(完整word)七年级数学思维拓展训练校本教材

七年级上数学思维拓展训练
第一章兴趣数学
七桥问题（一笔画问题）
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。

如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。

当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。

他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线
只画一次不准重复），并且最后返回起点？
欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。

这就是说，七桥问题是无解的。

这个结论是如何产生呢？
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。

如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。

因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，
那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

一笔画：
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。

(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。

)
练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。

（不走重复线路）图例1
图例2
图例3
图例4
第二章 绝对值
知识回顾：
绝对值的意义
（1） 代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的
绝对值是0.
（2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。

1、绝对值的常用性质：
⑴非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
⑵双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|＝a ﹙a ＞0﹚则x ＝±a.
⑶|－a|＝|a| ⑷|a|≥a ⑸(|a|)²＝|a ²|﹦a ²
⑹|ab|﹦|a|•|b| ⑺|b
a b a =﹙b ≠0﹚ 解题技巧： 解答绝对值问题，常用的思维方法有：
1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论。

2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。

3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用。

☆教学过程：
★ 一.求未知数
例1：若5a =，则a = 。

若0a =，则a =
思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？ 变式1:若9x =-，则x = ； 若()2.8x =--，则x = ； 若2x -=-，则x = ；
变式2：25x -=若，则x = 若21 3.5x -=，则x = 。

★ 二.非负数的性质应用
例2：若320a b ++-=，则a b += 。

思考提示：两个最小是0的数加在一起等于0说明什么呢？
变式：1：非负数类型玩花样：若()2120a b -++=，则()2009a b += 。

变式：2：变量个数不断增加：若3150x y z +++++=，则x y z --= 。

总结：若干非负数之和为0， 。

★ 三.数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b -
例3．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .
（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为 ________________.
（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.
（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .
（5）若1232008x x x x -+-+-++-L 的值为常数，试求x 的取值范围．
★ 四.绝对值的最值问题
例4.（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，
25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值。

（4）求987-+-+-x x x 的最小值。

（2）当b 为______时，5-12-b 有最大值，最大值是_______
当a 为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.
（3） 已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．
（4） 利用数轴分析23x x -++，可以看出，这个式子表示的是x 到2的距离与x 到3
-的距离之和，它表示两条线段相加：⑴当x > 时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大；⑵当x < 时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越来越大；⑶当 x ≤≤ 时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。

因此，总结，23x x -++有最小值 ，即等于 到 的距离
（5） 利用数轴分析71x x +--，这个式子表示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之
差它表示两条线段相减：⑴当x ≤ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ；⑵当x ≥ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ；
⑶当 x << 时，随着x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子71x x +--当x 时，有最大值 ；当x 时，有最小值 ；
★ 五.含未知数的绝对值的化简（学习去绝对值符号法则）
例5：阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道()()()
0000
<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）。

在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当1-<x 时，原式=()()1221+-=--+-x x x ;
（2）当21<≤-x 时，原式=()321=--+x x ；
（3）当2≥x 时，原式=1221-=-++x x x 。

综上讨论，原式=()()()
2211123
12≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1） 先分别求出2+x 和4-x 的零点值，再化简42-++x x
（2） 已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

（3） 如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，求x 的取值范围。

【课后练习】
3．若实数x 、y 满足2002(x 一1)2 1122013+--=y x ，则=+22y x ．
4. 若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．
A ．b a >
B ．b a =
C ．b a <
D ．b a ≥
5.若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

6.先求零点值，再化简｜3x+1｜+｜2x-1｜．
7.当a 为_____时，3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______.
8.
11-++x x 的最小值是（ ） A ． 2 B ．0 C ．1 D ．-1
★★★9. ⑴求当x 取何值时，1232013x x x x -+-+-++-L 有最小值，最小值是多少。

⑵求当x 取何值时，1232012x x x x -+-+-++-L 有最小值，最小值是多少。

第三章 整式的加减
【典型例题】
★类型一：整体代入法
例1、若代数式7322++y y 的值是2，求代数式9642-+y y 的值。

例2、 设m 和n 均不为零, 233x y 和2235m n x y ++-是同类项, 求3223
3223
339______________.5369m m n mn n m m n mn n -++=+-+ 例3、当5-=x 时，代数式c bx ax ++24的值是3，求当5=x 时，代数式c bx ax ++24的
值.例4、 设()537-++=cx bx ax x f ，其中a 、b 、c 为常数，已知()77=-f ，求()7f 的值.
例4、已知多项式c bx ax x +++23中，c b a ,,为常数，
当1=x 时，多项式的值是1；当2=x 时。

多项式的值是2.若x 是8和5-时，多项式的值分别是M 、N ,求N M -的值。

★类型二：降次法
例5、（1999年北京竞赛题）若133=-x x ，求代数式199973129234+--+x x x x 的值。

变式练习、若=+++=-+1855,013232x x x x x 则___________。

例6、已知a 为有理数，且0123=+++a a a ，求代数式19954321a a a a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++的值.
1、如果代数式13
22+-x x 的值为2，求代数式3322--x x 的值。

2、已知012=-+x x ，求代数式()()15232++-x x 的值。

3、（16届希望杯数学竞赛题）已知,322=+x x 求代数式151387234+-++x x x x 的值。

4、如果,012=-+x x 求代数式723-+-x x 的值。

5、已知代数式c bx ax ++3，当0=x 时的值为2；当3=x 时的值为1，求当3-=x 时，代数式的值。

6、当时2=x ，代数式13+-bx ax 的值等于17-，那么当1-=x 时，代数式53123--bx ax 的值是多少？
7、如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，
x x x x x P 10191413121-+-++-+-+-=Λ的值恒为一个常数。

请求出这个常数。

第四章动点专题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想数形结合思想转化思想
1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B 之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．
（1）求线段AB的长．
（2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．
（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．
2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）PA= _________ ；PB= _________ （用含x的式子表示）
（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、
OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．
3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，
AB=14．
（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；
（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①
的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．
4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D 点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN
的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200．
（1）若BC=300，求点A对应的数；
（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；
（3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度
每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．
6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF=2，则BE= _________ ，若CF=m，BE与CF的数量关系是
（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？
若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM 上）
（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM= _________ AB．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．
8．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_________ ；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？
9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A
出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数_________ ，点P表示的数_________ 用含t的代数式表示）；
（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R 同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；
10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数_________ ，点P表示的数_________ （用含t的代数式表示）；
②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；
（2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出
发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？。