人教A版2019-2020学年天津一中高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题）
1．函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
2．设a＝30.5，b＝log32，c＝cos，则（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
3．若θ∈[，]，cos2θ＝﹣则sinθ＝（）
A．B．C．D．
4．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）
A．y＝sin2x+cos2x B．y＝sin2x cos2x
C．y＝cos（4x+）D．y＝sin22x﹣cos22x
5．在△ABC中，满足tan A•tan B＞1，则这个三角形是（）
A．正三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形6．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）的值等于（）A．B．C．D．
7．将函数y＝的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
8．函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（）
A．y＝2sin （2x+）B．y＝2sin （2x+）
C．y＝2sin （）D．y＝2sin （2x﹣）
9．对于函数f（x）＝sin（2x+）的图象，①关于直线x＝﹣对称；②关于点（，0）对称；③可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；④可看作是把y＝
sin（x+）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到．以上叙述正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）
A．（0，] B．（0，]∪[，1）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
二.填空题（共6小题）
11．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ＝﹣，则x的值为．
12．已知＜α＜π，且cos（）＝﹣，则cosα的值为．
13．已知一个扇形的弧长为πcm，其圆心角为，则这扇形的面积为cm2．
14．已知函数f（x）＝a sin x+b tan x﹣1（a，b∈R），若f（﹣2）＝2018，则f（2）＝．15．定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意x∈R有f（x+3）＝﹣f（x）．若tanα＝2，则f（15sinαcosα）的值为．
16．己知函数，g（x）＝sin x+cos x+4，若对任意t∈[﹣3，
3]，总存在，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为．
三、简答题（共4小题）
17．已知0＜α＜，sinα＝．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求cos（2）的值；
（Ⅲ）若0＜β＜且cos（α+β）＝﹣，求sinβ的值．
18．已知﹣．
（Ⅰ）求sin x﹣cos x的值．
（Ⅱ）求的值．
19．已知函数；
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．
20．已知函数是定义在R上的奇函数，
（1）求实数m的值；
（2）如果对任意x∈R，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
解：∵f（1）＝ln（1+1）﹣2＝ln2﹣2＜0，
而f（2）＝ln3﹣1＞lne﹣1＝0，
∴函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），
故选：B．
2．设a＝30.5，b＝log32，c＝cos，则（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【分析】首先根据所给的三个数字，按照对数函数和指数函数的性质进行比较，第一个数字第一个数字30.5＞30＝1，第二个数字＝log31＜log32＜log33＝1，第三个数字求出结果小于0，最后总结最后结果．
解：∵在，三个数字中，
第一个数字30.5＞30＝1，
第二个数字0＝log31＜log32＜log33＝1
第三个数字cos＝﹣＜0
故选：A．
3．若θ∈[，]，cos2θ＝﹣则sinθ＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据余弦函数的倍角公式即可得到结论．
解：∵cos2θ＝﹣＝1﹣2sin2θ，
∴sin2θ＝，
∵θ∈[，]，∴sinθ＝，
故选：B．
4．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）
A．y＝sin2x+cos2x B．y＝sin2x cos2x
C．y＝cos（4x+）D．y＝sin22x﹣cos22x
【分析】根据三角函数的奇偶性和周期性分别进行判断即可得到结论．
解：函数y＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）的周期为＝π，且为非奇非偶函数；
函数y＝sin2x cos2x＝sin4x的周期为＝，且为奇函数；
函数y＝cos（4x+）＝sin4x的周期为＝，且为奇函数；
函数y＝sin22x﹣cos22x＝﹣cos4x的周期为＝，且为偶函数；
故选：D．
5．在△ABC中，满足tan A•tan B＞1，则这个三角形是（）
A．正三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】由条件可得A、B都是锐角，tan A＞0，tan B＞0，再由 tan（A+B）＝
＜0，可得A+B为钝角，C为锐角，由此得出结论．
解：∵在△ABC中，满足tan A•tan B＞1，∴A、B都是锐角，tan A＞0，tan B＞0．再由 tan（A+B）＝＜0，可得A+B为钝角，故由三角形内角和公式可得C 为锐角．
