理论力学06_4刚体平面运动_加速度

§6.3* 平面运动刚体上点的加速度
由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点
的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加
速度合成定理求出。

设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，
图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。

以A 点为
基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。

因为牵连运动为
动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。

相对运动是
点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。

由式 (5.3.7)可得
图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为
t BA a n BA
a (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度
的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为
(6.3.3)
n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B
连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。

t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要
素。

因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。

当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。

例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，
某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，
如图a 所示。

若轮作纯滚动，求图示瞬时车轮
上A 、B 、C 三点的加速度。

解：轮作纯滚动，其瞬心为轮上与地面的
接触点C 。

于是，车轮在图示瞬时的角速度为
R
v O =ω (a) 车轮的角加速度α可由角速度函数对时间求一阶导数得到。

轮心作直线运动，d v O /d t=a O ，故 R
a t v R R v t t ωαO O O == ==d d 1d d d d (b) 在图示瞬时，方向如图a 所示。

.2)，有
， (c) 。

各点的加速度图如图b 所
是可求得各点加速度的大方向依次为
例6.3-2图 取轮心O 点为基点，由式(6.3
n t AO AO O A a a a a ++=，O A a a +=n t AO AO a a +n t CO CO O C a a a a ++=其中AO a a =t ，R ωO CO BO R αa a ===t t /R v a a a O CO BO AO 22n n n ====示。

于小和
()()()()0,2arctan ,4arctan ,2n
22222t 2n 222222t ====+ =++=
+= ++=++=
C O CO C O O B O O BO O BO B O O O A O O O n AO O AO A βR
v a a v R a βa R v a a a a v R a R a βR a a a a a a v (d) 由C 点加速度的结果可见，速度瞬心的加速度不等于零。

当轮心作直线运动时，速度瞬心的加柄滑块机构如图示。

已知曲柄OA ＝r ，
速度指向轮心。

例6.3-1：为曲以匀角速度ω转动，连杆r AB 3=。

求o 60=ϕ时滑
块B 加速度和连杆AB 的角 解：OA 杆作定轴匀速转动，AB 杆作平面运动。

先
加速度。

研究AB 杆，用瞬心法求AB 杆的角速度。

由v A 和v B 方
向可确定AB 杆的瞬心C ，由A 点的速度可求得AB 杆的
角速度为
ω3
3ωr r ωAC v A AB === (a) 转向如图示。

再求滑块B 的加速度和连杆AB 的角加速度。

(b) 运动，a
B 的方向水例6.3-1图 以A 点为基点，分析B 点的加速度。

由式(6.3.2)，有
n t BA BA A B a a a a ++= 其中B 直线平，设指向左，大小未知；A 点匀速转动，a A =r ω2，指向O 点；t BA a 的方向垂直于AB ，设αAB 为逆时针转向，则t BA a 指向如图的方向，其大小未知；n BA a 由B 向A 点，大小为点指9322n ωωr AB a AB BA =⋅=。

式(b)中只有两个要素未知，故可由投影法求
得未知量。

分别将式(a)
n 0030cos BA B a a −+=−o , 30sin −B a o 向图示ξ和η轴投影，得到 (c)
0+⋅+−=AB B αAB a 解得
2n 9230cos r ωa a BA B ==o , 227
3830sin ωAB a a B A AB =−=o α (d) 求得的a B 及均为正值，说明它们的实际指向与假设的指向相同，如图所示。

题坐标系。

设
AB 杆t BA a 讨论：本也可以用解析方法求解。

以点O 为坐标原点，建立如图所示的直角与x 轴夹角为θ，在任意瞬时有几何关系
r r x θr r B 3cos ,sin sin +==ϕϕθcos 3将上式两端 (e) 对时间求导，注意隐函数求导规则，得到 r ωv θr ωr ωB AB sin ,cos 3cos ϕϕ−−==θr AB sin 3ω将已知条件 (f) 代入式(f)，可解得
3AB ωr v B 33
2ωω1
=, = (g) 其中负号表示滑块B 的速度方向与x 轴正方向相反。

