x) y Q( x) 为非齐次线性方 dx 程.
一阶线性微分方程的解法
即
p C1 x 1 ,也即
1 2ຫໍສະໝຸດ Baidu
y C1 x 1 .
所以 y
3 2 (C1 x 1) dx (C1 x 1) 2 C2 为所 3C1
求方程的通解.
3. y f ( y, y) 型的微分方程
方程的特点：右端不显含自变量 x .
方程的解法：求解这类方程可令 y p ( y ) 则 dy dp ( y ) dy dp y p , 复合函数的求导 dx dy dx dy dp p f ( y, p) . 于是,方程 y f ( y, y ) 可化为 dy
y x x0 y0
y0 , . y ( x 0 ) y 0
y ( x0 ) 二阶微分方程的初始条件为
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
例 3 验证:函数 x c1 cos kt c 2 sin kt 是微分
d2x 方程 2 k 2 x 0 的解. 并求满足初始条件 dt dx x t 0 A, 0 的特解. dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC2 cos kt , dt 2 d x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
y 的函数和 dy．
2 、可分离变量方程的解法：
（1） 分离变量： 将该方程化为等式一边只含变量 y ， 而另一边只含变量 x 的形式，即
dy f ( x ) d x 其中g ( y ) 0 g ( y)
（2）两边积分：

dy g ( y)

f ( x )dx
分离变量法
（3）计算上述不定积分，得通解.
y 2 xdx
其中 x 1时, y 2
即 y x2 C,
求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
二、微分方程的定义
微分方程:
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 . 例
2
y xy ,
y 2 y 3 y e x ,
( t x )dt xdx 0,
第五节、可降阶的高阶微分方程
1. y
(n)
f ( x) 型的微分方程
方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解.
例
求方程 y
( 3)
cos x 的通解 .
y cos xdx sin x C1 ,
解 因为 y ( 3) cos x ,所以
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2 ,
解 因为方程 2 xyy 1 ( y) 2 不显含未知函数 y,所 以令 y p ( x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方程,得
2 xpp 1 p 2 ,
分离变量得
2 pdp dx , 2 1 p x
两边积分 ln(1 p 2 ) ln x ln C1 ，得1 p 2 C1 x .
第一节 微分方程的基本概念
• 一、问题的提出 • 二、微分方程的定义 • 三、主要问题－－求方程的解
一、问题的提出
例 1 一曲 线通过 点 (1,2), 且在 该 曲线 上任一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y y( x )
dy 2x dx
k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解 .
x t 0 dx A, 0, dt t 0
C1 A, C2 0.
这是关于 y 和 p 的一阶微分方程,如能求出其解
dy p ( y , C1 ) ,则可由 ( y, C1 ) 求出原方程的解. dx
p ( x ) f ( x , p ( x ) ) .
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p ( x) 的一阶微 分方程, 若可以求出其通解 ( x, C1 ) , 则 y ( x, C1 ) 再积分一次就能得原方程的通解.
例
求方程 2 xy y 1 ( y ) 2 的通解.