高一数学复习学案：基本不等式

基本不等式复习 编写：董新梅 审核：董猛

【知识梳理】

1、基本不等式为：设0,0≥≥b a ，则2b a ab +≤

（当且仅当b a =时取“=”号） 其中，称2

b a +为b a ,的算术平均数；称ab 为b a ,的几何平均数。 2、利用基本不等式求最值必备条件： 一正、二定、三相等；

3、基本不等式的几个常用变形形式： ①ab b a 2≥+ （0,≥b a ） ②4

)(2

b a ab +≤ （R b a ∈,） ③ab b a 222≥+ （R b a ∈,） ④2

2

2b a ab +≤ （R b a ∈,）（其中等号成立的条件都是：当且仅当b a =时取“=”号） 【基本题型】

例1、求函数最值

（1）求函数)1(116->++

=x x x y 的最小值为

（2）若40<<x ，求)28(x x y -=的最大值。

（3）已知正数y x ,满足12=+y x ，求

y x 11+的最小值。

（4）设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，求b

a 11+的最小值．

（5）若直线01=-+-k y kx 恒过定点A ，且点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求

n

m 11+的最小值.

（6）已知x 为正实数，且,22+=x xy 求

212-+y x 错误!未找到引用源。的最小值．

（7）求函数)0(,182<++

=x x

x y 的最大值；

例2、围建一个面积为360平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180元/米.设利用的旧墙长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．

(1)将y 表示为x 的函数；

(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

例3、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x （*x N ∈）千件，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=

（万元）；当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=x

x x C （万元）.通过市场分析，若每千件．．．售价为50万元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.

（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.