2014-2015年上海市黄浦区格致中学高一(上)数学期中试卷和答案
2013-2014-高一上期末-格致中学
格致中学 二○一四学年度第一学期期末考试高一年级 数学试卷（共4页）一、填空题（本题共11小题，每小题3分，满分33分）1． 已知集合{}|30A x x =->，则R C A = ；2． 不等式22601x x x -->--的角集是 ； 3． （理科班和平行班）已知()f x x =，则()1f x -的递增区间是 ；（创新班）已知()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()1f x -的递增区间是 ；4． （理科班和平行班）若sin 2α=，且[]0πα∈, ，则tan α= ；（创新班）若sin α=[]0πα∈, ，则sin cos sin cos αααα+=- ； 5． （理科班和平行班）已知扇形的周长为16cm ，面积为212cm ，则扇形中心角的弧度数为 ；（创新班）已知扇形的周长为定值m ，当扇形面积取最大值时，扇形中心角的弧度数为 ；6． （理科班和平行班）若x y R +∈, ，且2x y -=，则41x y ++的最小值是 ； （创新班）若x y R +∈, ，且280x y xy +-=，则x y +的最小值是 ；7．（理科班和平行班）当[]02x ∈, 时，函数()()lg 3f x ax =-恒有意义，则实数a 的取值范围是 ；（创新班）当[]02x ∈, 时，函数()()log 3a f x ax =-恒有意义，恒有意义，则实数a 的取值范围是 ；8．（理科班和平行班）已知sin cos θθ, 为方程2210x k x k -+=的两个根，则实数k 的值是 ；（创新班）已知sin cos θθ, 为方程210x kx k -++=的两个根，则实数k 的值是 ；9． （理科班和平行班）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(]0-∞, 上递增，若实数m 满足()()313log log 21f m f m f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，则m 的取值范围是 ；（创新班）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(]0-∞, 上递增，若实数m 满足()()313log log 21f m f m f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，则m 的取值范围是 ；10．函数()2121x a x f x x a x +<⎧=⎨--⎩, , ≥，其中0a R a ∈≠, ，且a 为常数，若()()11f a f a -=+，则a 的值为 .11．设方程20x ax b -+=的两根为20x bx c αβ-+=、, 的两根为γδ、（其中αβγδ、、、互不相等），集合{}{}|M S x x u v M v M v αυγδμμ===+∈∈≠、、、, , , , ，{}|P x x v M v M v μμμ==⋅∈∈≠, , , ， 已知{}57891012S =, ,, , , ，{}61014152135P =, , , , , ，则a b c ++= .二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）12．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等的实数a b 、，总有()()0f a f b a b ->-成立，则一定有（ ）A ．()f x 是奇函数；B ．()f x 是偶函数；C ．()f x 在R 上递增；D ．()f x 在R 上递减.13．“π3a ≠”是“1cos 2α≠”（ ） A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．即非充分又非必要条件.14．若a b <，则下列不等级式：①22b a >；②11b a<；③33b a >；④lg 0a b <；⑤1155a b <；其中，总成立的是（ ）A ．①和③；B ．②和④；C ．①和④D ．③和⑤ 15．已知函数()11f x x=-，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有6个不同的实数解，则b c , 的取值情况不可能．．．的是（ ） A ．100b c -<<=, ； B ．1001b c c ++=<<, ；C ．100b c c ++<>, ；D ．100b c c ++>>, .三、解答题（本大题共有4题，满分51分，解答时要有必要的解题过程）16．本题满分8分.函数()()()2245213f x m m x m x =+---+对于自变量x 在实数范围内的每一个取值，函数值班恒正，求实数m 的取值范围？17．本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分.已知函数()k f x x b =+（其中k b R ∈、，且k b 、为常数）的图像经过()()42164A B , , 两点. ⑴ 求()f x 的解析式；⑵ 已知a R ∈，且函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，解关于x 的不等式；()()()2224g x g x a x +->-+18．本题满分15分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题5分.经调查测算，某厂某种产品的年销售量与年产量相等，且年销售量x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31k x m =-+（k 为常数）. 如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件. 已知2015年生产该项产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元. 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均生产成本的1.5倍（产品生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）.⑴ 求k 的值；⑵ 写出2015年该产品的利润y 万元关于年促销费用m 万元的函数解析式；（产品利润=产品年销售收入—生产成本—促销纲用）⑶ 该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第3小题6分.定义在区间D 上的函数()f x ，如果满足；存在常数0M >，对任意x D ∈，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是区间D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 在区间D 上的上界. 已知函数()()221111241x xmx f x a g x mx -⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, , , ⑴ 当1a =时，判断函数()f x 在()0-∞, 上是否为有界函数，说明理由；⑵ 若函数()f x 在[)0x ∈+∞, 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；⑶ 已知1m >-，函数()g x 在[]01, 上的上界是T ，求T 的最小值m T .理科班长加试题每小题4分，共20分：1． 若不等式11x x m ++-<的解集为非空实数集，则实数m 的取值范围是 ；2． 函数()1y f x =-的图像关于直线1x =对称，且()xf x 在(]0-∞, 上递减，若干()0.20.222f α=⋅,()112211log log ln 2ln 244b f c f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭, , . 则a b c , , 的大小关系是 ； 3． 对任意b R ∈，函数()21f x ax bx b =++-恒有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ；4． 已知函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =对称，则()f x 的最小值为；5． 已知函数()f x =(]04, 上是增函数，则实数a 的取值范围是 .。
上海市格致中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
上海市格致中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题17．已知幂函数()()24Z m m f x x m -+=Î的图象关于y 轴对称，且在区间()0,+¥上是严格增函数．(1)求m 的值；(2)求满足不等式()()211f a f a -<+的实数a 的取值范围．五、证明题19．已知a 、b 、R c Î，关于x 不等式22ax bx c x ++<的解集为()1,3．(1)若方程20ax bx c ++=一根小于1-，另一根大于1-，求a 的取值范围；(2)在（1）条件在证明以下三个方程：24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数解．又,m n 互质，m \为偶数，n 为奇数.故选：B.16．B【分析】运用集合的子集的概念，令1m P Î，推得2m P Î，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P Î，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P Î，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=，可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=¹-且}x R Î，可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．故选：B.17．(1)2m =(2)02a <<【分析】（1）先利用幂函数在区间()0,+¥上是严格增函数得到240m m -+>，再验证其图象关于y 轴对称进行求值；。
2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期末数学试卷
2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共12题，每题3分，满分36分）：1．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|y=lgx}，则A∩B= {1} ．【解答】解：∵A={x|x2﹣x=0}={0，1}，B={x|y=lgx}={x|x＞0}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．2．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）若，，则f（x）•g（x）=（x＞0）．．【解答】解：由题意f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥0}，g（x）的定义域为{x|x＞0}，∴f（x）g（x）的定义域为{x|x＞0}，f（x）g（x）=，故答案为（x＞0）．3．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）顶点哎坐标原点，始边为x轴正半轴的角α的终边与单位圆（圆心为原点，半径为1的圆）的交点坐标为，则cscα= ．【解答】解：由题意，cscα==，故答案为．4．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）函数f（x）=a1﹣x+5（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，6）．【解答】解：由1﹣x=0，得x=1．此时f（x）=6．∴函数f（x）=a1﹣x+5（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，6）．故答案为：（1，6）．5．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（3）= ．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，把点（，8）代入可得8=，解得α=﹣3，∴f（x）=x﹣3；∴f（3）=3﹣3=．故答案为：．6．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）= 1﹣（x≥0）．【解答】解：由y=（x﹣1）2，得x=1±，∵x≤1，∴x=1﹣．由y=（x﹣1）2（x≤1），得y≥0．∴f﹣1（x）=1﹣（x≥0）．故答案为：1﹣（x≥0）．7．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为．【解答】解：设该扇形的半径为r，根据题意，有l=αr+2r，∴3=2r+2r，∴r=，∴S扇形=αr2=×2×=．故答案为：．8．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）若log a3b=﹣1，则a+b的最小值为．【解答】解：∵log a3b=﹣1，∴a﹣1=3b，解得ab=．a，b＞0．则a+b≥2=，当且仅当a=b=时取等号，其最小值为．故答案为：．9．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2﹣x+x，则g（2）= ．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2﹣x+x，∴f（2）+g（2）=2﹣2+2，①f（﹣2）+g（﹣2）=22﹣2=2，即f（2）﹣g（2）=2，②①﹣②得2g（2）=2﹣2=，则g（2）=，故答案为：．10．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）若cot（﹣θ）=，则= ．【解答】解：若=tanθ，则=====，故答案为：．11．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）已知，若不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a﹣1，a]上恒成立，则实数a的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：画出f（x）的图象，如图所示，由图象可知函数f（x）在R上为增函数，∵不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a﹣1，a]上恒成立，∴x+a＞2a﹣x在[a﹣1，a]上恒成立；即2x＞a在[a﹣1，a]上恒成立，故2（a﹣1）＞a，解得，a＞2，故答案为：（2，+∞）12．（3分）（2015秋•黄浦区校级期末）已知奇函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）f（x）＞﹣2；（3）在（0，+∞）上单调递减；（4）对于任意的d∈（﹣2，0），总存在x0，使f（x0）＜d．请写出一个这样的函数解析式：f（x）=﹣2（）．【解答】解：函数f（x）=﹣2（）的定义域为R；函数f（x）在R上为减函数，故在（0，+∞）上单调递减；当x→+∞时，f（x）→﹣2，故f（x）＞﹣2；函数的值域为：（﹣2，2），故对于任意的d∈（﹣2，0），总存在x0，使f（x0）＜d．故满足条件的函数可以是f（x）=﹣2（），故答案为：f（x）=﹣2（），答案不唯一二、选择题（本题共4小题，每题4分，满分16分）：13．（4分）（2015秋•黄浦区校级期末）不等式ax＞b，（b≠0）的解集不可能是（）A．∅B．R C．D．【解答】解：当a=0，b＞0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是∅；当a=0，b＜0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是R；当a＞0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是（）；当a＜0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是（﹣∞，）．∴不等式ax＞b，（b≠0）的解集不可能是（﹣∞，﹣）．故选D．14．（4分）（2015秋•黄浦区校级期末）已知角α、β顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴．甲：“角α、β的终边关于y轴对称”；乙：“sin（α+β）=0”．则条件甲是条件乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若角α、β的终边关于y轴对称，则β=π﹣α+2kπ，则α+β=π+2kπ，则sin（α+β）=sin（π+2kπ）=sinπ=0，若sin（α+β）=0，则α+β=kπ，则角α、β的终边关于y轴不一定对称，故条件甲是条件乙的充分不必要条件，故选：A．15．（4分）（2015秋•黄浦区校级期末）已知函数f（x）=ax2+2ax+4（﹣3＜a＜0），其图象上两点的横坐标为x1、x&2满足x1＜x2，且x1+x2=1+a，则由（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＞f（x2）D．f（x1）、f（x&2）的大小不确定【解答】解：∵函数f（x）=ax2+2ax+4，∴f（x1）﹣f（x2）=ax12+2ax1+4﹣（ax22+2ax2+4）=a（x12﹣x22）+2a（x1﹣x2）=a（x1﹣x2）（x1+x2+2）∵x1+x2=1+a，∴f（x1）﹣f（x2）=a（3+a）（x1﹣x2），∵﹣3＜a＜0，x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．故选：C．16．（4分）（2015秋•黄浦区校级期末）已知f（x）、g（x）、h（x）均为一次函数，若对实数x满足：|f（x）|+|g（x）|+h（x）=，则h（x）的解析式为（）A．2x+6 B．6x﹣2 C．3x﹣1 D．x+3【解答】解：由题意得，、2是函数f（x）的分界点，∴h（x）==x+3，故选：D．三、解答题（见答题卷）（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处答题，否则不得分．17．（10分）（2015秋•黄浦区校级期末）已知，且，．求（1）的值；（2）的值．【解答】解：（1）∵，且，∴α﹣为锐角，故sin（α﹣）==，∴=．（2）∵，∴﹣β为锐角，∴cos（﹣β）==，∴=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）=•+•=．18．（10分）（2015秋•黄浦区校级期末）已知集合，集合B={x|x ﹣a|≤1，x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩∁R A=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由A中不等式变形得：﹣1≤0，即≤0，解得：﹣1＜x≤3，即A={x|﹣1＜x≤3}；（2）由B中不等式变形得：﹣1≤x﹣a≤1，解得：a﹣1≤x≤a+1，即B={x|a﹣1≤x≤a+1}，∵B∩∁R A=B，∁R A={x|x≤﹣1或x＞3}，∴B⊆∁R A，即a+1≤﹣1或a﹣1＞3，解得：a≤﹣2或a＞4．