将式(f)两端再对时间求导，得到
()
()θαθωr r ωa θωαr r ωAB AB B AB AB sin cos 3cos sin cos 3sin 2
222+−=−=−ϕθϕ (h)
将已知条件和式(g)代入式(h)，可解得
2292,327
8ωωαr a B AB −=−= (i) 求得αAB 和a B 均为负值，表明AB 杆角加速度方向为逆时针方向，a B 的方向与x 轴正方向相反。

因此，解析法的结果与前面几何方法得到的一致。

例6.3-3：如图a 所示机构中，AB 杆一端连接滚子A ，滚子的中心A 以速度v A =16cm/s 沿
水平方向匀速运动，AB 杆活套在可绕O 轴转动的套管内，结构尺寸如图所示。

求AB 杆的角速
度和角加速度。

例6.3-3图 解：AB 杆和轮A 均作平面运动，通过铰链A 连接。

AB 杆相对于绕定轴转动的套管C 运动。

先求AB 杆的角速度ωAB 。

研究AB 杆，A 点的速度v A 大小、方向已知，若能再确定AB 杆
上某点速度的方向，则可确定出AB 杆的瞬心。

在AB 杆上与套管C 重合的那一点的速度方向
能够确定。

AB 杆上的C 点相对于套筒有运动，用点的合成运动方法分析C 点的速度方向。

以
AB 杆上C 点为动点，动系固定在套筒上，因C 点的牵连速度为零，所以v C =v r ，AB 杆上C 点
的速度方向沿AB 杆。

AB 杆作平面运动，由v A 和v C 已知方向，确定其瞬心在P 点，如图a 所
示。

注意到P A=AC/cos ϕ=AC 2/8=12.5，故AB 杆的角速度和点速度分别为
28.1==PA
v A AB ωrad/s, cm/s 6.9tan =⋅⋅=⋅=AB AB C ωAC ωPC v ϕ (a) 再求AB 杆的角加速度αAB 。

仍研究AB 杆象。

选A 为基点，由式(6.3.2)，C 点加速度为
a (b)
n t CA CA A C a a a ++=其中a C 的大小和方向未知，由v A 为常数知a A =0，a 的大小，方向垂直于CA ；的大小，沿CA 方向指向A 点。

矢量图如图b 所示。

式(a)有三个未知要素，故不能求解，需另找补充方程。

t CA 2t AB CA CA a ω⋅=n CA a 2n AB CA CA a ω⋅= 再取AB 杆上C 点为动点，套筒为动系，由于牵连运动为转动，故由式(5.3.24)得
a (c)
C r e a a a ++=C 式中a C 的大小和方向未知，由v A 为常数知a e =a A =0，
；a r 的大小未知，方向沿BA ，假设如图示方向；a C 的大小a C =2ωe ⋅v r ⋅sin(ωe ,v r )，因为套筒和杆AB 始终在同一直线上，转角相同，故
ωe =ωAB =1.28 rad/s 。

相对速度v r 沿AB 方向，前面已求出大小v r =v C =9.6cm/s ，ωe 与v r 垂直，故
科氏加速度a C =2ωe v r =24.576 cm/s 2。

加速度图见图c 所示。

因此式(b)也有三个未知要素。

综合
式(a)和(b)，共有四个未知要素，故可联立求解两个矢量方程。

由(b)和(c)，得到
a (d) C r n τa a a +=+CA CA 式(d)只有两个未知要素，故可求解。

将式(c)向方向投影得cm/s t CA a 576.24C t ==a a CA 2。

故
4576268576242
2t ..CA a CA AB =+==αcm/s 2 (e) 转向为顺时针。

讨论：本题可用解析方法求解。

先确定AB 杆的转动方程ϕ=ϕ(t )，然后对时间t 求导数，可
得到加速度和角加速度。

具体地，设0=t 时，A 到过C 点铅垂线的距离为a 。

在运动过程过程
中C 点到过A 点水平线的距离是常数b 。

AB 杆的转动方程为
b
a t v A +=arctan ϕ (f) 求依次求一阶和二阶导数，得到角速度和角加速度分别为
()22a t v b bv A A ++=ω, ()()[]
2222a t v b a t v bv αA A A +++= (g) 当v A t +a=6cm 时，将已知v A =16cm/s 和b=8cm 代入式(g)，得到ω=1.28rad/s 和α=2.4576rad/s 2。

