2024年中考数学临考押题卷02(成都卷)(全解全析)-备战2024年中考数学临考题号押题

2024年中考数学临考押题卷（成都卷）02
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

A 卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．
（2024·江苏南京·一模）实数a 在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（）
A ．2a
B ．
1
a
C ．1a -
D ．2
a +【答案】D
【分析】本题考查了数轴，以及有理数四则运算法则．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
由数轴得出21a -<<-且12a <<，再根据有理数的加减运算法则逐一判断即可得．【详解】解：由数轴知21a -<<-且12a <<，则20a <是负数，
1
a
是负数，1a -是负数，2a +是正数，故选：D ．2．
（2024·海南省直辖县级单位·一模）今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：“尔滨，你让我感到陌生！”因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元且小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“5914000000”用科学记数法表示为（）
A ．115.91410⨯
B ．100.591410⨯
C ．105.91410⨯
D ．9
5.91410⨯【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．【详解】解：95914000000 5.91410=⨯，故选：D ．3．（2024·河南·模拟预测）下列运算结果正确的是（）A ．230·x x x =B ．336
235x x x +=C ．()3
26
26x x =D ．()()2
232349x x x
+-=-【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，平方差公式对各选项进行判断作答即可．【详解】解：选项A 中2350·x x x x =≠，故不符合要求；
选项B 中33362355x x x x +=≠，故不符合要求；选项C 中()3
266286x x x =≠，故不符合要求；选项D 中()()2
232349x x x +-=-，故符合要求；故选：D ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，平方差公式．熟练掌握同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，平方差公式是解题的关键．
4．
（2024·广东潮州·一模）某校为了解学生的课外阅读情况，随机调查了10名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据结果（见图），根据此图可知这10名学生这一天各自课外阅读所用时间组成样本的众数和中位数分别是（
）
A ．0.5，0.5
B ．0.5，0.75
C ．1.0，0.5
D ．1.0，0.75
【答案】B
【分析】本题考查了众数、中位数平均数、极差的定义，理解“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．【详解】解：由统计图得中间两个数是0.5和1.0，∴中位数是()1
0.5 1.00.752
+=；出现次数最多是数据是0.5，∴众数是0.5；故选：B ．
5．（2024·河北石家庄·模拟预测）为测量一池塘两端A ，B 间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同
的方案．
甲：如图1，先过点B 作AB 的垂线BF ，再在射线BF 上取C ，D 两点，使BC CD =，接着过点D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于点E ．则测出DE 的长即为A ，B 间的距离；
乙：如图2，先确定直线AB ，过点B 作射线BE ，在射线BE 上找可直接到达点A 的点D ，连接DA ，作DC DA =，交直线AB 于点C ，则测出BC 的长即为AB 间的距离，则下列判断正确的是（
）
A ．只有甲同学的方案可行
B ．只有乙同学的方案可行
C ．甲、乙同学的方案均可行
D ．甲、乙同学的方案均不可行
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质分别证明，即可判断可行性．【详解】解：甲：由题意得，AB BC ⊥，DE CD ⊥，90ABC EDC ∴∠=∠=︒，
在ABC 和EDC △中，ACB ECD
BC DC ABC EDC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)ABC EDC ∴≌△△，
AB ED ∴=；∴测出DE 的长即为A ，B 间的距离；
乙：已知DC DA =，BD BD =，不能判定ABD △和CBD △能全等，
AB BC ∴≠；∴测出BC 的长不一定为A ，B 间的距离，∴只有甲同学的方案可行，故选：A ．
6．