19．（12分）（2015秋•黄浦区校级期末）已知函数．（1）求此函数的定义域D，并判断其奇偶性；（2）是否存在实数a，使f（x）在x∈（1，a）时的值域为（﹣∞，﹣1）？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由＞0，可得x＜﹣1或x＞1，∴D={x|x＜﹣1或x＞1}；f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数；（2）由题意，函数单调递增，f（a）=﹣1，即=，∵a＞1，∴．20．（16分）（2015秋•黄浦区校级期末）定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n﹣m，其中n＞m．（1）若关于x的不等式ax2+12x﹣3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；（2）求关于x的不等式x2﹣3x+（sinθ+cosθ）＜0（θ∈R）的解集构成的区间的长度的取值范围；（3）已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度【解答】解：（1）当a=0时，不等式ax2+12x﹣3＞0的解为x＞，不成立；当a≠0时，方程ax2+12x﹣3=0的两根设为x1、x2，则，，由题意知（2）2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=+，解得a=﹣3或a=4（舍），所以a=﹣3．（2）∵x2﹣3x+（sinθ+cosθ）＜0，∴＜0，∵∈（﹣，），∴当=﹣时，x2﹣3x﹣＜0的解集为（1﹣，2+），当=时，x2﹣3x+＜0的解集为（2﹣，1+），∴关于x的不等式x2﹣3x+（sinθ+cosθ）＜0（θ∈R）的解集构成的区间的长度的取值范围是（1，2﹣1）．（3）先解不等式＞1，整理，得，解得﹣2＜x＜5．∴不等式＞1的解集为A=（﹣2，5），设不等式log2x+log2（tx+3t）＜3的解集为B，不等式组的解集为A∩B，∵关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5，且A∩B⊂（﹣2，5），不等式log2x+log2（tx+3t）＜3等价于，当x∈（0，5）时，恒成立当x∈（0，5）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0，当x∈（0，5）时，不等式tx2+3tx﹣8＜0恒成立，即t＜恒成立，当x∈（0，5）时，的取值范围为（），∴实数t≤，综上所述，t的取值范围为（0，）．。
2014-2015学年上海市黄浦区格致中学高一上学期期中数学试卷和解析
2014-2015学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题4分，满分40分）1．（4分）函数f（x）=的定义域为．2．（4分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=．3．（4分）不等式组的解集为．4．（4分）已知集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x∈N．且A∪B=A，则x=．5．已知全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x2}，若∁U A⊊∁U B，则x=．6．（4分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2﹣，则f（1）=．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=6，则g（﹣2）=．8．（4分）平面直角坐标系中，若点在第三象限内，则实数a 的取值范围是．9．（4分）已知集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={y|ay+2=0，a∈R}，若满足M∩N=N 的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个．10．定义|b﹣a|为区间（a，b）（a，b∈R，a＜b）的长度．则不等式的所有解集区间的长度和为．11．（4分）若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣3，﹣1），则不等式bx2+ax+1≤0的解集为．12．（4分）若a、b为正实数，且a+b+3=ab，则ab的最小值为．13．已知正数x、y满足：2x+y﹣xy=0，则x+2y的最小值为．14．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．二、选择题：（每小题4分，满分16分）15．（4分）若集合，集合B={x||x|≤5，x∈Z}，则集合A∪B中的元素个数为（）A．11 B．13 C．15 D．1716．（4分）设函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的奇函数与偶函数，函数f（x）的零点个数为F，g（x）的零点个数为G，且F、G都是常数．则下列判断正确的是（）A．F一定是奇数，G可能是奇数B．F可能是偶数，G一定是偶数C．F一定是奇数，G一定是偶数D．F可能是偶数，G可能是奇数17．（4分）设全集为U，对于集合A，B，则“A∩B≡∅”是“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件18．已知函数f（x）定义域为D，区间（m，n）⊆D，对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件19．（4分）给出下列说法：（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．那么其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题：（共5大题，满分44分）20．（6分）已知集合A={x||x﹣2|＜a}，集合，且A⊆B，求实数a的取值范围．21．（8分）一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．（1）求f（x）（2）当x∈[1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．22．（10分）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．23．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣2（a+1）（a∈R）．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，并求此两交点之间距离的最小值；（2）若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．24．（10分）已知函数f（x）=lg（x2﹣mx﹣m）．（1）若m=1，求函数f（x）的定义域；（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．2014-2015学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题4分，满分40分）1．（4分）函数f（x）=的定义域为（﹣1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x+1＞0，即x＞﹣1，故函数的定义域为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）2．（4分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N={1，2} ．【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即N=[1，2]，∵M={0，1，2}，∴M∩N={1，2}，故答案为：{1，2}3．（4分）不等式组的解集为（0，1）．【解答】解：由得，，解得0＜x＜1，所以不等式的解集是（0，1），故答案为：（0，1）．4．（4分）已知集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x∈N．且A∪B=A，则x=0．【解答】解：∵集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x∈N．A∪B=A，∴B⊂A，∴，解得x=0．故答案为：0．5．已知全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x2}，若∁U A⊊∁U B，则x=0或2．【解答】解：全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x}，若∁U A⊊∁U B，可得B⊊A，即有x2=4或x2=x，解得x=±2或0或1，检验x=﹣2舍去，x=1也不成立．则x=0，2成立．故答案为：0或2．6．（4分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2﹣，则f（1）=﹣2．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当x＜0时，f（x）=x2﹣，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（1+1）=﹣2．故答案为﹣2．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=6，则g（﹣2）=﹣2．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=f（2）+8a+2=6，则f（2）+8a=4．∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣8a+2=﹣f（2）﹣8a+2=﹣4+2=﹣2，故答案为：﹣2．8．（4分）平面直角坐标系中，若点在第三象限内，则实数a的取值范围是．【解答】解：∵点在第三象限内，∴，则，解得，∴实数a的取值范围是，故答案为：．9．（4分）已知集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={y|ay+2=0，a∈R}，若满足M∩N=N 的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个8．【解答】解：∵集合M={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}，N={y|ay+2=0，a∈R}={﹣}，∵M∩N=N，∴N⊂M，∴﹣不存在，或﹣=﹣3，或﹣，解得a=0或a=或a=﹣1，∴集合A={﹣1，0，}，∴A的子集有23=8个．故答案为：8．10．定义|b﹣a|为区间（a，b）（a，b∈R，a＜b）的长度．则不等式的所有解集区间的长度和为8．【解答】解：由得，化简得，即，等价于（x﹣2）（x﹣8）x（x+2）＜0，如图所示：由图可得，不等式的解集是（﹣2，0）∪（2，8），∴不等式所有解集区间的长度和是2+6=8，故答案为：8．11．（4分）若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣3，﹣1），则不等式bx2+ax+1≤0的解集为[﹣1，﹣] ．【解答】解：不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣3，﹣1），∴方程x2+ax+b=0的两个实数根为﹣3和﹣1，由根与系数的关系得：a=4，b=3，故bx2+ax+1≤0可化为：3x2+4x+1≤0，解得﹣1≤x≤﹣；所求不等式bx2+ax+1≤0的解集为[﹣1，﹣]．故答案为：[﹣1，﹣]．12．（4分）若a、b为正实数，且a+b+3=ab，则ab的最小值为9．【解答】解：∵a、b为正实数，∴a+b+3=ab≥+3，化为：≥0，解得≥3，即ab≥9．当且仅当a=b=3时取等号．则ab的最小值为9．故答案为：9．13．已知正数x、y满足：2x+y﹣xy=0，则x+2y的最小值为9．【解答】解：∵正数x、y满足：2x+y﹣xy=0，∴=1．则x+2y=（x+2y）=5++≥5+2×=9，当且仅当x=y=3时取等号．因此x+2y的最小值为9．故答案为：9．14．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．二、选择题：（每小题4分，满分16分）15．（4分）若集合，集合B={x||x|≤5，x∈Z}，则集合A∪B中的元素个数为（）A．11 B．13 C．15 D．17【解答】解：∵集合={x|，x∈N}={4，5，6，7，8，9}，集合B={x||x|≤5，x∈Z}={x|﹣5≤x≤5，x∈Z}={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，∴A∪B={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．∴集合A∪B中的元素个数为15．故选：C．16．（4分）设函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的奇函数与偶函数，函数f（x）的零点个数为F，g（x）的零点个数为G，且F、G都是常数．则下列判断正确的是（）A．F一定是奇数，G可能是奇数B．F可能是偶数，G一定是偶数C．F一定是奇数，G一定是偶数D．F可能是偶数，G可能是奇数【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，奇函数的图象关于原点对称，所以函数的零点个数一定是奇数个．g（x）是定义在R上的偶函数．函数的图象关于y轴对称，g（0）可能为0，所以函数的零点个数可能为奇数个．故选：A．17．（4分）设全集为U，对于集合A，B，则“A∩B≡∅”是“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”⇒“A∩B=∅”，反之也成立．因此“A∩B≡∅”是“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”的充要条件．故选：C．18．已知函数f（x）定义域为D，区间（m，n）⊆D，对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：“”⇔（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，⇔x1﹣x2与f（x1）﹣f（x2）同号．∴对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的充要条件．故选：B．19．（4分）给出下列说法：（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．那么其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；不满足否命题的形式，应该为：若a、b不都是奇数，则a+b不是偶数．所以（1）不正确；对于（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；满足集合的交集与并集的关系，正确；对于（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．根据逆否命题的等价性可知，条件可转化为x+y=3是x=1且y=2的条件关系，当x=1且y=2，有x+y=3成立．但x+y=3时，比如x=2，y=1时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2不成立．∴x+y=3是x=1且y=2成立的必要不充分条件．即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．正确．故选：C．三、解答题：（共5大题，满分44分）20．（6分）已知集合A={x||x﹣2|＜a}，集合，且A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：由≤1，化为：≤0，解得﹣2≤x≤3，即B=[﹣2，3]．a≤0时，A=∅，满足A⊆B，因此a≤0适合题意．a＞0时，A=[2﹣a，2+a]，A⊆B，∴﹣2≤2﹣a，2+a≤3，a＞0，解得0＜a≤1．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，1]．21．（8分）一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．（1）求f（x）（2）当x∈[1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．【解答】解：（1）一次函数f（x）是R上的增函数，可设f（x）=ax+b，（a＞0）；∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5，∴，解得或（不合题意舍去）；∴f（x）=4x+1；（2）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x2+（4m+1）x+m，是二次函数，开口向上，且对称轴为x=﹣，①当﹣≤1，即m≥﹣时，g（x）在[1，3]上是单调增函数，令g（x）max=g（3）=39+13m=13，解得m=﹣2，符合题意；②当﹣＞1，即m＜﹣时，g（x）max=g（1）=5+5m=13，解得m=，不符合题意；由①②可得m=﹣2．22．（10分）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．23．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣2（a+1）（a∈R）．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，并求此两交点之间距离的最小值；（2）若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（1）证明：∵f（x）=x2﹣2ax﹣2（a+1）（a∈R），∴△=4a2﹣4×（﹣2）（a+1）=4（a+1）2+4＞0恒成立，∴函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，设A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=2a，x1x2=﹣2（a+1），则|AB|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4（a+1）2+4≥4（当且仅当a=﹣1时取等号），∴|AB|min=2．（2）解：若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，则x2﹣2ax﹣2（a+1）+3=x2﹣2ax﹣2a+1≥0（x＞﹣1）恒成立，分离参数a得：2a（x+1）≤x2+1（x＞﹣1）恒成立，∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴2a≤（）min，∵=x+1+﹣2≥2﹣2=2﹣2，∴（）min=2﹣2，∴a≤﹣1．24．（10分）已知函数f（x）=lg（x2﹣mx﹣m）．（1）若m=1，求函数f（x）的定义域；（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=lg（x2﹣x﹣1），必有x2﹣x﹣1＞0，解可得x＞或x＜，则函数f（x）=lg（x2﹣x﹣1）的定义域为{x|x＞或x＜}；（2）根据题意，若f（x）在（1，+∞）上是增函数，则必有，解可得m≤2，则实数m的取值范围为{m|m≤2}．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