与前面综合应用刚体平面运动和运动合成得到的结果相同。

例5.3-4, 5.3-5, 6.3-2和6.3-3表明，除了用第五、六章叙述的矢量方法求解运动学问题，一
般还可以运用解析方法进行求解，即用对时间变量求导的方法计算点的速度和加速度，或刚体
的角速度和角加速度。

矢量方法基于几何矢量的大小与方向的概念，进行速度和加速度矢量几
何关系的分析。

解析方法是直接基于矢量的坐标投影的概念，分析点或刚体运动坐标表达式，
建立代数方程组进行求解。

矢量方法物理概念明确，尤其适用于机构在特定位置或瞬时的运动
学的定性分析。

解析方法可以分析机构在任意位置或瞬时的运动。

对于具有复杂的几何矢量关
系的系统，用解析法可能比矢量方法更为简洁。

解析法分析更为程式化，便于计算机的应用。

解析法求解运动学问题的关键是对系统的某点或某刚体位置的确定，即正确建立系统的运
动学模型。

在获得描述系统的某点或某刚体运动方程后，再将标量形式的运动方程对时间求导，求得坐标的一阶和二阶导数之间关系式，解出所求运动学量。

在解题时应当注意要在系统任意
位置建立运动方程，这样才能进行求导运算。

例6.3-4：如图a 所示曲柄连杆机构带动摇杆O 1D 绕轴转动。

在连杆AC 上装有两个滑
块，滑块B 在水平滑道上滑动，滑块C 沿摇杆O 1O 1D 滑动，已知曲柄长OA=l ，以匀角速度ω绕
O 轴转动，AB=AB=2l 。

在图示位置时，曲柄与水平线夹角90，摇杆与水平线夹角60°。

求摇
杆O o
1D 的角速度和角加速度。

例6.3-4图
解：曲柄OA 和摇杆O 1D 作定轴转动，连杆AC 作平面运动，滑块B 沿水平滑道平移，滑
块C 沿摇杆O 1D 滑动。

求摇杆O 1D 的角速度ωO1。

研究连杆AC 。

在图示位置，连杆上A 点和B 点的速度相互平行，故连杆的速度瞬心在无穷远处，AC 杆作瞬时平动，ωAC =0。

连杆上各点的速度相同，即有 ωl v v A B C ===v (a) 方向水平向左。

取滑块C 为动点，摇杆O 1D 为动参考系。

由式(5.2.3)，有v C =v e +v r 。

其中v C 已知，v e 和v r 大小未知，方向已知，故可解。

作速度平行四边形，如图a 所示。

由几何关系得 l ωv C 2130sin r ==o v ， ωl v v C 2
330cos e ==o (b) 注意到3/230cos 2/21l l C O ==o ，摇杆O 1D 的角速度为
ωω4
31e 1==C O v O (c) 转向如图所示。

再求摇杆O 1D 的角加速度αO 1。

先研究连杆AC ，求角加速度αAC 。

以A 点为基点，有 a (d)
n t BA BA A B a a a ++=其中a ，方向沿OA 指向O 点；a 2n ωl a A A ==B 大小未知，方向沿水平方向；a 大小未知，方
向垂直于AB ；由ωt BA AC =0知a 。