（2023·贵州贵阳·模拟预测）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？小红是这样想的：设有x 人，物品价值y 元，她先列了一个方程83x y -=，请你帮她再列出另一个方程（）
A ．47x y +=
B ．47x y -=
C ．74x y
+=D ．74x y
-=【答案】C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得等量关系：人数×8−3＝物品价值；人数×7＋4＝物品价值，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设有x 人，物品价值y 元，由题意得：74x y +=故选：C ．
7．（2024·四川广安·模拟预测）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于O ，则:AD AB =（）
A ．223
B 23
C 32
D 322
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键；过点O 作OM BC ⊥，ON AD ⊥，设圆的半径为r ，根据垂径定理可得OBM 与ODN △是直角三角形，根据三角函数值计算求解即可．
【详解】解：如图，过点O 作OM BC ⊥，ON AD ⊥，设圆的半径为r ，
∴OBM 与ODN △是直角三角形，OD OB r ==，∵等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于O ，∴30OBM ∠=︒，45ODN DON ∠=∠=︒，∴2tan452DN OD r =装=，3
cos302
BM OB r =装=，∴22AD DN r ==
，23BC BM r ==，∴:2:32:3AD AB r r ==，故选：B ．
8．（2024·广东·一模）二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的y 与x 的部分对应值如下表：
x 1
-013y
1.5
-2
-0
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①<0abc ；②二次函数²y ax bx c =++可改写为()2
12y a x =--的形式
③关于x 的一元二次方程2 1.5ax bx c ++=-的根为120,2x x ==；④若0y >，则3x >⑤当2x ≥时，y 有最小值是 1.5-；其中所有正确结论的序号是（）
A ．①②④
B ．②③⑤
C ．①③⑤
D ．②③④⑤
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，开口方向与y 轴的交点坐标，判断①②，对称性以及抛物线与一元二次方程的关系，判断③，增减性，判断④⑤，解题的关键是确定抛物线的对称轴．
【详解】解：由表格可知：=1x -和3x =的函数值相同，∴抛物线的对称轴为直线：13
12
x -+=
=，∴顶点坐标为：()1,2-；当0x =时， 1.50y c ==-<，在对称轴的左边y 随着x 的增大而减小，在对称轴右边y 随着x 的增大而增大，∴抛物线的开口向上，∴0a >，∵对称轴为直线102b
x a
=-
=>，∴0b <，∴0abc >，故①错误，∵顶点坐标为()1,2-，∴二次函数²y ax bx c =++可改写为()2
12y a x =--的形式；故②正确；
∵当0x =时，15y =-.
，对称轴为1x =，∴当2x =时，15y =-.，∴关于x 的一元二次方程2 1.5ax bx c ++=-的根为120,2x x ==；故③正确；
∵=1x -时0y =，3x =时，0y =，在对称轴的左边y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随着x 的增大而增大，∴若0y >，则3x >或1x <-，故④错误；
当2x ≥时，y 随着x 的增大而增大，∴当2x =时，y 有最小值是 1.5-；故⑤正确；故选B ．
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．
（2024·广东广州·一模）分解因式：22a a -=．
【答案】()
2a a -【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式a 即可求解．【详解】解：22a a -=()2a a -，故答案为：()2a a -．
10．（2024·湖南株洲·一模）反比例函数6
y x
=-的图象与直线()0y kx k =<相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，
则1221x y x y +的值是．
【答案】12
【分析】反比例函数6
y x =-图象与正比例函数()0y kx k =<图象的两交点坐标关于原点对称，依此可得
12x x =-，12y y =-，依此关系即可求解，本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，知道正比例函
数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称是解题的关键．
【详解】解：∵()11,A x y ，()22,B x y 两点关于原点对称，∴12x x =-，12y y =-，将()11,A x y ，()22,B x y 代入6
y x