高一数学上学期期中考试试题及参考答案（AP班）
高一数学上学期期中考试试题及参考答案（AP班）高一年级上学期期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合S ＝{1，3，5}，T ＝{3，6}，则S T 等于A. φB. {3}C.{1，3，5，6}D. Ｒ2. 函数f （x ）＝x -12的定义域是A. （－∞，1）B. (]1,∞-C. ＲD. （－∞，1）()∞+，13. 下列函数中在其定义域上是偶函数的是A. y ＝2xB. y ＝x 3C. y ＝x 21D. y ＝x 2-4. 下列函数中，在区间（0，＋∞）上是增函数的是A. y ＝－x 2B. y ＝ x 2－2C. y ＝221??? ?? D. y ＝log 2x 1 5. 已知函数f （x ）＝x ＋1，x ∈Ｒ，则下列各式成立的是A. f （x ）＋f （－x ）＝2B. f （x ）f （－x ）＝2C. f （x ）＝f （－x ）D. –f （x ）＝f （－x ）6. 设函数f （x ）＝a x -（a>0），且f （2）＝4，则A. f （－1）>f （－2）B. f （1）>f （2）C. f （2）<="">D.f （－3）>f （－2）7. 已知a ＝log 20.3，b ＝23.0，c ＝0.32.0，则a ，b ，c 三者的大小关系是A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a8. 函数f （x ）＝log a （x －2）＋3，a>0，a ≠1的图像过点（4，27），则a 的值为 A. 22 B. 2 C. 4 D. 21 9. 当0<a</aB. log a 0.1> log a 0.2C. a 2D. log a 2< log a 310. A semipro baseball league has teams with 21 players each. League rules state that a player must be paid at least ＄15，000，and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed ＄700，000. What is the maximum possible salary ，in dollars ，for a single player ？A. 270，000B. 385，000C. 400，000D. 430，000E.700，000二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
数学卷·2014届上海市重点中学高一上学期期中考试
上海市重点中学2012-2013学年度第一学期高一数学期中试卷（满分100分，90分钟完成. 答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，A {}1,2,3=，B {}4,3,2=，那么B ∩()U A = .2. 满足条件{0,1,2}{0,1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有 个.3. 在①1⊆{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0}⊆{0}；④≠⊂∅∅；⑤∅{0}上述五个关系中，错误的个数是 .4. 已知,a b 都是整数，命题P 的否命题是“如果,a b 都是奇数，则a b +是偶数”，那么命题P 的逆命题是 .5. 不等式12x ≤的解为________ .6. 不等式|5|5>的解为________ .7. 已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 8. 已知f (x )的定义域是[0,1]，则(1)f x +的定义域为 . 9. 设集合{0}M x x m =-<，2{(2)3,}N x x y y R ==+-∈，若M N =∅，则实数m 的取值范围是________________ .10. 设U 为全集，A 、B 为U 的子集，在答题纸上用阴影表示A ∪()U B .11. 已知函数2()23f x ax ax =+-对任意实数x 都有()0f x <成立，则实数a 的取值范围是 .12. 若0a >，0b <，143a b-=，则ab 的最小值为__________.13. 设实数x 、y 满足23y ≤，12，则使得34x a b y ≤≤恒成立的b 的最小值是 .14. 已知2()f x x ax b =++，,a b R ∈，{(),}(2,4)A x x f x x R =>∈=-，试用区间表示{[()],}B x x f f x x R =>∈= .二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）15. “0,0a b >>”是“a b +≥成立的 （ ） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件16. 设集合{||1,}A x x a x R =-<∈，{||2,}B x x b x R =->∈，若A B ⊆，则实数,a b 必满足（ ）A . ||3a b +≤B . ||3a b +≥C . ||3a b -≤D . ||3a b -≥ 17. 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) A . 11()()a b a b++≥4 B . 3322()a b ab a b ++≥C . 22222a b a b +++≥D . 3322a b ab +≥18. 设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”. 先给出以下四个命题： （1） 若(3)9f ≥，则(4)16f ≥； （2） 若(3)10f =，则(5)25f >； （3） 若(5)25f =，则(4)16f ≤； （4） 若2()(1)f x x +≥，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为 （ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个三、解答题(本大题共4题，满分42分8’+8’+12’+14’=42’)19. 已知函数()||f x x a =-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，解不等式2()(5)82f x f x x ++>-.20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()()01035kC x x x =+≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求出最小值．21．已知,,,(0,)a b x y ∈+∞.（1）求证：222()a b a b x y x y+++≥，并指出等号成立的条件； （2）利用此不等式求函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值，并求出相应的的x 值.22. 集合{}2231, ,A m n m n Z =+-=∈. （1）证明：若a A ∈，则1Aa ∈A ；（2）对于实数p 、q ，如果1p q <≤，证明：112p q p q<++≤；并由此说明A 中元素b 若满足12b <+≤2b =+（3）设c A ∈，试求满足22(2c <+≤的A 的元素.参考答案一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）1. 已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}1,2,3=，B {}4,3,2=，那么B ∩()U C A = . 答案：{4}2. 满足条件{0,1,2}{0,1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有 个. 答案：83. 在①1⊆{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0}⊆{0}；④φφ；⑤φ{0}上述五个关系中，错误的个数是 . 答案：34. 已知,a b 都是整数，命题P 的否命题是“如果,a b 都是奇数，则a b +是偶数”，那么命题P 的逆命题是 .答案：“如果a b +是奇数，则,a b 不都是奇数” . 5. 不等式12x≤的解为________ . 答案：1(,0)[,)2-∞⋃+∞6.不等式|5|5>的解为________ .答案：[0,25)7. 已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 答案：-18. 已知f (x )的定义域是[0,1]，则(1)f x +的定义域为 . 答案：[1,0]-9. 设集合{0}M x x m =-<，2{(2)3,}N x x y y R ==+-∈，若M ∩N =Φ，则实数m 的取值范围是________________ . 答案：(,3]-∞-10. 设U 为全集，A 、B 为U 的子集，在答题纸上用阴影表示A ∪()u C B . 答案：11. 已知函数2()23f x ax ax =+-对任意实数x 都有()0f x <成立，则实数a 的取值范围是 . 答案：(3,0]- 12. 若0a >，0b <，143a b-=，则ab 的最小值为__________. 答案：3-13. 设实数x 、y 满足2≤x y ⋅≤3，1≤xy ≤2，则使得34x a b y ≤≤恒成立的b 的最小值是 .[答案] 4. ∵34x y=2()x y -⋅⋅4()x y ∈[19，4] 14. 已知2()f x x ax b =++，,a b R ∈，{(),}(2,4)A x x f x x R =>∈=-，试用区间表示{[()],}B x x f f x x R =>∈= .答案：(22,2)(22,4)--二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）15. “0,0a b >>”是“2a b ab +≥”成立的 （ ） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案：A16. 设集合{||1,}A x x a x R =-<∈，{||2,}B x x b x R =->∈，若A B ⊆，则实数,a b 必满足（ ）A . ||3a b +≤B . ||3a b +≥C . ||3a b -≤D . ||3a b -≥ 答案：D17. 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) A . )11)((ba b a ++≥4 B . 3322()a b ab a b +≥+C . 222++b a ≥b a 22+D . 33b a +≥22ab 答案：D18. 设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”. 先给出以下四个命题： （5） 若(3)9f ≥，则(4)16f ≥； （6） 若(3)10f =，则(5)25f >； （7） 若(5)25f =，则(4)16f ≤； （8） 若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为 （ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 答案：C三、解答题(本大题共4题，满分42分8’+8’+12’+14’=42’)19. 已知函数()||f x x a =-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，解不等式2()(5)82f x f x x ++>-.解：（1）||333x a a x a -≤⇒-≤≤+，∴31a -=-且35a +=，得2a =. 2分 （2）()|2|f x x =-，31, 32()(5)2|2||3|7, 3231, 2x x f x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪++=-++=-+-<≤⎨⎪->⎩5分当3x ≤-时，3182x x -+>-⇒7x <-当32x -<≤时，782x x -+>-⇒1x >，∴12x <≤ 当2x >时，3182x x ->-⇒95x >，∴2x > 综上，7x <-或1x > 8分20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()()01035kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求出最小值．解：（1）据题意，(0)8C =⇒k =40 1分40800()62063535f x x x x x =+⋅=+++，010x ≤≤ 3分（2）800()2(35)10107035f x x x =++-≥=+ 6分 当且仅当8002(35)35x x +=+，即5x =时等号成立. 7分 所以，当修建5厘米厚的隔热层时，所求总费用的最小值为70万元. 8分21．已知,,,(0,)a b x y ∈+∞.（1）求证：222()a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件； （2）利用此不等式求函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值，并求出相应的的x 值. 解：（1）2222()()()a b a b ay bx x y x y xy x y +-+-==++ 3分 ∵ ,,,(0,)a b x y ∈+∞ ∴ ()0xy x y +>，2()0ay bx -≥222()a b a b x y x y++≥+ 4分 等号当且仅当ay bx =时成立. 6分（2） 22949(23)()2512212212f x x x x x x x+=+=+≥=--+- 9分 等号当且仅当2(12)32x x -=⋅即11(0,)52x =∈时成立. 11分 所以，15x =时，()f x 的最小值为25. 12分22. 集合{}2231, ,A m n m n Z =+-=∈. （1）证明：若a A ∈，则1Aa ∈A ； （2）对于实数p 、q ，如果1p q <≤，证明：112p q p q<+≤+；并由此说明A 中元素b 若满足12b <≤+2b =；（3）设c A ∈，试求满足22(2c <≤+的A 的元素.解：（1）证明：若a A ∈，则a m =+，,m n Z ∈，且2231m n -=于是1(m n a ===+-,m n Z -∈，且223()1m n --=， ∴1A a ∈. 2分((23)(2m m n n m =+=-+-23,2m n n m Z --∈， 且2222(23)3(2)31m n n m m n ---=-=，A . 4分（2）由1p q <≤，则21(1)20p p p p -+-=>，111()()()0pq p q p q p q pq-+-+=-⋅≤∴112p q p q <+≤+. 6分若满足12b <≤124b b<+≤；又b A ∈，设b m =+,m n Z ∈，且2231m n -= 则12(2,4]2b m m b+=∈⇒=；又22311m n n -=⇒=±，∴2b =1b >，得2b = 10分（3）22(212c ≤+⇒<≤1A ， 12分由（22=，2(27c =+=+227341-⋅=，所以A 中元素为7+。
上海格致初级中学数学高一上期中经典练习(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：11828]已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．(0分)[ID ：11821]若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．(0分)[ID ：11811]若35225a b ==，则11a b+=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．24．(0分)[ID ：11808]已知函数()1ln 1xf x x-=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．(0分)[ID ：11799]已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)76．(0分)[ID ：11755]函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．(0分)[ID ：11788]已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]8．(0分)[ID ：11785]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．(0分)[ID ：11772]已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33210．(0分)[ID ：11762]已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ）A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数11．(0分)[ID ：11743]设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．(0分)[ID ：11741]设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)213．(0分)[ID ：11804]已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．214．(0分)[ID ：11781]函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．15．(0分)[ID ：11754]若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题16．(0分)[ID ：11927]如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.17．(0分)[ID ：11906]1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．18．(0分)[ID ：11897]己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4x f x =，5()(2019)2f f -+的值是____.19．