作加速度平行四边形如图b 所示。

由几何关系可得
0n =BA 2t 3
230cos ωl a A BA ==o a , 2t 332ωα==l a BA AC (e) αAC 为逆时针转向。

最后求摇杆O 1D 的角加速度αO 1。

考查C 点加速度a C 。

以A 点为基点，有
a (f) n t CA CA A C a a a ++=由于a A 已知；；0n =CA a 3342t /ω
αl AC a AC CA =⋅=，方向垂直于AC 杆，指向由αAC 决定。

再取滑块C 为动点，摇杆O 1D 为动参考系。

由于动参考系作转动，故由式(5.3.24)和式(f)得
a (g) C r n e t e t a a a a a +++=+CA A 其中8/332211n e ωωl C O O ==a ，方向由C 点指向点；，方向由右手螺旋法则决定，如图
b 所示。

的大小未知，方向垂直于O 杆，a 1O 4/322r 1C ωωl v a O ==D 1t e a r 的大小未知，方向沿O 1D 杆。

由分析可见，式(g)中只含有两个未知数，故可解。

为在投影方程中不出现a r ，取如图b 所示与a r 垂直的投影轴ξ。

将式(g)向ξ轴投影
− (h)
C 11t 30cos 30sin a C O a a O CA A +⋅=+αo o 解得
21t C 183330cos 30sin ωα=+−−=C O a a a CA A O o o (i) 其转向逆时针方向，如图b 所示。

例6.3-3和6.3-4表明，某些复杂问题必须同时采用点的合成运动和刚体平面运动的理论联合求解。

特别是例6.3-4是个比较复杂的运动学综合题，题中的构件有平动、定轴转动和平面运动。

刚体平面运动理论建立了平面图形上两点速度(或加速度)之间的关系，而点的合成运动理论则建立了两刚体的连接点之间的速度(或加速度)关系。

在解题过程中，应根据问题的不同性质，灵活运用相应的理论和方法。

习题
6-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度O ω绕O 轴匀速转动，如图所示。

如
r AC BC OC ===，并取C 为基点，求椭圆规尺AB 的平面运动方程。

6-2 杆AB 的A 端沿水平线以等速v 运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为R ，如图所示。

如杆与水平线的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。

题 6-1图 题 6-2图 6-3 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮转动，如图所示。

如曲柄OA 以等角速度α绕O 轴转动，当运动开始时，角速度0=O ω，转角0=ϕ。

求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。

6-4 图示机构中，已知OA 10.=m ，10.BD =m ，10.DE =m ，310.EF =m ；4=OA ωrad/s 。

在图示位置时，曲柄OA 与水平线OB 垂直；且B 、D 和F 在同一铅直线上，又EF DE ⊥。

求EF 的角速度和点F 的速度。

6-5 图示四连杆机构中，连杆由一块三角板ABD 构成。

已知曲柄的角速度21=A O ωrad/s ，mm ，O mm ，1001=A O 5021=O 50=AD mm 。

当mm 铅直时，AB 平行于O ，且、
A 、D 在同一直线上，角。

求三角板
ABD 的角速度和点
D 的速度。

A O 121O 1O o 30=ϕ
题 6-3图 题 6-4图 题 6-5图
6-6 图示双曲柄连杆机构中，滑块B 和E 用杆BE 连接，主动曲柄OA 和从动曲柄OD 都绕O 轴转动。

OA 以匀角速度120=ωrad/s 转动。

已知100=OA mm ，mm ，mm ，120=OD 260=AB 120=BE mm ，3120=DE mm 。

求当曲柄OA 垂直于滑块的导轨方向时，曲柄OD 和连杆DE 的角度度。

6-7 使砂轮高速转动的装置如图所示。

杆O 绕轴转动，转速为n r/min ，O 处用铰链连接一半径为r 的动齿轮2，杆转动时，轮2在半径为的固定内齿轮3上滚动，
并使半径r 的轮1绕O 轴转动。

轮1上装有砂轮，随同轮1高速转动。

求砂轮的转速。

21O 1O 9004=2221O O 3r 1121/r =1
题 6-6图题 6-7图
6-8 图示瓦特行星传动机构中，平衡杆O绕轴转动，并借连杆AB带动曲柄OB；而曲柄OB活动地装在O轴上；在O轴上装有齿轮1，齿轮2的轴安装在连杆AB的另一端。