=-，得：116x y =-，226x y =-，
∴122111226612x y x y x y x y +=--=+=，故答案为：12．
11．
（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系中，点()3,0A 关于直线y x =对称的点A '的坐标为．
【答案】()
0,3【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的判定与性质，过A 作AB x ⊥轴，交直线y x =于B ，过B 作BC y ⊥轴于C ，证明四边形OABC 是正方形，可得出A 、C 关于直线y x =对称，即可求解．【详解】解：过A 作AB x ⊥轴，交直线y x =于B ，过B 作BC y ⊥轴于C ，
∵()3,0A ，∴3AO =，把3x =代入y x =，得3y =，∴()3,3B ，∴3BC BA OC AO ====，∴四边形OABC 是菱形，()
0,3C 又AB x ⊥轴，∴菱形OABC 是正方形，∴A 、C 关于OB 对称，即A 、C 关于直线y x =对称，∴点()3,0A 关于直线y x =对称的点A '的坐标为()0,3，故答案为：()0,3．
12．
（2024·陕西咸阳·二模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AB 上一点，连接BD ，EF 相交于点G ．若9cm AB =，且1
3
BF AB =， 4.5cm BG =，则BD 的长为
cm
【答案】22.5
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理；延长FE 交DC 的延长线于点H ，由题意可证明 ≌BFE CHE ，即可得CH 的长；由平行线分线段成比例定理可求得DG ，进而求得BD ．构造辅助线得到全等三角形，进而利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：如图，延长FE 交DC 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，
9cm CD AB ∴==，CD AB ∥，EBF ECH ∠∠∴=，BFE CHE ∠∠=．∵点E 是BC 的中点，BE CE ∴=．
在BFE △和CHE 中，BFE CHE
EBF ECH BE CE
∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩，BFE CHE ∴≌△△（AAS ），13cm 3CH BF AB ∴===，
C D A B ∥ ，BG BF DG DH ∴
=，即4.53
93
DG =+，18cm DG ∴=，22.5cm BD BG DG ∴=+=．13．（2023·四川成都·统考一模）如图，在ABC 中，AB 6=，按以下步骤作图，①以点C 为圆心，以适
当的长为半径作弧，交CB 于点D ，交CA 于点E ，连接DE ；②以点B 为圆心，以CD 长为半径作弧，交BA 于点F ；③以点F 为圆心，以DE 的长为半径作弧，在ABC 内与前一条弧相交于点G ；④连接BG 并延长交AC 于点H ，若H 恰好为AC 的中点，则AC 的长为
．
【答案】23
【分析】连接FG ，如图所示，先证明()SSS BFG CDE △≌△得到ABH ACB =∠∠，进一步证明ABH ACB ∽得到
AH AB
AB AC
=，再由H 是AC 的中点，得到2AC AH =，由此即可得到答案．【详解】解：连接FG ，如图所示，由题意得BF BG CD CE FG DE ====，，∴()SSS BFG CDE △≌△，∴ABH ACB =∠∠，又∵A A ∠=∠，∴ABH ACB ∽，∴
AH AB
AB AC
=，∵H 是AC 的中点，∴2AC AH =，∴222AH AB =，∴3AH =，∴223AC AH ==，故答案为：23．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，证明()SSS BFG CDE △≌△得到ABH ACB =∠∠，进一步证明ABH ACB ∽是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共48分.其中：14题12分，15-16题每题8分，17-18题每题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）计算与化简：(1)(
)
1
18sin 45212-⎛⎫⨯︒+-
- ⎪⎝⎭
；(2)解不等式组：()112
3121x
x x +⎧≤⎪
⎨⎪-<+⎩
．【答案】(1)3(2)1
x ≤【分析】（1）先分别求算术平方根，特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，零指数幂，然后进行乘法运算、最后进行加减运算即可；（2）先分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．【详解】（1）解：(
)
1
18sin 4521
2-⎛⎫⨯︒+-
- ⎪⎝⎭
2
22212
=⨯
+-3=；
（2）解：()1123121x
x x +⎧≤⎪
⎨⎪-<+⎩
，
112x
+≤，12x +≤，
解得，1x ≤；()3121x x -<+，
3321x x -<+，
解得，4x <；
∴不等式组的解集为1x ≤．