综上可得这个三角形是锐角三角形．
故选：C．
6．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）的值等于（）A．B．C．D．
【分析】由于α+＝（α+β）﹣（β﹣），利用两角差的正切即可求得答案．解：∵tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，
∴tan（α+）＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝
＝．
故选：B．
7．将函数y＝的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m 的最小值．
解：y＝cos x+sin x＝2（cos x+sin x）＝2sin（x+），
∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y＝2sin[（x+m）+]＝2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，
∴m+＝kπ+（k∈Z），
由于m＞0，则m的最小值为．
故选：A．
8．函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（）
A．y＝2sin （2x+）B．y＝2sin （2x+）
C．y＝2sin （）D．y＝2sin （2x﹣）
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，把点（﹣，2）代入函数的解析式求出φ的值，从而求得此函数的解析式．
解：由函数的图象可得函数的最大值为2，最小值为﹣2，故有A＝2．
再由函数的周期性可得＝＝，解得ω＝2．
把点（﹣，2）代入函数的解析式可得2sin[2×（﹣）+φ]＝2，∴2×（﹣）
+φ＝2kπ+，k∈z，解得φ＝2kπ+，k∈z．
故函数的解析式为y＝2sin （2x+2kπ+），k∈z，考查四个选项，A符合题意故选：A．
9．对于函数f（x）＝sin（2x+）的图象，①关于直线x＝﹣对称；②关于点（，0）对称；③可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；④可看作是把y＝
sin（x+）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到．以上叙述正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用正弦函数的图象和性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
解：对于函数f（x）＝sin（2x+）的图象，令x＝﹣，求得f（x）＝0，不是最值，故①不正确；
令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）的图象关于点（，0）对称，故②正确；
把y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin（2x+）的图象，故③不正确；
把y＝sin（x+）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，
得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故④正确，
故选：B．
10．已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）
A．（0，] B．（0，]∪[，1）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
【分析】函数f（x）＝，由f（x）＝0，可得＝0，
解得x＝∉（π，2π），因此ω∉∪∪∪…＝∪，即可得出．
解：函数f（x）＝+sinωx﹣＝+sinωx＝
，
由f（x）＝0，可得＝0，
解得x＝∉（π，2π），
∴ω∉∪∪∪…＝∪，
∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
∴ω∈∪．
故选：D．
二.填空题（共6小题）
11．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ＝﹣，则x的值为﹣4 ．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x的值．
解：∵点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ＝＝﹣，∴x＝﹣4，
故答案为：﹣4．
12．已知＜α＜π，且cos（）＝﹣，则cosα的值为．【分析】根据同角的三角函数的关系结合两角和的余弦公式即可求出．
解：∵＜α＜π，
∴＜＜
∵cos（）＝﹣，
∴sin（）＝，
∴cosα＝cos[（α﹣）+]＝cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）sin＝﹣
×﹣×＝，
故答案为：
13．已知一个扇形的弧长为πcm，其圆心角为，则这扇形的面积为2πcm2．【分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．
解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，
∴半径r＝＝4，
∴这条弧所在的扇形面积为S＝×π×4＝2πcm2．
故答案为：2π．
14．已知函数f（x）＝a sin x+b tan x﹣1（a，b∈R），若f（﹣2）＝2018，则f（2）＝﹣2020 ．
【分析】根据题意，求出f（﹣x）的解析式，进而可得f（x）+f（﹣x）＝﹣2，结合f （2）的值，就是可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝a sin x+b tan x﹣1，则f（﹣x）＝a sin（﹣x）+b tan（﹣x）﹣1＝﹣（a sin x+b tan x）﹣1，
则有f（x）+f（﹣x）＝﹣2；
又由f（﹣2）＝2018，则f（2）＝﹣2020；
故答案为：﹣2020．
15．定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意x∈R有f（x+3）＝﹣f（x）．若tanα＝2，则f（15sinαcosα）的值为0 ．