(0分)[ID ：11895]若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________.20．(0分)[ID ：11882]函数6()12log f x x =-__________．21．(0分)[ID ：11868]已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．22．(0分)[ID ：11865]已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．23．(0分)[ID ：11837]已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________．24．(0分)[ID ：11926]已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.25．(0分)[ID ：11863]若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：12021]已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数2()log 2x f x =⋅的最大值和最小值．27．(0分)[ID ：11983]2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.28．(0分)[ID ：11981]已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域 29．(0分)[ID ：11979]已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.30．(0分)[ID ：12024]计算下列各式的值：（1）()1112327102π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg52lg2lg5lg2-++++⋅．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．A4．D5．C6．D7．A8．C9．B10．C11．C12．D13．D14．A15．B二、填空题16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a＝－5∴a＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于17．2【解析】【分析】先求f（2）再根据f（2）值所在区间求f（f（2））【详解】由题意f（2）=log3（22–1）=1故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数18．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（）结合解析式求出f（）的值又因为f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据19．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握20．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(421．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关22．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性23．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数，而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．5．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.6．D解析：D 【解析】【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）；∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.10．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．12．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.13．D解析：D【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．14．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．15．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到221414ax x x ax++=+-.【详解】()f x 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()222sin ln 14sin ln14sin ln14x ax xx x ax x x ax⋅++=-⋅+=⋅+-221414ax x x ax∴++=+-恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a＝－5∴a＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】∵f(x)定义域为[3＋a，5]，且为奇函数，∴3＋a＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．17．2【解析】【分析】先求f（2）再根据f（2）值所在区间求f（f（2））【详解】由题意f（2）=log3（22–1）=1故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2【解析】【分析】先求f（2），再根据f（2）值所在区间求f（f（2））.【详解】由题意，f（2）=log3（22–1）=1，故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.18．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f（﹣）＝f （﹣）＝﹣f（）结合解析式求出f（）的值又因为f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据解析：2【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f（﹣52）＝f（﹣12）＝﹣f（12），结合解析式求出f（12）的值，又因为f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝0；据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f （﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0 ，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x ，则f （12）＝124＝2，则f （﹣52）＝﹣f （12）＝﹣2； 则5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为：﹣2 【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．19．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.20．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤<故函数()f x的定义域为：(． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 21．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．22．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．23．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】 因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题 26． 最小值为14-，最大值为2. 【解析】 【分析】 由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭.当23log ,2x = ()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．27．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元. 【解析】 【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可. 【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+，当20x时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元. 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.28．（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由函数为奇函数可得()312f =,()312f -=-，再联立解方程组即可得解； （2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可； （3）由函数()f x 在[]2,1--上为增函数，则可求得函数的值域. 【详解】解：（1）由函数()212ax f x x b+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-，即22113212(1)132(1)2a b a b ⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x+=，则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数； 证明如下： 设121x x <≤-，则12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212()(21)2x x x x x x --=，又因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >， 即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <， 故()f x 在(],1-∞-上为增函数；（3）由（2）得：函数()f x 在[]2,1--上为增函数，所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93()42f x -≤≤-，故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.29．(1) 1a = (2) [)4,+∞ 【解析】 【分析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解.【详解】（1）因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0=，解得1a =.（2）由（1）可得())2log f x x =，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< . 因为奇函数())22log log f x x ==，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭， 因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫-⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-， 因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 30．（1）9512；（2）3. 【解析】【分析】 (1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值.【详解】（1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）． （2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=． 【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案） 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
上海市格致中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题Word版缺答案
格致中学二○一四学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷（共4页）一、填空题：（每小题4分，满分40分） 1．函数()f x =的定义域为．2．设集合{}012M =，，，{}2|320N x x x =-+≤，则M N =．3．不等式组(2)01x x x +>⎧⎪⎨<⎪⎩的解集为．4．（理科班与平行班做）已知集合{}14A x =，，，{}21B x =，，其中x N ∈．共A B A =，则x =．（创新班做）已知全集U N =，集合{}14A x =，，，集合{}1B x =，，若U UA B Ü痧，则x =．5．（理科班与平行班做）已知函数()f x 为奇函数，且当0x <时，21()f x x x=-，则(1)f =．（创新班做）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，3()()2g x f x ax =++，若(2)6g =，则(2)g -=．6．平面直角坐标系中，若点3111a a a +⎛⎫- ⎪-⎝⎭，在第三象限内，则实数a 的取值范围是．7．（理科班与平行班做）已知集合{}2|60M x x x =+-=，{}|20N y ay a =+=∈R ，，若满足MN N =的所有实数a 形成集合为A ，则A 的子集有个；（创新班做）定义b a -为区间()a b ，()a b a b ∈<R ，，的长度．则不等式234124x x x ->+的所有解集区间的长度和为；8．若不等式20x ax b ++<的解集为(31)--，，则不等式210bx ax ++≤的解集为． 9．（理科班与平行班做）若a 、b 为正实数，且3a b ab ++=，则ab 的最小值为． （创新班做）已知正数x 、y 满足：20x y xy +==，则2x y +的最小值为；10．若集合{}{}1234a b c d =，，，，，，，且下列四个关系：⑴1a ≡；⑵1b ≡/；⑶3c ≡；⑷4d ≡/有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组()a b c d ，，，的个数是． 二、选择题：（每小题4分，满分16分）11．若集合1131010A xx x ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭N ，，集合{}5B x x x =∈Z ，≤，则集合A B 中的元素个数为 （） A ．11B ．13C ．15D ．1712．设函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数与偶函数，函数()f x 的零点个数为F ，()g x 的零点个数为G ，且F 、G 都是常数．则下列判断正确的是（）A ．F 一定是奇数，G 可能是奇数；B ．F 可能是偶数，G 一定是偶数；C ．F 一定是奇数，G 一定是偶数；D ．F 可能是偶数，G 可能是奇数．13．（理科班与平行班做）设全集为U ，对于集合A ，B ，则“A B ≡∅”是“存在集合C ，使得A C Ü且U B C Üð且U B C Üð”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（创新班做）已知函数()f x 定义域为D ，区间()m n D ⊆，，对于任意的1x ，2()x m n ∈，且12x x ≠，则“()f x 是()m n ，上的增函数”是“1212()()0f x f x x x ->-”的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件14．给出下列说法：⑴命题“若a 、b 都是奇数，则a b +是偶数”的否命题是“若a 、b 都不是奇数，则a b +不是偶数”；⑵命题“如果A B A =，那么A B B =”是真命题； ⑶ “1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的必要不充分条件． 那么其中正确的说法有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三、解答题：（共5大题，满分44分）15．（本题满分6分）已知集合{}2A x x a =-<，集合2121x B xx ⎧-⎫=⎨⎬+⎩⎭≤，且A B ⊆，求实数a 的取值范围．16．（本题满分8分，第⑴题3分，第⑵题5分）一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()g x f x x m =+，已知[]()165f f x x =+． ⑴求()f x ；⑵当[]13x ∈，时，()g x 有最大值13，求实数m 的值． 17．（本题满分10分，第⑴题6分，第⑵题4分）设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+．记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ．⑴求MN ；⑵当x MN ∈时，求证：221`()()4x f x x f x ⎡⎤+⎣⎦≤．18．（本题满分10分，第⑴题4分，第⑵题6分）已知函数2()22(1)()f x x ax a a =--+∈R ．⑴求证：函数()f x 的图象与x 轴恒有两个不同的交点A 、B ，并求此两交点之间距离的最小值；⑵若()30f x +≥在区间(1)-+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围． 19．（本题满分10分，第⑴题5分，第⑵题5分）⑴求证：当且仅当1m =-时，函数()f x 的奇函数； ⑵若()f x 在(1)+∞，上是增函数，求实数m 的取值范围．。
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析没有明显有问题的段落需要删除，只需修改格式错误和语言表达不清的地方。
XXX2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、已知集合$S=\{x|x+1\geq2\}$，$T=\{-2,-1,0,1,2\}$，则$S\cap T=$（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{1,2\}$。