【点睛】本题考查了算术平方根，特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，零指数幂，解一元一次不等式组．熟练掌握特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，解一元一次不等式组是解题的关键．
15．（2024.浙江中考模拟预测）立定跳远是一项有益身心的运动，它能够锻炼我们的各项身体素质，让我们的身体更加健康和灵活，初中生立定跳远也是中考体育中的一项．某校为了解初三学生立定跳远的情况，对初三学生进行立定跳远水平测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩，将结果绘制成如下不完整的统计图表．
学生立定跳远测试成绩分布表成绩x （m ）
频数频率1.2 1.4x ≤<8
0.161.4 1.6x ≤<m
0.241.6 1.8x ≤<160.321.8 2.0x ≤<100.22.0 2.2
x ≤<4
0.08
根据以上信息，解答下列问题：(1)抽取的学生人数为______名，补全频数分布直方图；(2)若以每组成绩的组中值（如1.2 1.4x ≤<的组中值为1.3）为该组成绩的平均成绩，求所抽取学生立定跳远的平均成绩；(3)若该校初三年级共有600名学生，请你估计该校初三学生中立定跳远成绩不低于1.6m 的学生人数．【答案】(1)50，补全频数分布直方图见详解(2)1.66(3)360
【分析】本题考查频数分布表，频数分布直方图，由样本估计总体，求平均数．
（1）由分布表的第一组数的频数和频率可求所抽取的人数，由所抽取的人数算出m 的值即可补全频数分布直方图；（2）先找出每组数据的组中值，再计算即可；
（3）先求出所抽取学生中立定跳远成绩不低于1.6m 的占比，再估算即可．【详解】（1）解：由表格第一组数据得抽取的学生人数为80.1650÷=（名）
500.2412
m ∴=⨯=补全频数分布直方图如下：
（2）根据题意，所抽取学生立定跳远的平均成绩为1
(1.38 1.512 1.716 1.910 2.14) 1.6650
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3） 所抽取学生中立定跳远成绩不低于1.6m 的占比为
16104
100%60%50
++⨯=∴估计该校初三学生中立定跳远成绩不低于1.6m 的学生人数为60060%360⨯=（名）．
16．
（2024·成都·模拟预测）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点D ，B ，O 在同一直线上，DO 可绕着点O 旋转，AB 为云梯的液压杆，点O ，A ，C 在同一水平线上，其中BD 可伸缩，套管OB 的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆3m AB =，53BAC ∠=︒，37DOC ∠=︒．
(1)求BO 的长．(2)消防人员在云梯末端点D 高空作业时，将BD 伸长到最大长度6m ，云梯DO 绕着点O 按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m ，求云梯OD 大约旋转了多少度．（参考数据：3sin 375︒≈
，3
tan 374︒≈，sin 5345
︒≈，tan 5343︒≈，sin 670.92︒≈，cos670.39︒≈）
【答案】(1)4m OB =(2)30︒
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；（2）求出旋转前点D 的高度DF ，进而求出旋转后点D ¢的高度D G '，再根据锐角三角函数的定义求出D OG '∠的大小
即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点B作BE OC
⊥于点E，
在Rt ABE
△中533m
BAC AB
∠=︒=
，，，∴
412
sin3sin533
55
BE AB BAE
=⋅∠=⨯︒≈⨯=，
在Rt BOE
中，37
BOE
∠=︒，
12
5
BE=，∵sin BE
BOE
OB
∠=，∴
12
54
3
sin
5
BE
OB
BOE
===
∠
．答：4m
OB=．（2）解：如图，过点D作DF OC
⊥于点F，旋转后点D的对应点为D¢，过点D¢作D G OC
'⊥于点G，过点D作DH D G'
⊥于点H，
在Rt FOD
△中，461037
OD OB BD DOF
=+=+=∠=︒
，，
∴
3
sin37106m
5
DF OD
=⋅︒≈⨯=，∴ 3.269.2m
D G D H HG
''
=+=+=，
在Rt D OG
'
中，10m,9.2m
OD D G
''
==,∴
9.2
sin0.92
10
D G
D OG
D O
'
'
∠===
'
，
∴67
D OG
'
∠≈︒，∴673730
D OD
'
∠=︒-︒=︒，即云梯OD大约旋转了30︒．
17．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知ABC
内接于O
，若60
BAC
∠=︒，AD平分BAC
∠交O
于D，交BC于点E．(1)求证：2
BD AD DE
=⋅；(2)若43,63
AB AC
==AD、DE的长．
【答案】(1)见解析(2)10, 2.8
AD DE
==
【分析】（1）先证CBD BAD
∠=∠，然后根据两角对应相等的两个三角形相似判定DBE DAB
