[推荐学习]2018版高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.12.1.2空间中直线与直线之间的位

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

目标定位 1.理解异面直线的定义，并能正确画出两条异面直线.2.会用反证法证明两条直线是异面直线，会求两异面直线所成的角.3.理解公理4和等角定理.

自 主 预 习

1.空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系有且只有三种. (1)若从公共点的数目分，可以分为 ①只有一个公共点——相交.

②没有公共点⎩

⎪⎨⎪⎧平行.

异面.

(2)若从平面的基本性质分，可以分为

①在同一平面内⎩

⎪⎨⎪⎧相交.

平行.

②不同在任何一个平面内——异面. 2.异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法

3.平行公理(公理4)

文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性. 符号表述：

⎭

⎪⎬⎪

⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .

4.等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 5.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]. (3)当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .

即 时 自 测

1.判断题

(1)若两条直线无公共点，则这两条直线平行.(×)

(2)若两直线不是异面直线，则必相交或平行.(√)

(3)过平面外一点与平面内一点的直线：与平面内的任意一条直线均构成异面直线.(×)

(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(×)

提示(1)空间两直线无公共点，则这两条直线可能平行，也可能异面.

(3)过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线.

(4)和两条异面直线都相交的两直线有可能是相交直线也有可能是异面直线.

2.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )

A.共面

B.平行

C.异面

D.平行或异面

解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.

答案 D

3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )

A.全等

B.不相似

C.仅有一个角相等

D.相似

解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故应选D.

答案 D

4.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________.

解析取A1B1的中点M，连接GM、HM，因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、H、G为A1B1、B1C1、B1B的中点，所以△GMH为正三角形，∠MGH为EF与GH所成的角，所以∠MGH＝60°.

答案60°

类型一空间两条直线位置关系的判断

【例1】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________.

解析直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C 在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，且B1∉A1B，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.

答案①平行②异面③相交④异面

规律方法 1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.

2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.

【训练1】 (1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )

A.a∥c

B.a、c是异面直线

C.a、c相交

D.a、c平行或相交或异面

(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c( )

A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线

解析(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.

(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.

答案(1)D (2)C

类型二公理4、等角定理的应用

【例2】在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，

求证：(1)EF綉E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.

证明 (1)连接BD ，B 1D 1，

在△ABD 中，因为E 、F 分别为AB 、AD 的中点，

所以EF 綉1

2BD .

同理，E 1F 1綉1

2

B 1D 1.

在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1綉DD 1， 所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 因此，BD 綉B 1D 1， 又EF 綉12BD ，E 1F 1綉1

2B 1D 1，

所以EF 綉E 1F 1. (2)取A 1B 1的中点M ， 连接F 1M ，BM ，则MF 1綉B 1C 1， 又B 1C 1綉BC ， 所以MF 1綉BC .

所以四边形BMF 1C 为平行四边形， 因此，BM ∥CF 1.

因为A 1M ＝12A 1B 1，BE ＝1

2AB ，

且A 1B 1綉AB ， 所以A 1M 綉BE ，

所以四边形BMA 1E 为平行四边形，

则BM ∥A 1E .因此，CF 1∥A 1E ，同理可证A 1F ∥CE 1.

因为∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行，且方向都相反， 所以∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.

规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.

(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.