C。
$\{0,1,2\}$。
D。
$\{-1,0,1,2\}$解题思路】：题目给出了集合$S$和$T$，需要先求出它们的具体表达内容，再求它们的交集。
$S$是一次函数不等式的解，$S=\{x|x\geq1\}$；$S\cap T=\{1,2\}$，故选B。
2、用阴影部分表示集合$C\cup A\cup B$，正确的是（）解题思路】：题目给出了四个图形，需要判断哪个图形表示$C\cup A\cup B$。
利用XXX求解，A中阴影部分表示$C\cup(A\cup B)$，B中阴影部分表示$(C\cup A)\cap B$，C中阴影部分表示$A\cap B$，D中阴影部分表示$C\cup A\cup B$，故选D。
3、函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域是（）A。
$(1,+\infty)$。
B。
$[1,+\infty)$。
C。
$(0,+\infty)$。
D。
$[0,+\infty)$解题思路】：题目给出了函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$，需要求出它的定义域。
由$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>0$得$x-1>0$，即$x>1$，故选A。
4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A。
$y=-|x|$。
B。
$y=x$。
C。
$y=|x|$。
2014-2015学年上海中学高三上学期期中考试试卷
2014-2015学年上海中学高三上学期期中考试试卷1.已知集合A ＝{x|1≤x ≤4}，B ＝Z 为整数集，则A ∩B ＝_______．2．函数y ＝cos 2x−sin2x 的最小正周期为_______．3．函数y ＝x 2−1（x ＜−1）的反函数是_______．4．若函数f （x ）＝x 2＋|x ＋2a−1|＋a 的图象关于y 轴对称，则实数a_______．5．已知log a b ＝−1，则a ＋2b 的最小值是_______．6．幂函数f （x ）＝（m 2−m ＋1）x m 的图象与y 轴没有交点，则m ＝_______．7．偶函数f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，且f （3）＝0，若f （2x−1）＜0，则实数x 的取值范围是_______．8．不等式(21)＜(21)恒成立，则a 的取值范围是_______ ．9．若函数f （x ）＝cos2x ＋asinx 在区间（6π，2π）是减函数，则a 的取值范围是_______． 10．已知f （x ）是定义在[−2，2]上的函数，对于任意实数x 1，x 2∈[−2，2]，且x 1≠x 2时，11．设函数f （x ）＝x 2＋log a （bx ＋221x b +），若f （2）＝4.7，则f （−2）_______． 12．已知AB ＝2，∠B ＝60°，AC ＝b ，若b ∈M 时△ABC 能唯一确定，则集合M ＝_______．13．已知P 1（x 1，x 2），P 2（x 2，y 2）是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ（θ为钝角）．若sin （θ＋4π）＝53，则的x 1x 2＋y 1y 2值为_______． 14．若定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，f （x−2）是偶函数，且当0＜x ≤2时，f （x ）＝3x ，则方程f （x ）＝f （3）在区间（0，16）上的所有实数根之和是_______．二、选择题（每小题5分，总分20分）A 、f （x ）是偶函数B 、f （x ）是（−∞，＋∞）上的增函数C 、f （x ）是周期函数D 、f （x ）的值域为[−1，＋∞）16．已知a ，b 都是实数，那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件17．若M ＝{（x ，y ）||tan πy|＋sin 2πx ＝0}，N ＝{（x ，y ）|x 2＋y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）A 、4B 、5C 、8D 、9 18．已知f （x ）＝3x 2−x ＋4，f[g （x ）]＝3x 4＋18x 3＋50x 2＋69x ＋48，那么整系数多项式函数g （x ）的各项系数和为（ ）A 、8B 、9C 、10D 、11三、解答题（总分74分）20．解下列不等式：（1）|x−1|＋|x−2|＜2；（2）0＜x−x1＜1．成立，其中等号当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时成立．（1）试判断y ＝x 2是否为R 上的凹函数，并说明理由；（2）若x 、y 、z ∈R ，且x ＋y ＋2z ＝8，试求x 2＋y 2＋2z 2的最小值并指出取得最小值时x 、y 、z 的值．（1）若g（x）是奇函数，试求f（x）在R上的值域；（2）若方程g（x）＝x有两个不相等的实根，当b＞0时，判断f（x）在（−1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）＝x的两实根为x1，x2，f（x）＝0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x 2＜x4成立的a的取值范围.23．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a≤b≤c，（1）若b2＝ac，求角B的取值范围；（2）求证：以a，b，c为长的线段能构成锐角三角形；（3）当0≤x≤1时，以a x、b x、c x为长的线段是否一定能构成三角形？写出你的结论，并说明理由．。
2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为．2．（4分）过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为．3．（4分）已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为．4．（4分）关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为．5．（4分）等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6=．6．（4分）据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB 型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为．7．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．8．（4分）某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为．9．（4分）双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长．10．（4分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=，展开式中的常数项为．（用数字作答）11．（4分）函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f （x）+f﹣1（x）的定义域为．12．（4分）已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有个．13．（4分）对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n 的最大值为．14．（4分）已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为．二、选择题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．17．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．418．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．20．（14分）已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．21．（14分）已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．22．（16分）对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．23．（18分）若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为{0，1，3} ．【解答】解：a=0，A=∅，满足题意；a≠0，A={x|ax﹣3=0，a∈Z}={}，x=1时，a=3；x=3时，a=1，故答案为：{0，1，3}．2．（4分）过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+3=0．【解答】解：∵与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，∴过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为：y﹣2=（x﹣1），整理，得x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．3．（4分）已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为{，} ．【解答】解：∵由题意可得：=π，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）=1，可解得：sin（2x+）=，∵x∈（0，π]，∴2x+∈（，]，∴2x+=或，即：x={，}．故答案为：{，}．4．（4分）关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：∵的解集为R，∴x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，∴△=4+4a＜0，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．5．（4分）等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6=32．【解答】解：∵{a n}是首项为1的等比数列，S n为{a n}的前n项和，S6=9S3，∴=9×，解得q=2，∴a6=25=32．故答案为：32．6．（4分）据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB 型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为0.64．【解答】解：对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知得：P（A′）=0.28，P（B′）=0.29，P（C′）=0.08，P（D′）=0.35，∵B、O型血可以输给B型血的人，∴“可以输血给小明”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P（B′∪D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64，∴任找一个人，其血可以输给小明的概率为0.64．故答案为：0.64．7．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为3．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．8．（4分）某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为6．【解答】解：根据题意，得：该三棱锥的直观图如图所示，∴该三棱锥的左视图是底面边长为4，对应边上的高为3的三角形，它的面积为×4×3=6．故答案为：6．9．（4分）双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长2．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=8x，得抛物线的焦点坐标F（2，0），即双曲线的右焦点坐标为F（2，0），双曲线的渐近线方程为．不妨取y=，化为一般式：bx﹣ay=0．则，即4b2=a2+b2，又a2=4﹣b2，联立解得：a2=3，∴a=．则双曲线的实轴长为．故答案为：．10．（4分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．11．（4分）函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f （x）+f﹣1（x）的定义域为[4，5] ．【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，即f（x）∈[4，9]，由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，所以，f﹣1（x）的定义域为[4，9]，因此，函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为：[3，5]∩[4，9]，即[4，5]，故答案为：[4，5]．12．（4分）已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有5个．【解答】解：∵集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，∴2不在A中，5不在B中，则A={1，5}，B={2，3，4，6，7}；A={3，5}，B={1，2，4，6，7}；A={4，5}，B={1，2，3，6，7}；A={5，6}，B={1，2，3，4，7}；A={5，7}，B={1，2，3，4，6}．∴满足条件的A有5个．故答案为：5．13．（4分）对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n 的最大值为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4．故答案为：4．14．（4分）已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为钝角．【解答】解：∵△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，∴由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，∴A1，B1，C1均为锐角，∴△A1B1C1为锐角三角形，∵A1，B1，C1∈（0，），∴cosA1，cosB1，cosC1∈（0，1）∴sinA2，sinB2，sinC2∈（0，1）∴A2，B2，C2≠，∴△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，则cosA1=sinA2=cos（A2），cosB1=sinB2=cos（﹣B2），cosC1=sinC2=cos（﹣C2），∵A2，B2，C2均为锐角，∴﹣A2，﹣B2，﹣C2也为锐角，又∵A1，B1，C1均为锐角，∴A1=﹣A2，B1=﹣B2，C1=﹣C2三式相加得π=，不成立∴假设不成立，△A2B2C2不是锐角三角形综上，△A2B2C2是钝角三角形．∴两个三角形六个内角中的最大值为钝角．故答案为：钝角．二、选择题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，∴z1•z2=（a+bi）（c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i，若z1•z是实数，则ad+bc=0，若z1、z2互为共轭，则b=﹣d，由ad+bc=0推不出b=﹣d，由b=﹣d推不出ad+bc=0，故“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的既不充分也不必要条件，故选：D．16．（5分）数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．【解答】解：由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同，故选：B．17．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x﹣a（x＞0），即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，∴﹣log22+a﹣log24+a=1，解得，a=2，故选：C．18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选：D．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．【解答】解：（1）∵=AB×AA 1×AC=AA1=4，∴AA1=3．（2）∵B1A1⊥C1A1，B1A1⊥A1A，A1A∩B1A1=A1，∴B1A1⊥平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴B1A1⊥CA1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，设C1到平面A1B1C 的距离为h，∴A1C==，∵=，=h=×2××h，B1×C1A1×CC1=2×2×3，=×A∴×2××h=2×2×3，解得：h=．故C1到平面A1B1C的距离．20．（14分）已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．【解答】解：（1）cos2θ=cos2θ﹣sin2θ====．===3；（2）由，且．∴sinθ=，cosθ=．∴，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，化为：cosΦ+5××sinΦ=3cosΦ，∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，∴tanΦ=1，∴Φ=．21．（14分）已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．【解答】解：（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，∴|OP|=2，∴点P的轨迹方程是x2+y2=4；（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，设∠T1OP=α，t=OP2，∵，∴（﹣）•（﹣）=λ，∴2cos2α﹣2OPcosα+OP2=λ，∴+t﹣6=λ，∴t2﹣（6+λ）t+8=0，∴t=（另一根舍去），∴M的面积S==．22．（16分）对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，=an+b﹣a n，∴a n+1a n+2=a（n+1）+b﹣a n+1=（an+a+b）﹣（an+b）+a n=a+a n，﹣a n=a，∴a n+2∴数列{a n}是“弱等差数列”．∵a1=t，a2=s，a n+2﹣a n=a，∴{a n}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，∴a n=．解：（2）∵当t=1，s=3时，数列{a n}是等差数列，∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，∴，解得a=4，b=0，∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴S n=2n+=n2+n．（3）∵s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，∴a2k+1∴a＞s﹣t．∴a的取值范围是（s﹣t，+∞）．23．（18分）若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．【解答】解：（1）因为2x比1接近3，所以|2x﹣3|＜|1﹣3|，即|2x﹣3|＜2，解得＜x＜，所以，x的取值范围为：（，）；（2）分类讨论如下：①当x2﹣2x比x接近于0时，|x2﹣2x|＜|x|，解得，x∈（1，3），②当x比x2﹣2x接近于0时，|x2﹣2x|＞|x|，解得，x∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞），所以，f（x）=，画出f（x）的图象，如右图，因为方程f（x）=a有两个实根，根据函数图象得，a∈（﹣1，0）∪（0，1）；（3）对两式，平方作差得，△=（）2﹣（）2==，因为a，b∈R，m＞0且a≠b，所以，△＞0恒成立，所以，＞||，即比接近0．。