∽，进而根据相似三角形的性质可得出结论；（2）设O
的圆心为点O，连接OD交BC于H，过点B作BF AD
∥交CA 的延长线于F，先证OD BC
⊥及OBD
为等边三角形，从而得,
BD OD OH DH
==，BH CH
=，设
OH DH k ==，则2BD k =，3BH k =，23BC k =，再证43AF AB ==，由BF AD ∥得:2:3BE CE =，于是可设2,3BE a CE a ==，则523BC a k ==，从而得235
k a =，则435k BE =，635k CE =，然后由（1）得DBE DAB ∽，
据此由相似三角形的性质得10AD =，最后设DE x =，则10AE x =-，由（1）的结论得2 2.5k x =，再证ACE BDE ∽△△，可得DE AE BE CE ⋅=⋅，据此即可求出x ，进而得DE 的长．
【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，
CBD CAD ∠=∠ ，CBD BAD ∴∠=∠，
BDE ADB ∠=∠ ，DBE DAB ∴ ∽，::BD AD DE BD ∴=，2BD AD DE ∴=⋅；
（2）解：设O 的圆心为点O ，连接OD 交BC 于H ，过点B 作BF AD ∥交CA 的延长线于F ，
60BAC ∠=︒ ，AD 平分BAC ∠，30BAD CAD ∴∠=∠=︒，
BD
CD ∴=，260O BAD ∴∠=∠=︒，OD BC ⊥，,2BH CH BC BH ∴==，OB OD = ，OBD ∴△为等边三角形，,BD OD OH DH ∴==，
设OH DH k ==，则2BD k =，由勾股定理得：223BH BD DH k =-=，223BC BH k ∴==，
,30,BF AD BAD CAD ∠=∠=︒∥ 30,30,
F CAD ABF BAD ∴∠=∠=︒∠=∠=︒30F ABF ∴∠=∠=︒，43AF AB ∴==，BF AD ∥ ，::AF AC BE CE ∴=，:43:632:3BE CE ∴==，∴可设2,3BE a CE a ==，5BC BE CE a ∴=+=，
523a k ∴=，即235
k a =，4325k BE a ∴==，6335k CE a ==，由（1）得：DBE DAB ∽，::BD AD BE AC ∴=，即432::435
k k AD =，10AD ∴=，设DE x =，则10AE AD DE x =-=-，由（1）的结论得：2BD AD DE =⋅，即：()2210k x =，2 2.5k x ∴=，
,DBC DAC C ADB ∠=∠∠=∠ ，ACE BDE ∴ ∽，AE CE BE DE
∴=，DE AE BE CE ∴⋅=⋅，∴2436372(10)5525
k k x x k -=⋅=，将2 2.5k x =代入上式得：72(10) 2.57.225x x x x -=⨯=，0x ≠ ，107.2x ∴-=， 2.8x ∴=， 2.8DE ∴=．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的判定及性质，圆周角与圆心角之间的关系；解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质，垂径定理．
18．（2024·江苏淮安·中考模拟预测）如图，点P 是y 轴正半轴上的一个动点，过点P 作y 轴的垂线l ，与反比例函数4y x
=-的图象交于点A ．把直线l 上方的反比例函数图象沿着直线l 翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“4y x =-的l 镜像”．(1)当OP ＝3时：①点M 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭“4y x =-的l 镜像”；（填“在”或“不在”）②“4y x
=-的l 镜像”与x 轴交点坐标是；(2)过y 轴上的点Q ()0,1-作y 轴垂线，与“4y x
=-的l 镜像”交于点B 、C ，点B 在点C 左侧．若点Q 把线段BC 划分成2:1的两部分，求OP 的长．(3)如果改变翻折方式，将反比例函数()40y x x
=-<的图象沿直线5y x =+翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线5y kx =+与此封闭图形有交点，则k 的范围是．
【答案】(1)在；2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
(2)12OP =(3)16252516k ≤≤【分析】（1）①当12
x =-时，48y x =-=，该点为：1(2-，8)，则点1(2-，8)关于直线AP 的对称点坐标为：1(2-，2)-，即可求解；②当3y =时，关于OP 的对称点的y 值为6，则46x =-
，则23x =-，即可求解；（2）当1y =-时，则4
1x -=-，解得：4x =，即点(4,1)C -，即4CQ =，则2BQ =，进而求解；
（3）联立方程当△25160k =-=，则2516
k =，此时两个函数只有一个交点M ，当直线5y kx =+过点M 关于直线5y x =+的对称点N 时，该直线和题目中的图形只有一个交点，即可求解．
【详解】（1）解：①当3y =时，即43x -=，则43
x =-，则点4(3A -，3)，当12
x =-时，48y x =-=，该点为：1(2-，8)，则点1(2-，8)关于直线AP 的对称点坐标为：1(2-，2)-，故点M 在“4y x
