苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第四章4.14-4.16#1 @(延边大学)三年级
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4.14一个线性谐振子处在一个空间外力场()()t F t C t e λθ-=中，其中λ是正常数，()t θ是阶梯函数，若振子在0t =时处基态，计算在时刻t 振子处在量子数为n 的n 的概率，若
()1/2
3C m λ=，m 是质量，计算这个跃迁概率随n 和随/λω的变化，其中ω是振子的自然振
动频率。
解: 根据书本上的公式
()()222
2
22
2()/
()/
2
||
11|0
!
!
n
n
g g out
in
g g n e
e
n n ωωωω--==
其中，()()0
t
i g e f d ωτωττ-=⎰
式中的()()22f
F C
e m m λτττω
ω
-==-；()t θ的影响已被表达在积分的下限中。
于是()()0
22t
t
i i g e
e
d C
e
d m m ωτ
λτ
λωτ
ωττω
ω---+=-=-⎰
⎰=0
1
2t e d m i ττωλω'+⎰式中()t i t λω'=-+
∴()g ω=()()1
12i t e m i λωωλω
-+-+ 2
2
22
2
22
()
1
1[()1]2t t i t i t
g C e e e e m λλωωωωλω
---=
-+++ ()2
22211
2cos 12t t C
e e t m λλωωλω
--=-++ 于是
()22
22()/
2
||
1|0!
n
g out
in
g n e
n ωω-= ()()2222222211111[2cos 1]exp[2cos 1]!22t t n t t C e e t C e e t n m m λλλλωωωλωωλω
----=
-+--+++ 当(
)
1/2
3C m λ
=
时，
2|0
out
in
n
()()33222222111[2cos 1]exp[2cos 1]!22t t n t t
e e t e e t n λλλλλλωωωλωωλω
----=-+--+++ =
()()222
2
11111[2cos 1]exp[2cos 1]!21()21()t t n t t e e t e e t n λλλλωωωωωωλλλλ
-----+--+++
=
()()1
[,]exp[,]!
n u u n ωλωλ-， 其中()()2211
,2cos 121()t t u e e t λλωλωωωλλ
--≡
-++
我们可以用
22
1|0|0
out
in
out
in
n n +来表征跃
迁概率随n 的变化，简单的计算便可得
()
22
1|0,1
|0
out
in out
in
n u n n ωλ+=
+，若取定了ω与λ，则必然有u m ≤，m 为整数；于是从m 开始，
跃迁概率随着n 的增大而减小。
跃迁概率随/λω的变化可用
()
2|0
/out
in
d
n d λω表征，
()
21|0
!/(/)
n u out
in
u e d
n u n d u λωλω-⎛⎫∂ ⎪∂⎝
⎭=∂∂ 其中，1!n u u e n u -⎛⎫
∂ ⎪
⎝⎭∂=111()!n u n u
nu e u e n --+--=
12()!
n u u e n u n ---
(/)
u
λω∂∂比较复杂，不过在1t
λ时，
()22211
11
2cos 12
1()2
1()t
t u e
e t λλωωωωω
λλ
λλ
--=
-+≈
++，这时显然有
0(/)
u
λω∂>∂
2
()n u -这一项便成为了关键。2
u n <时，
()
2|0
0/out
in
d
n d λω>；2u n >时，
()
2|0
0/out
in
d
n d λω<。
4.15求相干态随时间的变化仍然保持为相干态的条件？为澄清相位的贡献，试再用密度矩阵方法讨论这个问题。 参阅：R.J.Glauber,Phys.Rev Lett.10(1963)84;Y.Kano,Phys.Lett.A56(1976)7;苏汝铿，史安昌，吴嘉
达，光学学报3(1983)391.
说明：有一篇文献查不到，正在通过图书馆向外馆际互借中…
4.16讨论两个具有同样振动频率0ω的谐振子.它们的产生和湮没算符满足 11,1a a +
⎡⎤=⎣⎦，[]12,0a a =，12,0a a +⎡⎤=⎣⎦
22,1a a +⎡⎤=⎣⎦，12,0a a +⎡⎤=⎣⎦，12,0a a ++⎡⎤=⎣⎦
当将两个振子分开时，它们的哈密顿量分别为1011H a a ω+=
，2022H a a ω+
=，这里略去了零