上海市格致中学2024-2025学年高一上学期第一次测验数学试卷(含答案)
格致中学 二○二四学年度第一学期第一次测验高一年级 数学试卷（共4页）（测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷）友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利一、填空题：（本题共有10个小题，每小题4分，满分40分）1．不等式的解集为______．2．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，则的值为______．3．设，，，若，则______．4．设，则“”是“”的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5的解集为______．（用列举法表示）6．给出下列关系式，其中正确的是______（填序号）．①；②；③；④；⑤．7．设集合，则集合的非空真子集的个数为______．8．若不等式恒成立，则实数的取值范围是______．9．已知对于实数，满足且，则的最大值为______．10．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为______．二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）11．用反证法证明命题“已知是正整数，如果能被7整除，那么至少有一个能被7整除”时，第一步应该假设的内容是（ ）A ．只有一个能被7整除B ．都不能被7整除C ．都能被7整除D ．只有不能被7整除12．若，则下列结论不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11x≤x 2310x x --=12,x x 1211x x +,a b ∈R {}1,P a ={}1,Q b =--P Q =a b -=,a b ∈R 2b a <220a bb->20y ++={}a ∅⊆{}a a ⊆{}{}a a ⊆{}{},a a b ∈{}{},a ∅⊆∅{}21,14,M a x a x x =-=≤≤∈Z M 24223x mx x +<-+m ,x y 2x y +≤3x y -≤3x y -()()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,1,0A =--(){},2,1,,B x y x y x y =≤≤∈Z ()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈A B ⊕,x y xy ,x y ,x y ,x y ,x y x 110a b<<0a b +<22a b <2ab b <2ab a <13．若关于的不等式的解集为，则的值（ ）A ．与有关，且与有关B ．与有关，但与无关C ．与无关，且与无关D ．与无关，但与有关14．设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题：（本题共有5大题，满分44分。
2014-2015学年上海中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝ ．2．所谓弧的度数指的是弧所对的圆心角的度数，如图，BC ̂，CF ̂的度数分别为62°，68°，则∠BAF +∠DCE ＝ ．3．已知函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ＝ ． 4．方程sin x +cos x ＝﹣1的解集是 ． 5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= ． 6．设函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x2)+cos2x ，若|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，则实数m 的取值范围为 ．7．若动直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为 ．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为 ．9．将函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的形式后，振幅为1，则α﹣β＝ ．10．若函数f （x ）＝cos x +|sin x |（x ∈[0，2π]）的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 ．11．设0＜x ＜π2，则函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 ． 二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（ ） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ）C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）13．下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=|tan x2|C ．f （x ）＝|sin2x |D ．f(x)=sin(x +π3)cosx14．已知cos(arcsina)=√32，tan(arccosb)=−√3，且sinx 1−cosx=a +b ，则角x ＝（ ）A ．x =2kπ−π2，k ∈ZB ．x =2kπ+π2，k ∈ZC ．x ＝2k π，k ∈ZD ．x ＝2k π+π，k ∈Z15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)．（1）求实数b 的值； （2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．17．已知函数f(x)=√3(sin 2x −cos 2x)−2sinxcosx ． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设x ∈[−π3，π3]，求f （x ）的单调区间．18．已知函数f （t ）=√1−t 1+t，g(x)=cosx ⋅f(sinx)+sinx ⋅f(cosx)，x ∈(π，17π12)．（Ⅰ）将函数g （x ）化简成A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式； （Ⅱ）求函数g （x ）的值域．19．（1）如图1，矩形ABCD 中AB ＝1，AD ＞1且AD 长不定，将△BCE 沿CE 折起，使得折起后点B 落到AD 边上，设∠BCE ＝θ，CE ＝L ，求L 关于θ的函数关系式并求L 的最小值．（2）如图2，矩形ABCD 中AB ＝1．将矩形折起，使得点B 与点F 重合，当点F 取遍CD 边上每一个点时，得到的每一条折痕都与边AD 、CB 相交，求边AD 长的取值范围．20．已知函数f（x）＝a（|sin x|+|cos x|）+4sin2x+9，若f(9π4)=13−9√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期（不需证明最小性）；（3）是否存在正整数n，使得f（x）＝0在区间[0，nπ2)内恰有2015个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝45．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin θ的值．解：∵角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），∴x ＝3t ，y ＝4t ，r ＝|OP |＝5t ， 则sin θ=y r =45， 故答案为：45．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．所谓弧的度数指的是弧所对的圆心角的度数，如图，BC ̂，CF ̂的度数分别为62°，68°，则∠BAF +∠DCE ＝ 65° ．【分析】连接DF ，则∠DCE ＝∠DFE ，∠BAF +∠DCE ＝∠BAF +∠DFE ＝∠BDF ，即可得出结论．解：连接DF ，则∠DCE ＝∠DFE ，∴∠BAF +∠DCE ＝∠BAF +∠DFE ＝∠BDF ， ∵BĈ，CF ̂的度数分别为62°，68°， ∴∠BDF =12(62°+68°)=65°，故答案为65°．【点评】本题考查圆周角定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础， 3．已知函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ＝π6．【分析】由题意利用三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性可得−2π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，即φ＝k π+7π6，k ∈Z ，由此求得φ的值． 解：∵函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，∴−2π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，即φ＝k π+7π6，k ∈Z ， 结合0＜φ＜π，则φ=π6， 故答案为：π6．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 4．方程sin x +cos x ＝﹣1的解集是 {x |x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z } ．【分析】先利用两角和公式对 sin x +cos x 化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集．解：sin x +cos x =√2（ √22sin x +√22cos x ）=√2sin （x +π4）＝﹣1∴sin （x +π4）=−√22∴x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z故答案为：{x |x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z }．【点评】本题主要考查了终边相同的角、正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= cos θ2 ．【分析】利用二倍角余弦公式的变形进行转化去根号是解决本题的关键，即将被开方数进行升幂转化，结合角所在的象限进行开方化简． 解：由于π＜θ＜3π2，则π2＜θ2＜3π4， ∴cos θ＜0，sin θ2＞0，cos θ2＜0，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ=√12+12√cos 2θ−√1−2sin θ2cos θ2=√1−cosθ2−√(sin θ2−cos θ2)2=sin θ2−|sin θ2−cos θ2| ＝sin θ2−sin θ2+cosθ2=cos θ2．故答案为：cos θ2．【点评】本题考查二倍角余弦公式的变形公式的运用，考查三角函数的基本关系式的应用，诱导公式带根号问题的处理方法，考查学生的转化与化归思想和方法，注意角所在象限对三角函数正负的影响，是中档题．6．设函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x 2)+cos2x ，若|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，则实数m 的取值范围为 （0，5） ．【分析】利用倍角公式、诱导公式化简f （x ），利用其单调性可得f （x ）的值域，再利用绝对值不等式的解法即可得出．解：函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x2)+cos2x ＝4sin x •1−cos(π2+x)2+cos2x ＝2sin x （1+sin x ）+1﹣2sin 2x ＝2sin x +1，∵π6≤x ≤2π3，∴sin x ∈[12，1]，∴f （x ）∈[2，3]．∵|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，即0＜m ＜5． 则实数m 的取值范围为（0，5）． 故答案为：（0，5）．【点评】本题考查了倍角公式、诱导公式、三角函数的单调性、绝对值不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若动直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为 √3 ．【分析】设M （x 0，sin （x 0+π6） ），N （x 0，2cos x 0），化简|MN |为|sin （x 0+π6）|，利用正弦函数的有界性求得它的最最大値．解：直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点， 设M （x 0，sin （x 0+π6） ），N （x 0，2cos x 0）， 则|MN |＝|2cos x 0﹣sin （x 0+π6）|＝|√32sin x 0−32cos x 0|=√3•|12sin x 0 −√32cos x 0|=√3|sin （x 0−π3）|≤√3，当且仅当x 0−π3=k π+π2，k ∈z 时，即x 0 ＝k π+5π6，k ∈z 时，等号成立，则|MN |的最大值为√3，故答案为：√3．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，考查两点间的距离公式与辅助角公式的应用，正弦函数的有界性，属于中档题．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为 x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ． 【分析】由题意利用两角和的余弦公式可得sin x sin y ＝0，即sin x ＝0 或sin y ＝0，由此求得x 和y 的取值范围，即为所求．解：∵cos （x +y ）＝cos x cos y ﹣sin x sin y ，若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立， 则sin x sin y ＝0，即sin x ＝0 或sin y ＝0，故x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ， 故答案为：x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ．【点评】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题．9．将函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的形式后，振幅为1，则α﹣β＝ 2k π±2π3，k ∈Z ．【分析】化函数y 为y ＝A sin （ωx +φ）后，振幅为1，得出（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2＝1，求出cos （α﹣β）=−12，得α﹣β的值．解：函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）＝（sin x cos α+cos x sin α）+（sin x cos β+cos x sin β） ＝sin x （cos α+cos β）+cos x （sin α+sin β），化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）后，振幅为1， ∴（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2＝cos 2α+2cos αcos β+cos 2β+sin 2α+2sin αsin β+sin 2β ＝2+2cos （α﹣β）＝1，∴cos （α﹣β）=−12，α﹣β＝2k π±2π3，k ∈Z ．故答案为：2k π±2π3，k ∈Z ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数应用问题，是基础题．10．若函数f （x ）＝cos x +|sin x |（x ∈[0，2π]）的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 1≤k ＜√2 ．【分析】根据x 的范围分两种情况，利用绝对值的代数意义化简|sin x |，然后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把函数解析式化为一个角的正弦函数，根据x 的范围分别求出正弦对应角的范围，画出相应的图象，根据题意并且结合正弦图象可得出k 的范围．解：当x ∈[0，π]时，|sin x |＝sin x ， 所以y ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4）， 当x ∈（π，2π）时，|sin x |＝﹣sin x ， 所以y ＝﹣sin x +cos x =√2sin （π4−x ），根据解析式画出分段函数图象，分析可得k 的范围为：1≤k ＜√2． 故答案为：1≤k ＜√2．