=-的l 镜像”，故答案为：在；
②当3y =时，关于AP 的对称点的y 值为6，则46x =-，则23
x =-，则“4y x
=-的l 镜像”与x 轴交点坐标为：2(3-，0)；故答案为：2(3-，0)；（2）解：如图，当1y =-时，则4
1x -=-，解得：4x =，即点(4,1)C -，即4CQ =，
点Q 把线段BC 划分成2:1的两部分，则2BQ =（8BQ =不成立，舍去），
即点B 的横坐标为：2-，则点()2,1B --，当2x =-时，422
y =-
=-，即点B 关于AP 的对应点B '的纵坐标为：2，即(2,2)B '-，
由点B 、B '的纵坐标得到()111222y =-+=，即12OP =；（3）联立4y x
=-和5y kx =+并整理得：2540kx x ++=，当25160k ∆=-=，则2516k =
，此时两个函数只有一个交点，设该点为点M ，把2516k =代入2540kx x ++=并解得：85
x =-，则点8(5M -，5)2，如图，求点M 关于直线5y x =+的对称点N ，
则当直线5y kx =+过点N 时，该直线和题目中的图形只有一个交点，
由图形的对称性知，MNT 为等腰直角三角形，
当552y x ==+，则52
x =-，则点5(2T -，5)2，则910MT NT ==，则点N 的坐标为：5(2-，17)5，将点N 的坐标代入5y kx =+得：
175552k ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭，解得：1625k =，故16252516k ≤≤符合题设条件，故答案为：16252516
k ≤≤．【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到点的对称性、新定义、图形的翻折等，理解新定义是解题的关键．
B 卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．（2024·山东·九年级校考阶段练习）如果2320a a +-=，那么代数式2231393a a a a -⎛⎫+⋅ ⎪-+⎝⎭的值为．
【答案】12
/0.5【分析】先算括号里，再算括号外，然后把2a 3a +的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：22313()93a a a a -+⋅-+2333(3)(3)a a a a a +--=⋅+-23(3)(3)a a a a a -=⋅+-1(3)a a =+213a a
=+，2320a a +-= ，232a a ∴+=，∴原式12=
，故答案为：12．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．
（2023·重庆·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程()24410a x x --+=有两个实数根，且关于x 的分式方程
4433x a x x ++=--有正整数解，则满足条件的所有整数a 的和为．
【答案】17【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，解分式方程，利用一元二次方程二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及a 的取值范围，可得a 的所有值，再将其相加即可得出结论．
【详解】解： 关于x 的一元二次方程()24410a x x --+=有两个实数根，
∴()()()24441164164320a a a ∆=--⨯+⨯-=++=+≥，且40a +≠，解得8a ≥-且4a ≠-．
4433x a x x ++=--化为整式方程得：()()443x a x -+=-，解得165
a x -=，∵分式方程有正整数解，∴a 可以取1，6，11，
∵30x -≠，∴16305
a --≠，即1a ≠，∴满足条件的a 的值为6，11，∴满足条件的所有整数a 的和为61117+=．故答案为：17．
21．
（2024.湖南.中考模拟预测）如图，点A 在⊙O 上，60BAC ∠=︒，以A 为圆心，AB 为半径的扇形ABC 内接于⊙O ．某人向⊙O 区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形ABC 内的概率为．
【答案】1
2
【分析】分别求得⊙O 的面积和扇形的面积即可求解．
【详解】解：连接BC ，∵60BAC ∠=︒，AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形，
设⊙O 的半径为r ，如图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB ，则OA =r ，AB =2AD ，
∠OAD =1302BAC ∠=︒，∴30cos AD AD OA r ︒==，解得32
AD r =，∴23AB AD r ==，∴圆的面积为2r π，扇形的面积为()2
260313602
r r ππ⨯=，∴飞镖恰好落在扇形ABC 内的概率为22
1122r r ππ=，故答案为：12【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．