【分析】先求出函数的周期，然后根据同角三角函数关系求出15sinαcosα的值，利用周期性进行化简，最后根据奇函数的性质进行求解．
解：∵对于任意x∈R有f（x+3）＝﹣f（x）．
∴f（x+6）＝f（x）即T＝6
∵tanα＝2
∴15sinαcosα＝6即f（15sinαcosα）＝f（6）＝f（0）
∵定义在R上的奇函数f（x）
∴f（0）＝0即f（15sinαcosα）＝f（6）＝f（0）＝0
故答案为0
16．己知函数，g（x）＝sin x+cos x+4，若对任意t∈[﹣3，
3]，总存在，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为（0，2] ．
【分析】求出f（x）和g（x）的值域，根据存在性和恒成立问题，求出a的范围．解：对于函数f（x），当x≤0时，f（x）＝，由﹣3≤x≤0，可得f（t）∈[﹣4，3]，
当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，由0＜x≤3，可得f（x）∈[0，4]，∴对任意t∈[﹣3，3]，f（t）∈[﹣4，4]，
对于函数g（x）＝sin x+cos x+4＝2sin（x+）+4，
∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，
∴g（x）∈[5，6]，
∴对于s∈[0，]，使得g（s）∈[5，6]，
∵对任意t∈[﹣3，3]，总存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，∴a+4≤6，
解得0＜a≤2，
故答案为：（0，2]
三、简答题（共4小题）
17．已知0＜α＜，sinα＝．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求cos（2）的值；
（Ⅲ）若0＜β＜且cos（α+β）＝﹣，求sinβ的值．
【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系即可求出，
（Ⅱ）根据二倍角公式和两角差的余弦公式即可求出，
（Ⅱ）根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出
解：（Ⅰ）∵0＜α＜，sinα＝，
∴cosα＝＝，
∴tanα＝＝，
（Ⅱ）∵sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣
∴cos（2）＝（cos2α﹣sin2α）＝（﹣﹣）＝﹣，（Ⅲ）∵0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π，
∵cos（α+β）＝﹣，
∴sin（α+β）＝，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝
18．已知﹣．
（Ⅰ）求sin x﹣cos x的值．
（Ⅱ）求的值．
【分析】（Ⅰ）由﹣＜x＜0可知x是第四象限角，从而sin x＜0，cos x＞0，由此可知sin x﹣cos x＜0．再利用平方关系式求解．（sin x﹣cos x）2＝（sin x+cos x）2﹣4sin x cos x．然后求解即可．
（Ⅱ）利用二倍角公式以及切化弦，化简，利用第一问的结果，代入求值．
解：（Ⅰ）∵﹣＜x＜0，∴sin x＜0，cos x＞0，则sin x﹣cos x＜0，
又sin x+cos x＝，平方后得到 1+sin2x＝，
∴sin2x＝﹣∴（sin x﹣cos x）2＝1﹣sin2x＝，
又∵sin x﹣cos x＜0，
∴sin x﹣cos x＝﹣．
（Ⅱ）
＝
＝（﹣cos x﹣sin x+2）sin x cos x
＝
＝
19．已知函数；
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．
【分析】（1）根据tan x有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简f（x），得出f（x）的周期；
（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调区间，根据单调性计算最值．
解：（1）由tan x有意义得x≠+kπ，k∈Z．
∴f（x）的定义域是，
f（x）＝4tan x cos x cos（x﹣）﹣＝4sin x cos（x﹣）﹣＝2sin x cos x+2sin2x ﹣
＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）．
∴f（x）的最小正周期T＝＝π．
（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．
令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．
[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]＝[﹣，]，
[+kπ，+kπ]∩[﹣，]＝[﹣，﹣]，
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，
∴f（x）的最小值为f（﹣）＝﹣2，
又f（﹣）＝﹣1，f（）＝1，
∴f（x）的最大值为f（）＝1．
20．已知函数是定义在R上的奇函数，
（1）求实数m的值；
（2）如果对任意x∈R，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由奇函数性质f（﹣x）＝﹣f（x），求得m；
（2）先判断f（x）的单调性，再由f（x）奇函数化简不等式
最后变量分离可求得实数a的取值范围．
解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），即，
即2m﹣2＝0，即m＝1．
（2），
任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝，
因为x1＜x2，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以函数f（x）在R上是增函数．
因为，且f（x）是奇函数．
所以，
因为f（x）在R上单调递增，所以，即对任意x∈R都成立，
由于﹣cos2x﹣4sin x+7＝（sin x﹣2）2+2，其中﹣1≤sin x≤1，
所以（sin x﹣2）2+2≥3，即最小值为3．
所以，
即，解得，
由，得．
故实数a的取值范围．。