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，绝对值的代数意义，以及正弦函数的图象，利用了数形结合的思想．根据x 的范围化简|sin x |，再利用三角函数的恒等变换得到一个角的正弦函数，从而确定出分段函数的解析式，在坐标系中画出相应的分段函数图象是解本题的关键．11．设0＜x ＜π2，则函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3 ．【分析】法一：先利用二倍角公式将函数f （x ）化简，有两个方向，一是通过升次缩角，将函数中的角统一为单角x ，通过对二次齐次式分子分母同除以cos 2x 的办法，转化为关于x 的正切函数的值域问题，利用均值定理求最值，法二：是通过降次扩角，将函数中的角统一为倍角2x ，利用数形结合求函数的最值解：解法一：∵f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x =2cos 2x+6sin 2x sin2x =2cos 2x+6sin 2x 2sinx⋅cosx∵0＜x ＜π2，∴cos x ＞0，tan x ＞0， ∴将f （x ）的分子分母同除以cos 2x∴f （x ）=2+6tan 2x 2tanx =1tanx +3tanx ≥2√1tanx×3tanx =2√3（当且仅当tan x =√33，即x =π6时取等号）∴函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3 故答案为2√3解法二：∵f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x =1+cos2x+6×1−cos2x2sin2x=−2(cos2x−2)sin2x∴设x ＝sin2x ，y ＝cos2x ，∵0＜x ＜π2，∴0＜x ≤1，﹣1＜y ＜1， 且x 2+y 2＝1∴点P （x ，y ）在以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆上，如图 此时y−2x表示点P 与点（0，2）连线的斜率数形结合可得：OP ＝r ＝1，OM ＝2，∠MAO ＝60° ∴y−2x≤−√3∴−2(cos2x−2)sin2x=−2(y−2)x≥2√3∴函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3故答案为2√3【点评】本题考察了三角函数求最值的方法，二倍角公式的应用，均值定理求最值和数形结合求最值的运用，转化化归的思想方法 二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（ ） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ）C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）【分析】把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断． 解：由于kπ2表示π2的整数倍，而 kπ+π2=（2k +1）π2表示π2的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A 不满足条件． 由于k π±π3=（3k ±1）π3表示π3的非3的整数倍，而kπ3表示π3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故B 不满足条件．（2k +1）π 表示π的奇数倍，（4k ±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）是终边相同的角，故C 满足条件． k π+π6=(6k+1)π6，表示π6 的(6k+1)6倍，而 k π±π6=表示π6的(6k±1)6倍，故这两个角不是终边相同的角，故D 不满足条件． 故选：C ．【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．13．下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=|tan x2| C ．f （x ）＝|sin2x |D ．f(x)=sin(x +π3)cosx【分析】判断这四个函数的最小正周期，需要逐一分析．A 、D 选项用三角函数对应的公式化为y ＝A sin （ωx +φ）（ω＞0）的形式．C 与B 选项用函数的图象的性质，求出四个函数的周期，得到结果．解：对于A ，f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），其最小正周期T ＝2π；对于B ，f （x ）=f(x)=|tan x2|，先去掉绝对值，利用正切的周期公式得到f （x ）＝tan x2，其最小正周期T ＝2π； 加上绝对值后周期仍然是2π；对于C ，y ＝|sin2x |，y ＝sin2x 的周期是π，加上绝对值以后周期为π2对于D ，f(x)=sin(x +π3)cosx =（12sin x +√32cos x ）cos x =12sin2x +√32×cos2x+12=14sin2x +√34cos2x +√34=12sin （2x +π3）+π4，∴函数的周期是T =2π2=π 综上可知只有D 选项的函数的周期是π 故选：D ．【点评】本题考查三角函数最小正周期的求法．根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T =2πω，正切型最小正周期为T =πω，初次之外可以用图象法，定义法，公倍数法，对于具体问题得具体分析．求三角函数的周期，要注意函数的三角变换，得到可以利用三角函数的周期公式来求解的形式，本题是一个中档题目．14．已知cos(arcsina)=√32，tan(arccosb)=−√3，且sinx 1−cosx=a +b ，则角x ＝（ ）A ．x =2kπ−π2，k ∈ZB ．x =2kπ+π2，k ∈ZC ．x ＝2k π，k ∈ZD ．x ＝2k π+π，k ∈Z【分析】利用反三角函数的本质概念及性质，求出a 、b 即可．解：令arcsin a ＝θ，∵cos(arcsina)=√32，∴cos θ=√32，则sin θ＝a =12令arccos b ＝β，∵tan(arccosb)=−√3，∴tan β=−√3，则cos β＝b =−12． ∴sinx1−cosx=a +b =0，则sin x ＝0且cos x ≠1，∴x ＝2k π+π，（k ∈Z ），故选：D ．【点评】本题考查了反三角函数的本质概念及性质，及解三角方程、三角函数的性质，属于中档题．15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用两角差的正弦公式化简命题q ，利用充要条件的定义判断出p 是q 的充要条件． 解：q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α即α﹣β＞sin （β﹣α）⇔α﹣β＞0⇔α＞β 故选：A ．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，常将复杂的命题先化简，再判断． 三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)．（1）求实数b 的值；（2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出b的值即可；（2）由b的值，利用完全平方公式求出sinθ与cosθ的值，原式通分并利用同角三角函数间的基本关系化简，将sinθ与cosθ的值代入计算即可求出值．解：（1）∵169x2﹣bx+60＝0的两根为sinθ、cosθ，∴sinθ+cosθ=b169，sinθcosθ=60169＞0，∵θ∈(π4，3π4)，∴θ+π4∈（π2，π），即sinθ+cosθ=√2sin（θ+π4）＞0，∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×60169=（b169）2，解得：b＝±221（负值舍去），则b＝221；（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×60169=49 169，∴sinθ﹣cosθ=7 13，∵sinθ+cosθ=17 13，∴sinθ=1213，cosθ=513，则原式=sin2θ+1−cos2θsinθ(1−cosθ)=2sinθ1−cosθ=3．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17．已知函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)−2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设x∈[−π3，π3]，求f（x）的单调区间．【分析】根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω＝2，可得f（x）的最小正周期；x∈[−π3，π3]，⇒−π3≤2x+π3≤π，当−π3≤2x+π3≤π2，即−π3≤x≤π12时f（x）递减，同理求得递增区间．解：f(x)=√3(sin 2x −cos 2x)−2sinxcosx =−（sin2x +√3cos2x ）＝﹣2sin （2x +π3）．（1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π．（2）∵x ∈[−π3，π3]，∴−π3≤2x +π3≤π， 当−π3≤2x +π3≤π2，即−π3≤x ≤π12， 故f （x ）的递减区间为[−π3，π12]．增区间为[π12，π3]．【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键，属于中档题．18．已知函数f （t ）=√1−t 1+t，g(x)=cosx ⋅f(sinx)+sinx ⋅f(cosx)，x ∈(π，17π12)．（Ⅰ）将函数g （x ）化简成A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式； （Ⅱ）求函数g （x ）的值域．【分析】（1）将f （sin x ），f （cos x ）代入g （x ），分子分母分别乘以（1﹣sin x ），（1﹣cos x ）去掉根号，再由x 的范围去绝对值可得答案．（2）先由x 的范围求出x +π4的范围，再由三角函数的单调性可得答案． 解：（Ⅰ）g(x)=cosx ⋅√1−sinx 1+sinx+sinx ⋅√1−cosx 1+cosx=cosx ⋅√(1−sinx)2cos 2x+sinx ⋅√(1−cosx)2sin 2x∵x ∈(π，17π12]，∴|cosx|=−cosx ，|sinx|=−sinx ， ∴g(x)=cosx ⋅1−sinx −cosx +sinx ⋅1−cosx−sinx＝sin x +cos x ﹣2=√2sin(x +π4)−2． （Ⅱ）由π＜x ≤17π12，得5π4＜x +π4≤5π3． ∵sin t 在(5π4，3π2]上为减函数，在(3π2，5π3]上为增函数，又sin 5π3＜sin 5π4，∴sin 3π2≤sin(x +π4)＜sin 5π4（当x ∈(π，17π2]），即−1≤sin(x +π4)＜−√22，∴−√2−2≤√2sin(x +π4)−2＜−3，故g （x ）的值域为[−√2−2，−3)．【点评】本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力．19．（1）如图1，矩形ABCD 中AB ＝1，AD ＞1且AD 长不定，将△BCE 沿CE 折起，使得折起后点B 落到AD 边上，设∠BCE ＝θ，CE ＝L ，求L 关于θ的函数关系式并求L 的最小值．（2）如图2，矩形ABCD 中AB ＝1．将矩形折起，使得点B 与点F 重合，当点F 取遍CD 边上每一个点时，得到的每一条折痕都与边AD 、CB 相交，求边AD 长的取值范围．【分析】（1）由图1及对称性知，CF ＝CB ＝L cos θ，FE ＝BE ＝L sin θ，又∠FEA ＝∠FCB ＝2θ，得AE ＝FE cos2θ＝L sin θcos2θ，由AE +BE ＝L sin θcos2θ+L sin θ＝1得， L =1sinθ+sinθcos2θ，利用导数求解（2）当着痕GH 经过AD ，BC 中点时，B 与C 重合，当矩形ABCD 为正方形时，点B 与A 重合时，折痕刚好为对角线，AD ≥BC 解：（1）由图1及对称性知， CF ＝CB ＝L cos θ，FE ＝BE ＝L sin θ， 又∠FEA ＝∠FCB ＝2θ， ∴AE ＝FE cos2θ＝L sin θcos2θ， 由AE +BE ＝L sin θcos2θ+L sin θ＝1得， L =1sinθ+sinθcos2θ，即L 关于θ的函数关系式 L =1sinθ+sinθcos2θ，θ∈（0，π2），L ′=2cosθ(2sin 2θ−cos 2θ)4sin 2θcos 4θ=0， 可得tan θ=√22，即有arctan √22＜θ＜π2，L ′＞0，函数L 递增；0＜θ＜arctan √22，L ′＜0，函数L 递减．可得L =133+33×(1−2×13)=3√34， 此时L 取得最小值为3√34；（2）如下图，当着痕GH 经过AD ，BC 中点时，B 与C 重合， 当矩形ABCD 为正方形时，点B 与A 重合时，折痕刚好为对角线， AD ≥BC ，∴AD 的范围是[1，+∞）【点评】本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．已知函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9，若f(9π4)=13−9√2． （1）求a 的值；（2）求f （x ）的最小正周期（不需证明最小性）；（3）是否存在正整数n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ2)内恰有2015个根．若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）计算x =9π4时f （x ）的值，从而解得a 的值； （2）根据f （x +π）＝f （x ），求得f （x ）的最小正周期为π；（3）讨论f （x ）在一个周期内的函数性质，即x ∈[0，π2]和x ∈（π2，π）时，f （x ）零点的情况，从而得出正确的结论．解：（1）函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9， 令x =9π4，得√2a +4+9＝13﹣9√2，解得a ＝﹣9； （2）f （x +π）＝﹣9[|sin （x +π）|+|cos （x +π）|]+4sin2（x +π）+9 ＝﹣9（|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9＝f （x ） 所以，f （x ）的最小正周期为π．（3）存在n ＝1007满足题意； 当x ∈[0，π2]时，f （x ）＝﹣9（sin x +cos x ）+4sin2x +9； 设t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），t ∈[1，√2]， 则sin2x ＝2sin x cos x ＝t 2﹣1，于是f （x ）＝﹣9（sin x +cos x ）+4sin2x +9＝4t 2﹣9t +5，令4t 2﹣9t +5＝0，得t ＝1或t =54∈[1，√2]，于是x ＝0，π2，或x ＝x 0（0＜x 0＜π4）或x =π2−x 0，其中sin （x 0+π4）=5√28，当x ∈（π2，π）时，f （x ）＝﹣9（sin x ﹣cos x ）+4sin2x +9．设t ＝sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4），t ∈（1，√2]， 则sin2x ＝2sin x cos x ＝1﹣t 2，于是f （x ）＝﹣9（sin x ﹣cos x ）+4sin2x +9＝﹣4t 2﹣9t +13， 令﹣4t 2﹣9t +13＝0，解得t ＝1或t =−134∉（1，√2]， 故f （x ）在x ∈（π2，π）没有实根．综上讨论可得，f （x ）＝0在[0，π）上有4根， 当n ＝1006时恰好是503个周期 有2012个根，当n ＝1007时，相当于又往下走了前半个周期，前半个周期有四个根（之前证过的）， 所以为2016个根；故不存在n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ2）内恰有2015个根．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根，任意角的三角函数图象与性质的应用问题，是综合题．。
上海市黄浦区格致中学2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．不等式≤0的解集是．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A B（横线上填入⊆，⊇或=）9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=．10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为．11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，∴a+b+c=1+2+3=6．故答案为：6．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是真命题．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题故答案为：真命题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=•=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．4．不等式≤0的解集是{x|x≤或x＞4} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≤0等价于，解得x≤或x＞4，∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}故答案为：{x|x≤或x＞4}．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．【解答】解：∵a2≤1，∴﹣1≤a≤1，∴1≤a+2≤3，∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣，∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣}．故答案为{x|x＞﹣}．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=2x2+3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+1．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A⊆B（横线上填入⊆，⊇或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故A⊆B；故答案为：⊆．9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，=ab≥4，故S△故答案为：4．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，故选项A、D不正确；∵∅是不含任何元素的∴选项C不正确∵∅是任何集合的子集故选：B．14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个【考点】子集与真子集．【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个故选：D．15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B．16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④【考点】集合中元素个数的最值．【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．故选B．三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，∴∁R A={x|x＜4或x＞9}，集合（∁R A）∩B={x|2≤x＜4}；（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，解得a＜1或a＞1，所以实数a的取值范围是a≠1．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a 的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，∴f（1）=a+2﹣2a＜0，解得a＞2，∴a的取值范围是a＞2；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，∴﹣2﹣（）+1＞0，解得0＜a＜2；又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，解得a∈R；综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y==+，因为y=+≥2=10，当且仅当，即v=80时取“=”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，（3）x3﹣ax=x3++﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最小值﹣2016年12月29日。