（2023·安徽·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于C 点．动点P 从点B 出发，沿x 轴负方向以每秒1个单位的速度运动．过点P 作PQ BC ⊥，垂足为Q ，再将PBQ 绕点P 按逆时针方向旋转90︒．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）若旋转后的点B 落在该抛物线上，则t 的值为．
（2）若旋转后的PBQ 与该抛物线有两个公共点，则t 的取值范围是
．【答案】322
49
t >>【分析】根据抛物线线与坐标轴的交点坐标的特点得、()3,0B ，()1,0-，()0,3C ，由3OC OB ==和PQ BC ⊥得PBQ 等腰直角三角形，根据勾股定理得22
BQ PQ t ==，12PM QM t ==，可表示出()3,0P t -，
33,22t t Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()3,B t t -，（1）将()3,B t t -代入二次函数即可求解．（2）利用()3,B t t -，33,22t t Q ⎛⎫- ⎪⎝
⎭结合二次函数解析式列不等式，求出边PQ 、PB 、BQ 与抛物线有交点的范围，进而可求解．
【详解】解：223y x x =-++，当0x =时，解得：3y =，()0,3C ∴，3OC ∴=，
当0y =时，2023x x =-++，解得：11x =-，23x =，()3,0B ∴，()1,0-，1OA ∴=，3OB =，
3OC OB == ，可知：45OBC ∠=︒，PQ BC ^Q ，PBQ ∴ 是等腰直角三角形，PQ PB =，
运动t 秒后，PB t =，运用勾股定理可求22
BQ PQ t ==，将PBQ 绕点P 按逆时针方向旋转90︒后，PB x ⊥轴，过点Q 作QM x ⊥轴，垂足为M ，可求45QPM ∠=︒，
由勾股定理可求：12PM QM t ==，所以()3,0P t -，33,22t t Q ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，点()3,B t t -，（1）把点()3,B t t -坐标代入223y x x =-++得：()()23233t t t =--+-+，
解得：3t =，或0=t （舍去）所以：3t =．故答案为：3．
（2）若PB 与抛物线223y x x =-++有交点，由于点()3,B t t -，则有：当3x t =-时，y t <，且31t ->-，代入得：()()2
3233t t t --+-+≤，解得：43t >≥，或0t ≤（舍去），
若PQ ，BQ 与抛物线223y x x =-++有两个不同交点，由于33,22t t Q ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，则有；当332t x =-时，2t y <，且31t -<-，代入得：2333233222t t t ⎛⎫⎛⎫--+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2249t >>，或0t ≤（舍去），所以：当43t >≥时，PB 与PQ 与抛物线有交点；当2239
t ≥>时，PQ 和BQ 与抛物线有交点，综上所述：若旋转后的PBQ 与该抛物线有两个公共点，则t 的取值范围是：
2249t >>，故答案为：2249t >>．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、二次函数与不等式、二次函数的综合，掌握基础知识，根据已知设点的坐标，结合题意列不等式是解题的关键．
23.（2023·江苏宿迁·校考三模）如图：在矩形ABCD 中，3AB =，32AC =，点E 沿射线CD 以2个单位
每秒的速度运动，同时点F 沿射线DB 以1个单位每秒的速度运动，连接AE 和CF 交点为M ，在AM 上取一点P 使得23AP AM =，把AP 绕A 点逆时针旋转45︒得到AQ ，连接BQ ，则BQ 的最小值为．
【答案】172-/217
-+【分析】如图所示，设AC 的中点为O ，首先根据题意证明出ACE CDF ∽ ，然后得到点M 在以点O 为圆心，半径为322
的圆上运动，得到13222OM AC ==，过点P 作PN OM ∥，根据相似三角形的性质得到2AN NP ==，将AN 绕点A 逆时针旋转45︒得到AH ，证明出()SAS AHQ ANP ≌ ，得到2HQ NP ==，点Q 在以点H 为圆心，半径为2的圆上运动，连接BH 交H 于点Q '，进而得到当点Q 和点Q '重合时，BQ 有最小值，即BQ '的长度，过点H 作GH BA ⊥的延长线于点G ，得到GAH 是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，设AC 的中点为O ，∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB ==，∴32232CD AC ==，∵点E 沿射线CD 以2个单位每秒的速度运动，同时点F 沿射线DB 以1个单位每秒的速度运动，∴1222
DF CE ==，∴DF CD CE AC =，∵90D ACD ∠=∠=︒，∴ACE CDF ∽ ，∴CAE FCD ∠=∠，∵90ACF FCD ∠+∠=︒，∴90CAE ACF ∠+∠=︒，∴90AMC ∠=︒，∴点M 在以点O 为圆心，半径为
322的圆上运动，∴13222OM AC ==，过点P 作PN OM ∥，∴APN AMO ∽，∴23AP AN NP AM AO OM ===，即23332222
