鲁教版五四制九年级数学下册期末测试题及答案

一、选择题(本大题共12小题,共48分。

在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)
1.在某校艺体节的乒乓球比赛中,李东同学顺利进入总决赛,且个人技艺高超,有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”,对该同学的说法理解正确的是( C )
A.李东夺冠的可能性较小
B.李东和他的对手比赛10局时,他一定会赢8局
C.李东夺冠的可能性较大
D.李东肯定会赢
2.(2021崇明二模)已知同一平面内有☉O和点A与点B,如果☉O的半径为
3 cm,线段OA=5 cm,线段OB=3 cm,那么直线AB与☉O的位置关系为( D )
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
3.(2021东平一模)如图所示,AB为☉O的直径,点C为☉O上的一点,过点C 作☉O的切线,交直径AB的延长线于点 D.若∠A=23°,则∠D的度数是( B )
第3题图
A.23°
B.44°
C.46°
D.57°
4.小芳和小丽是乒乓球运动员,在一次比赛中,每人只允许报“双打”或“单打”中的一项,那么两人至少有一人报“单打”的概率为( D )
A.1
4B.1
3
C.1
2
D.3
4
5.如图所示,四边形ABDC是☉O的内接四边形,连接BO,CO,BC,若∠BOC=116°,则∠CDB的度数为( B )
第5题图
A.116°
B.122°
C.128°
D.112°
6.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外完全相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是( A )
A.4
9B.1
3
C.2
9
D.1
9
7.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则CD
⏜的长为( C )
第7题图
A.1
6π B.1
3π C.2
3π D.2√3
3π 8.(2021威海模拟)如图所示,正六边形ABCDEF 的边长为6,点O 为正六边形的中心,将半径为√3的☉M 在正六边形的内部沿边逆时针滚动,连接OM,过点M 作MP ⊥OM,并且OM=MP,连接OP,在☉M 滚动的过程中,△OMP 面积的最大值是( D )
第8题图
A.2√3
B.9
2
C.6
D.8
9.如图所示,用红、蓝两种颜色随机地对A,B,C 三个区域分别进行涂色,每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色,则A,C 两个区域所涂颜色不相同的概率为( C )
第9题图
A.1
4
B .1
3
C .1
2
D .2
3
10.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,∠B=60°,OP⊥AC于点P,OP=2√3,则
☉O的半径为( A )
第10题图
A.4√3
B.6√3
C.8
D.12
11.一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图所示的方式分别剪得
一个正方形,边长都为1,则扇形纸板和圆形纸板的面积比是( A )
第11题图
A.5∶4
B.5∶2
C.√5∶2
D.√5∶√2
12.(2021沂源一模)如图所示,在△ABC中,AB=CB,以AB为直径的☉O交AC
于点D.过点C作 CF∥AB,在CF上取一点E,使DE=CD,连接AE,BD,DE.对于
⏜=AD⏜;④AE为☉O的切线.其中正下列结论:①AD=DC;②△CBA∽△CDE;③BD
确的结论是( D )
第12题图
A.①②
B.①②③
C.①④
D.①②④
二、填空题(本大题共6小题,满分24分.只要求填写最后结果,每小题填对得4分)
13.(2021丹东期末改编)某班的一个数学兴趣小组为了了解本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况,每天利用放学时间进行调查,下表是该小组一个月内累计调查的结果,由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率约为0.97 .(精确到0.01)
14.两个圆的圆心都是O点,半径分别是2和6,若点P在小圆外且在大圆内,则OP的取值范围是2<OP<6 .
15.已知圆锥的底面半径是1,高是√15,则该圆锥的侧面展开图的圆心角是90°.
16.有三张正面分别写有数字-1,1,2的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面数字作为a的值,然后再从剩余的两张卡片随机抽一张,以其正面的数字作为b的值,则点(a,b)位于第二象限的概率为1
.
3
17.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AB是☉O的直径,点D在☉O 上,AD=OA=2,则图中阴影部分的面积为√3.
第17题图
18.如图所示,已知☉O的直径AB为4 cm,点C是☉O上的动点,点D是BC
.
的中点,AD的延长线交☉O于点E,则BE长度的最大值为4
3
第18题图
三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
19.(10分)(2021黄埔二模)如图所示,AB是☉O的直径,点C,D为☉O上的
⏜=CD⏜,AD交OC于点E.已知OE=3,EC=2.