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2014-2015学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题4分，满分40分）1．（4分）函数f（x）=的定义域为．2．（4分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=．3．（4分）不等式组的解集为．4．（4分）已知集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x∈N．且A∪B=A，则x=．5．已知全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x2}，若∁U A⊊∁U B，则x=．6．（4分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2﹣，则f（1）=．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=6，则g（﹣2）=．8．（4分）平面直角坐标系中，若点在第三象限内，则实数a 的取值范围是．9．（4分）已知集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={y|ay+2=0，a∈R}，若满足M∩N=N 的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个．10．定义|b﹣a|为区间（a，b）（a，b∈R，a＜b）的长度．则不等式的所有解集区间的长度和为．11．（4分）若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣3，﹣1），则不等式bx2+ax+1≤0的解集为．12．（4分）若a、b为正实数，且a+b+3=ab，则ab的最小值为．13．已知正数x、y满足：2x+y﹣xy=0，则x+2y的最小值为．14．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．二、选择题：（每小题4分，满分16分）15．（4分）若集合，集合B={x||x|≤5，x∈Z}，则集合A∪B中的元素个数为（）A．11 B．13 C．15 D．1716．（4分）设函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的奇函数与偶函数，函数f（x）的零点个数为F，g（x）的零点个数为G，且F、G都是常数．则下列判断正确的是（）A．F一定是奇数，G可能是奇数B．F可能是偶数，G一定是偶数C．F一定是奇数，G一定是偶数D．F可能是偶数，G可能是奇数17．（4分）设全集为U，对于集合A，B，则“A∩B≡∅”是“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件18．已知函数f（x）定义域为D，区间（m，n）⊆D，对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件19．（4分）给出下列说法：（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．那么其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题：（共5大题，满分44分）20．（6分）已知集合A={x||x﹣2|＜a}，集合，且A⊆B，求实数a的取值范围．21．（8分）一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．（1）求f（x）（2）当x∈[1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．22．（10分）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．23．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣2（a+1）（a∈R）．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，并求此两交点之间距离的最小值；（2）若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．24．（10分）已知函数f（x）=lg（x2﹣mx﹣m）．（1）若m=1，求函数f（x）的定义域；（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．2014-2015学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题4分，满分40分）1．（4分）函数f（x）=的定义域为（﹣1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x+1＞0，即x＞﹣1，故函数的定义域为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）2．（4分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N={1，2} ．【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即N=[1，2]，∵M={0，1，2}，∴M∩N={1，2}，故答案为：{1，2}3．（4分）不等式组的解集为（0，1）．【解答】解：由得，，解得0＜x＜1，所以不等式的解集是（0，1），故答案为：（0，1）．4．（4分）已知集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x∈N．且A∪B=A，则x=0．【解答】解：∵集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x∈N．A∪B=A，∴B⊂A，∴，解得x=0．故答案为：0．5．已知全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x2}，若∁U A⊊∁U B，则x=0或2．【解答】解：全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x}，若∁U A⊊∁U B，可得B⊊A，即有x2=4或x2=x，解得x=±2或0或1，检验x=﹣2舍去，x=1也不成立．则x=0，2成立．故答案为：0或2．6．（4分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2﹣，则f（1）=﹣2．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当x＜0时，f（x）=x2﹣，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（1+1）=﹣2．故答案为﹣2．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=6，则g（﹣2）=﹣2．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=f（2）+8a+2=6，则f（2）+8a=4．∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣8a+2=﹣f（2）﹣8a+2=﹣4+2=﹣2，故答案为：﹣2．8．（4分）平面直角坐标系中，若点在第三象限内，则实数a的取值范围是．【解答】解：∵点在第三象限内，∴，则，解得，∴实数a的取值范围是，故答案为：．9．（4分）已知集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={y|ay+2=0，a∈R}，若满足M∩N=N 的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个8．【解答】解：∵集合M={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}，N={y|ay+2=0，a∈R}={﹣}，∵M∩N=N，∴N⊂M，∴﹣不存在，或﹣=﹣3，或﹣，解得a=0或a=或a=﹣1，∴集合A={﹣1，0，}，∴A的子集有23=8个．故答案为：8．10．定义|b﹣a|为区间（a，b）（a，b∈R，a＜b）的长度．则不等式的所有解集区间的长度和为8．【解答】解：由得，化简得，即，等价于（x﹣2）（x﹣8）x（x+2）＜0，如图所示：由图可得，不等式的解集是（﹣2，0）∪（2，8），∴不等式所有解集区间的长度和是2+6=8，故答案为：8．11．（4分）若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣3，﹣1），则不等式bx2+ax+1≤0的解集为[﹣1，﹣] ．【解答】解：不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣3，﹣1），∴方程x2+ax+b=0的两个实数根为﹣3和﹣1，由根与系数的关系得：a=4，b=3，故bx2+ax+1≤0可化为：3x2+4x+1≤0，解得﹣1≤x≤﹣；所求不等式bx2+ax+1≤0的解集为[﹣1，﹣]．故答案为：[﹣1，﹣]．12．（4分）若a、b为正实数，且a+b+3=ab，则ab的最小值为9．【解答】解：∵a、b为正实数，∴a+b+3=ab≥+3，化为：≥0，解得≥3，即ab≥9．当且仅当a=b=3时取等号．则ab的最小值为9．故答案为：9．13．已知正数x、y满足：2x+y﹣xy=0，则x+2y的最小值为9．【解答】解：∵正数x、y满足：2x+y﹣xy=0，∴=1．则x+2y=（x+2y）=5++≥5+2×=9，当且仅当x=y=3时取等号．因此x+2y的最小值为9．故答案为：9．14．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．二、选择题：（每小题4分，满分16分）15．（4分）若集合，集合B={x||x|≤5，x∈Z}，则集合A∪B中的元素个数为（）A．11 B．13 C．15 D．17【解答】解：∵集合={x|，x∈N}={4，5，6，7，8，9}，集合B={x||x|≤5，x∈Z}={x|﹣5≤x≤5，x∈Z}={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，∴A∪B={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．∴集合A∪B中的元素个数为15．故选：C．16．（4分）设函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的奇函数与偶函数，函数f（x）的零点个数为F，g（x）的零点个数为G，且F、G都是常数．则下列判断正确的是（）A．F一定是奇数，G可能是奇数B．F可能是偶数，G一定是偶数C．F一定是奇数，G一定是偶数D．F可能是偶数，G可能是奇数【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，奇函数的图象关于原点对称，所以函数的零点个数一定是奇数个．g（x）是定义在R上的偶函数．函数的图象关于y轴对称，g（0）可能为0，所以函数的零点个数可能为奇数个．故选：A．17．（4分）设全集为U，对于集合A，B，则“A∩B≡∅”是“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”⇒“A∩B=∅”，反之也成立．因此“A∩B≡∅”是“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”的充要条件．故选：C．18．已知函数f（x）定义域为D，区间（m，n）⊆D，对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：“”⇔（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，⇔x1﹣x2与f（x1）﹣f（x2）同号．∴对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的充要条件．故选：B．19．（4分）给出下列说法：（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．那么其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；不满足否命题的形式，应该为：若a、b不都是奇数，则a+b不是偶数．所以（1）不正确；对于（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；满足集合的交集与并集的关系，正确；对于（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．根据逆否命题的等价性可知，条件可转化为x+y=3是x=1且y=2的条件关系，当x=1且y=2，有x+y=3成立．但x+y=3时，比如x=2，y=1时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2不成立．∴x+y=3是x=1且y=2成立的必要不充分条件．即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．正确．故选：C．三、解答题：（共5大题，满分44分）20．（6分）已知集合A={x||x﹣2|＜a}，集合，且A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：由≤1，化为：≤0，解得﹣2≤x≤3，即B=[﹣2，3]．a≤0时，A=∅，满足A⊆B，因此a≤0适合题意．a＞0时，A=[2﹣a，2+a]，A⊆B，∴﹣2≤2﹣a，2+a≤3，a＞0，解得0＜a≤1．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，1]．21．（8分）一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．（1）求f（x）（2）当x∈[1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．【解答】解：（1）一次函数f（x）是R上的增函数，可设f（x）=ax+b，（a＞0）；∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5，∴，解得或（不合题意舍去）；∴f（x）=4x+1；（2）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x2+（4m+1）x+m，是二次函数，开口向上，且对称轴为x=﹣，①当﹣≤1，即m≥﹣时，g（x）在[1，3]上是单调增函数，令g（x）max=g（3）=39+13m=13，解得m=﹣2，符合题意；②当﹣＞1，即m＜﹣时，g（x）max=g（1）=5+5m=13，解得m=，不符合题意；由①②可得m=﹣2．22．（10分）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．23．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣2（a+1）（a∈R）．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，并求此两交点之间距离的最小值；（2）若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．∴函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，设A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=2a，x1x2=﹣2（a+1），则|AB|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4（a+1）2+4≥4（当且仅当a=﹣1时取等号），∴|AB|min=2．（2）解：若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，则x2﹣2ax﹣2（a+1）+3=x2﹣2ax﹣2a+1≥0（x＞﹣1）恒成立，分离参数a得：2a（x+1）≤x2+1（x＞﹣1）恒成立，∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴2a≤（）min，∵=x+1+﹣2≥2﹣2=2﹣2，∴（）min=2﹣2，∴a≤﹣1．24．（10分）已知函数f（x）=lg（x2﹣mx﹣m）．（1）若m=1，求函数f（x）的定义域；（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=lg（x2﹣x﹣1），必有x2﹣x﹣1＞0，解可得x＞或x＜，则函数f（x）=lg（x2﹣x﹣1）的定义域为{x|x＞或x＜}；（2）根据题意，若f（x）在（1，+∞）上是增函数，则必有，解可得m≤2，则实数m的取值范围为{m|m≤2}．。