AN NP ==，∴2AN NP ==，将AN 绕点A 逆时针旋转45︒得到AH ，∴2AH AN ==，45NAH PAQ ∠=∠=︒，∴HAQ NAP ∠=∠，又∵AQ AP =，∴()SAS AHQ ANP ≌ ，∴2HQ NP ==，
∴点Q 在以点H 为圆心，半径为2的圆上运动，∴连接BH 交H 于点Q '，
∴当点Q 和点Q '重合时，BQ 有最小值，即BQ '的长度，过点H 作GH BA ⊥的延长线于点G ，
∵45NAH ∠=︒，∴904545GAH ∠=︒-︒=︒，∴GAH 是等腰直角三角形，
∴222AG GH AH +=，即()2
222AG AG +=，∴1AG GH ==，∴4BG BA AG =+=，∴2217BH BG GH =+=，∴172BQ BH HQ ''=-=-．故答案为：172-．
【点睛】此题考查了矩形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等
知识点，解题的关键是证明出点M 在以点O 为圆心，半径为322
的圆上运动．说明、证明过程或演算步骤.）
24．
（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m 元/支，肉串的成本为n 元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
次数
数量（支）
总成本（元）
海鲜串
肉串第一次
3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
(1)求m 、n 的值；(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x 支，店主获得海鲜串的总利润为y 元，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店
主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a （01a <<）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a 的最大值．
【答案】(1)m 的值为3，n 的值为2(2)()()20200200200400x x y x x ⎧≤⎪=⎨+≤⎪⎩
＜＜(3)0.5【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出m 、n 的值；（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润=每支利润⨯数量”分别列出代数式即可求出y 与x 的函数关系式，注意写出自变量x 的取值范围；（3）设降价后获得肉串的总利润为z 元，令W z y =-，先根据题意列出z 关于x 的关系式，再写出W 关于x 的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．
【详解】（1）解：根据表格可得：30004000170004000300018000
m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩，∴m 的值为3，n 的值为2；（2）当0200x <≤时，店主获得海鲜串的总利润()532y x x =-=；
当200400x <≤时，店主获得海鲜串的总利润()()()5320050.83200200y x x =-⨯+⨯--=+；
∴()()20200200200400x x y x x ⎧≤⎪=⎨+≤⎪⎩
＜＜；（3）设降价后获得肉串的总利润为z 元，令W z y =-，
∵200400x <≤，∴()()()3.521000 1.515001000z a x a x a =---=-+-，∴()2.513001000W z y a x a =-=-+-，∵01a <<，∴ 2.50a -<，∴W 随x 的增大而减小，
当400x =时，W 的值最小，由题意可得：z y ≥，∴0W ≥，
即()2.5400130010000a a -⨯+-≥，解得：0.5a ≤，∴a 的最大值是0.5．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键．
25．（2024·湖南长沙·中考模拟预测）在平面直角坐标系中，设直线l 的解析式为：y kx m =+(k m 、为常数且．0k ≠)，当直线l 与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l 与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．(1)求直线l ：6y x =-+与双曲线9y x
=的切点坐标；(2)已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数23y ax bx c =++，其图象经过点()32-，，使得直线12y x =与22231y x y ax bx c =+=++，都
相切于同一点?若存在，求出3y 的解析式；若不存在，请说明理由；(3)已知直线()1111:0l y k x m k =+≠，直线()22222:0l y k x m k =+≠是抛物线222y x x =-++的两条切线，当1l 与2l 的交点P 的纵坐标为4时，试判断12k k ⋅是否为定值，并说明理由．。