点,满足:AC
(1)求弦AD的长;
(2)过点C作AB的平行线交弦AD于点F,求线段EF的长.
⏜=CD⏜,得CO⊥AD,AE=DE.
解:(1)由AC
在△AOE中,∠AEO=90°,OE=3,OA=OC=OE+CE=5,
得AE=√OA2-OE2=4,
∴AD=AE+DE=8.
(2)由CF ∥AB, 得EF AE =CE
OE .
则EF=
AE ·CE OE
=83
.
20.(10分)(2021建邺一模)2021年4月16日至5月16日,第十一届江苏省园艺博览会在南京举办,博览园有两个个人参观入口:西平门、东宁门,甲、乙、丙三人分别从这2个入口中随机选择1个进入. (1)求乙、丙两人都从西平门入园的概率;
(2)甲、乙、丙三人从同一个入口入园的概率是多少?
解:(1)乙、丙两人进入参观入口可能出现的结果有4种,即(西平门,东宁门)(西平门,西平门)(东宁门,西平门)(东宁门,东宁门),并且它们出现的可能性相等,乙、丙两人都从西平门入园的有1种,则乙、丙两人都从西平门入园的概率是1
4.
(2)用A 表示西平门,用B 表示东宁门,根据题意画图如图所示.
共有8种等可能的情况,其中甲、乙、丙三人从同一个入口入园的有2种, 则甲、乙、丙三人从同一个入口入园的概率是28=1
4.
21.(10分)(2020天津)在☉O 中,弦CD 与直径AB 相交于点P,∠ABC=63°. (1)如图①所示,若∠APC=100°,求∠BAD 和∠CDB 的大小;
(2)如图②所示,若CD⊥AB,过点D作☉O的切线,与AB的延长线相交于点E,求∠E的大小.
解:(1)∵∠APC是△PBC的一个外角,
∴∠C=∠APC-∠ABC=100°-63°=37°.
由圆周角定理,得∠BAD=∠C=37°,∠ADC=∠ABC=63°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-63°=27°.
(2)如图所示,连接OD.
∵CD⊥AB,
∴∠CPB=90°.
∴∠PCB=90°-∠ABC=90°-63°=27°.
∵DE是☉O的切线,
∴DE⊥OD.
∴∠ODE=90°.
∵∠BOD=2∠PCB=54°,
∴∠E=90°-∠BOD=90°-54°=36°.
22.(12分)如图所示,三个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并涂上图中所示的颜色,转盘转到每部分的机会均等.
小强和小亮用转盘A和转盘B做一个转盘游戏:同时转动两个转盘,若转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,或者转盘A转出了蓝色,转盘B转出了红色,则红色和蓝色在一起配成了紫色,这种情况下小强获胜;若两个转盘转出的颜色相同,则小亮获胜;在其他情况下,小强和小亮不分胜负.
(1)利用树状图或表格表示此游戏所有可能出现的结果.
(2)小强说,此游戏不公平.请你说明理由.
(3)请你在转盘C的空白处,涂上适当颜色,使得用转盘C替换转盘B后,使游戏对小强和小亮是公平的.(只需在空白处填写表示颜色的文字即可,不要求说明理由)
解:(1)画树状图如图所示.
共有15种等可能出现的结果.
(2)∵配成紫色的有3种情况,两个转盘转出的颜色相同的有4种情况,
∴P(小强获胜)=315=1
5,
P(小亮获胜)=4
15
.
∵P(小强获胜)≠P(小亮获胜), ∴此游戏不公平. (3)答案不唯一,合理即可.
如图所示,此时P(小强获胜)=P(小亮获胜)=1
5.
故此游戏对小强和小亮是公平的.
23.(10分)如图所示,AB 是☉O 的直径,点C 是☉O 上一点,∠CAB 的平分线AD 交BC
⏜于点D,过点D 作DE ∥BC 交AC 的延长线于点E. (1)求证:DE 是☉O 的切线.
(2)过点D 作DF ⊥AB 于点F,连接BD.若OF=1,BF=2,求BD 的长度.
(1)证明:如图所示,连接OD,∵OA=OD.
∴∠OAD=∠ADO.