已知：
A
11
O
3
300
2
1
=
=r
r mm；又平衡杆的角速度6
1
=
O
ωrad/s。

求当和时，曲柄OB和齿轮1的角速度。

o
60
=
θo
90
=
β
6-9 如图所示，轮O在水平面上滚动而不滑动，轮缘上固连销钉连接滑块B，此滑块在摇杆的槽内滑动，并带动摇杆绕O轴转动。

已知轮的半径
A
O
11
5
0.
R=m，在图示位置时，
是轮的切线，轮心的速度m/s，摇杆与水平面的夹角为60。

求摇杆的角速度。

1
AO
2
0.
=
O
v o
6-10 在图示机构中，已知：滑块A的速度200
=
A
v mm/s，400
=
AB
mm。

求当
，时杆CD的速度。

CB
AC= o
30
=
θ
题 6-8图题 6-9图题 6-10图6-11 直径为d的圆轮沿直线轨道滚动而不滑动，长为l的杆AB在A端与轮缘铰接，在B 端与沿倾角为60的滑道而运动的滑块铰接。

已知轮心O点以速度匀速运动。

当时，杆AB处于水平。

求此时滑块B的速度和加速度。

o
v o
30
=
θ
6-12 图示配汽机构中，曲柄OA长为r，绕O轴以等角速度
ω
转动，，
r
AB6
= r
BC3
3
=。

求机构在图示位置时，滑块C的速度和加速度。

题6-11图题 6-12图
6-13 图示轻型杆式推钢机中，曲柄OA 借连杆AB 带动摇杆O 绕轴摆动，杆EC 以铰链与滑块C 相连，滑块C 可沿杆O 滑动。

摇杆摆动时带动杆EC 推动钢材。

已知 B 11O B 1a OA =，a AB 3=，O ，在图示位置时，321b/B =34b/BC =，21=OA ω rad/s ， 20.=a m ，b m 求滑块C 的绝对速度和绝对加速度，滑块C 相对于摇杆O 的速度和加速度。

1=B 16-14 图示行星齿轮传动机构中，曲柄OA 以角速度0ω绕O 轴转动，使与齿轮A 固结在一起的杆BD 运动，并借铰链B 带动BE 杆运动。

如定齿轮的半径为2r ，动齿轮半径为r ，且r AB 5=，图示瞬时，OA 在铅直位置，BD 在水平位置，杆BE 与水平线间成ϕ角。

求杆BE 上的点C 的速度。

题 6-13图 题 6-14图 6-15 曲柄OA 以恒定的角速度2rad/s =ω绕轴O 转动，并借助连杆AB 驱动半径为r 的轮子在半径为R 的圆弧槽中作无滑动的滚动。

设1m 2====r R AB OA ，求图示瞬时点B 和点C 的速度和加速度。

6-16 图示机构中，曲柄OA 以等角速度0ω作定轴转动，并带动连杆ABD 及DF 运动，E 处为一有固定支承的套筒，它可绕E 点摆动。

已知机构尺寸为r OA =，r BD AB 2==，且在图示位置上，r DE 5=，试求此瞬时杆DF 的角速度及角加速度。

题 6-15图 题 6-16图 6-17 图中滑块A 、B 、C 以连杆AB 、AC 相铰接。

滑块B 、C 在水平槽中相对运动的速度恒为。

求当时滑块B 的速度和加速度。

1.6m/s =s 50mm =x 6-18 在周转传动装置中，半径为R 的主动齿轮以角速度0ω和角加速度0ε作反时针转向转动，如图所示。

而长为3R 的曲柄OA 以同样的角速度和角加速度O 轴作顺时针转向转动。

点M 位于半径为R 的从动齿轮上，在垂直于曲柄的直径的末端。

求点M 的速度和加速度。

题 6-17图 题 6-18图。