第28招 三角函数值大小比较

【知识要点】
1、sin ,cos ,tan y x y x y x ===正弦函数余弦函数正切函数的图象与性质 性质
sin y x =
cos y x =
tan y x =
图象
定义域
R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬
⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当22
x k π
π=+
()k ∈Z 时，
max 1y =；当22
x k π
π=-
()k ∈Z 时，min 1y =-．
当()2x k k π=∈Z 时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k ∈Z 时，min 1y =-．
既无最大值，也无最小值
周期性 2π
2π
π
奇偶性
sin()sin ,x x -=-奇函数
cos()cos ,x x -=偶函数
tan()tan ,x x -=-奇函数
单调性
在2,22
2k k π
πππ⎡
⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z 上是增函数；在
32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z 上是减函数．
在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数．
在,2
2k k π
πππ⎛
⎫
-
+
⎪⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数．
对称性
对称中心()(),0k k π∈Z
对称轴()2
x k k π
π=+
∈Z ，
对称中心(),02k k π
π⎛
⎫
+
∈Z ⎪⎝
⎭
对称中心(),02k k π⎛⎫
∈Z
⎪⎝⎭
2、三角函数线
（1）由于sin MP α=,所以MP 就叫角α的正弦线.正弦线的起点在垂足，终点在角的终边与单位圆的 交点.
（2）由于cos OM α=,所以OM 就叫角α的余弦线.余弦线的起点在原点，终点在垂足.
（3）由于tan AT α=，所以AT 就叫角α的正切线.正切线的起点在单位圆与x 轴正半轴的交点A ， 终点在过点A 的切线与角α的终边或反向延长线的交点.
3、三角函数值大小的比较常用的方法是三角函数线和单调性两种方法. 【方法讲评】
【例1】设,5
sin
=a ,5cos =b ,5tan
=c 则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．c b a << D ．b c a << 【解析】32sin
sin
55a ππ==，则25
π是第一象限的锐角，根据三角函数线，所以c a b <<，故选A ．
【点评】（1）本题中由于有正弦、余弦和正切，且角(0,)απ∈，所以选择三角函数线比较大小比较方便.
（2）本题中,53sin
π=a 化简成32sin sin
55a ππ
==，这样三个角相同利用三角函数线比较更简洁. 【反馈检测1】设a=24sin 5π，b=39cos()10π-，c=43tan()12
π
-，则（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞c ＞a
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b 方法二 函数的单调性比较法
使用情景 一般三角函数可以化成同名三角函数.
解题步骤
先利用三角函数诱导公式把它们化成同名三角函数，再利用三角函数的单调性解答.
【例2】 下列关系式中正确的是（ ）
A ．000sin11sin168cos10<<
B ．000sin168sin11cos10<<
C ．000sin11cos10sin168<<
D ．000sin168cos10sin11<<
【点评】由于要比较的对象只有正弦和余弦，所以可以通过诱导公式把它们统一化成正弦，再利用正弦函数的单调性解答. 学.科.网
【反馈检测2】下列不等式中，正确的是（ ） A. 74sin 75sin
ππ> B.)7tan(815tan ππ-> C.)6sin()5sin(ππ->- D. )4
9cos()53cos(π
π->-
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第28讲：
三角函数值大小比较参考答案
【反馈检测1答案】C
【反馈检测2答案】B
【反馈检测2详细解析】函数x y sin =在区间]2
,2[ππ-
为单调递增函数，在区间]23,2[π
π为单调递增函数，
由
74sin 75sin 27475πππππ<⇒>>，由)6
sin()5sin(65π
πππ-<-⇒-<-，故A,C 错误；x y tan =在区间]2,2[ππ-
为单调递增函数,)8
tan()82tan(815tan π
πππ-=-=, 由)7
tan()8tan(78
πππ
π
->-⇒-
>-
,即)7tan()815tan(π
π->，故B 正确；,05
2cos )53cos(53cos )53cos(<-=--==-
π
ππππ 04cos )49cos(>=-
ππ，所以有)4
9cos()53cos(π
π-<-,故D 错误，综上所述，选B.。