∵AD平分∠CAB,∴∠DAE=∠OAD,
∴∠ADO=∠DAE,∴OD∥AE.
∵AB为直径,∴∠ACB=90°.
∵DE∥BC,∴∠E=∠ACB=90°,
∴∠ODE=180°-∠E=90°,∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线. (2)解:∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵OF=1,BF=2,∴OB=3,
∴AF=4,BA=6.
∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°,∴∠ADB=∠DFB. ∵∠DBF=∠ABD,∴△DBF∽△ABD,
∴BD
BA =BF BD
,
∴BD2=BF·BA=2×6=12,
∴BD=2√3.
24.(12分)如图所示,∠BPD=120°,点A,C分别在射线PB,PD上,∠PAC= 30°,AC=2√3.
(1)用尺规在图中作圆,使得它在A,C两点分别与射线PB和PD相切.要求:写出作法,并保留作图痕迹.
(2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明.
⏜与线段PA,PC围成的封闭图形的面积.
(3)求所得的劣弧AC
解:(1)如图所示.作法如下:
①过点A作PB的垂线AN;
②作∠BPD的平分线PM,与AN交于点O;
③以点O为圆心,OA为半径作☉O,则☉O即为所求作的圆.
(2)已知:如图所示,∠BPD=120°,点A,C分别在射线PB,PD上,∠PAC= 30°,AC=2√3,过点A作PB的垂线AN,作∠BPD的平分线PM,它们相交于点O,以点O为圆心,OA的长为半径作☉O.
求证:PB,PD为☉O的切线.
证明:由已知,得OA⊥PB于点A,点A在☉O上,∴PB是☉O的切线.
如图所示,连接OC,
∵∠BPD=120°,∠PAC=30°,
∴∠PCA=30°,∴PA=PC.
∵OP平分∠BPD,∴∠APO=∠CPO.
又∵PO=PO.
∴△PAO≌△PCO(SAS).
∴∠PCO=∠PAO=90°,OA=OC.
∴PD 为☉O 的切线.
(3)∵∠OAC=∠OCA=90°-30°=60°,
∴△OAC 为等边三角形.
∴OA=AC=2√3,∠AOC=60°.
∵∠APO=∠CPO,∴∠APO=∠CPO=
120°2=60°. ∴AP=√33×2√3=2.
∴劣弧AC
⏜与线段PA,PC 围成的封闭图形的面积为 S 四边形APCO -S 扇形AOC =2×12×2√3×2-60·π·(2√3)2360=4√3-2π.
25.(14分)如图所示,在☉O 中,半径OD ⊥直径AB,CD 与☉O 相切于点D,连接AC 交☉O 于点E,交OD 于点G,连接CB 并延长交☉O 于点F,连接AD,EF,BD.
(1)求证:∠ACD=∠F;
(2)若tan ∠F=13, ①求证:四边形ABCD 是平行四边形;
②连接DE,当☉O 的半径为3时,求DE 的长.
(1)证明:∵CD 与☉O 相切于点D,∴OD ⊥CD.
∵半径OD ⊥直径AB,∴AB ∥CD,
∴∠ACD=∠CAB.
∵∠EAB=∠F,∴∠ACD=∠F.
(2)①证明:∵∠ACD=∠CAB=∠F,
∴tan ∠GCD=tan ∠GAO=tan ∠F=13. 设☉O 的半径为r,
在Rt △AOG 中,tan ∠GAO=OG OA =13, ∴OG=13r, ∴DG=r-13r=23r. 在Rt △DGC 中,tan ∠DCG=
DG CD =13,
∴CD=3DG=2r,
∴DC=AB.
而DC ∥AB, ∴四边形ABCD 是平行四边形.
②解:延长DO 交☉O 于点H,连接HE,如图所示,则OG=1,AG=√12+32=√10, CD=6,DG=2,CG=√22+62=2√10.
∵DH 为直径,∴∠HED=90°,
∴∠H+∠HDE=90°.
∵DH ⊥DC,∴∠CDE+∠HDE=90°,
∴∠H=∠CDE.
∵∠H=∠DAE,∴∠CDE=∠DAC,
而∠DCE=∠ACD,∴△CDE∽△CAD,
∴CD
CA =DE
DA
,即
3√10
=
3√2
,
∴DE=6√5
5
.。