前言 概率论发展简史

逻辑基础的建立，概率论从20世纪30年代以来得到了
迅速的发展。 目前其主要研究内容大致可分为极限理论，独立 增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列，鞅 和随机微分方程，点过程等。此外，包括组合概率 （用组合数学方法解决只涉及有限个基本事件的概率 问题）、几何概率等在内的一些属于古典范畴的问题，
至今仍有人在继续研究，并有新的发展。
小”及某种程度的对称性(即近似于正态分布)。
大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律 性的。在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中 某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是 概率论中的随机过程。例如，某一电话交换台从一确
定时刻起到其后的每一时刻为止所收到的呼唤次数便
是一随机过程。又如，微小粒子在液体中因受周围分
严格说来，这第二条公理没有确切的数学含义。 因此，这种所谓公理化在数学上是不可取的。此外， 象某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这 一事件的概率，在米泽斯理论中是无法定义的。这种 频率法的理论依据是强大数律，它具有较强的直观性， 易为实际工作者和物理学家所接受。但随着科学的进 步，它又已逐渐被绝大多数物理学家所抛弃。
程的一种新方法，即概率方法。这种方法的特点是着
眼于随机过程的轨道性质。
莱维对概率论的另一重要贡献是建立了独立增量
过程的一般理论。他的著作《随机过程与布朗运动》 (1948)至今仍是随机过程理论的一本经典著作。现代 概率论的另外两个代表人物是杜布和伊藤清，前者创 立了鞅论，后者创立了布朗运动的随机积分理论。 在概率发展史中特别值得一提的是柯尔莫哥洛夫 在1933年建立了概率论的公理化体系。
拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总 结前人工作的基础上，写出了《概率的分析理论》
(1812年出版,后又再版6次)。在这一著作中，他首
次明确规定了概率的古典定义（通常称为古典概率，
见概率），并在概率论中引入了更有力的分析工具，
如差分方程、母函数等，从而实现了概率论由单纯 的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个 新的发展阶段。拉普拉斯非常重视概率论的实际应 用,对人口统计学尤其感兴趣。
继拉普拉斯以后,概率论的中心研究课题是推广和
改进伯努利大数律及棣莫弗－拉普拉斯极限定理。在
这方面，俄国数学家切比雪夫迈出了决定性的一步， 1866年他用他所创立的切比雪夫不等式建立了有关独 立随机变量序列的大数律。次年，又建立了有关各阶 绝对矩一致有界的独立随机变量序列的中心极限定理； 但其证明不严格，后来由马尔可夫于1898年补证。
1905年爱因斯坦和斯莫卢霍夫斯基各自独立地研 究了布朗运动。他们用不同的概率模型求得了运动质 点的转移密度。但直到1923年，维纳才利用三角级数 首次给出了布朗运动的严格数学定义，并证明了布朗
运动轨道的连续性。1907年马尔可夫在研究相依随机
变量序列时，提出了现今称之为马尔可夫链（见马尔
可夫过程）的概念；而马尔可夫过程的理论基础则由
柯尔莫哥洛夫在1931年所奠定。
稍后一些时候，辛钦研究了平稳过程的相关理论 (1934)。所有这些关于随机过程的研究，都是基于分 析方法，即将概率问题化为微分方程或泛函分析等问 题来解决。从1938年开始，莱维系统深入地研究了布 朗运动，取得了一系列重要成果，他充分利用概率的 直觉性，将逻辑与直觉结合起来，倡导了研究随机过
出了建立概率论公理化体系的问题,最先从事这方面
研究的是庞加莱、波莱尔及伯恩斯坦。
关于概率论与测度论有联系这一重要思想就出自波 莱尔。伯恩斯坦于1917年构造了概率论的第一个公理
化体系。20年代以后，相继出现了凯恩斯及米泽斯等
人的工作。凯恩斯主张把任何命题都看作是事件。例
如,“明天将下雨”，“土星上有生命”,“某出土文
20世纪初完成的勒贝格测度和勒贝格积分理论
以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，为概率 论公理体系的确立奠定了理论基础。人们通过对概 率论的两个最基本的概念即事件与概率的长期研究， 发现事件的运算与集合的运算完全类似，概率与测
度有相同的性质。到了30年代，随着大数律研究的
深入，概率论与测度论的联系愈来愈明显。
例如强、弱大数律中的收敛性(见概率论中的 收敛)与测度论中的几乎处处收敛及依测度收敛完 全类似。在这种背景下，柯尔莫哥洛夫于1933年在 他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测 度论式的定义和一套严密的公理体系。这一公理体
系着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关
系，并用这些规定来表明概率的运算法则。
两个骰子朝上的面共有36种可能，可知，7是最容 易出现的和数。 卡当曾预言说押7最好。 现在看来这个想法是很简单的，可是在卡当的时代， 应该说是很杰出的思想方法。 在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没
有出现真正的概率论。
十七世纪中叶，法国贵族德· 美黑在骰子赌博中， 由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博，要靠 对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什 么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国 的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向 前迈出了第一步。
著《推测术》中。
这里所说的事件的概率,应理解为事件发生的机会的 一个测度,即公理化概率测度(详见后)。1716年前后,棣
莫弗对p =1/2情形,用他导出的关于n!的渐近公式进一
步证明了两项分布渐近地服从正态分布（德国数学家高
斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，所
以也称为高斯分布）。棣莫弗的这一结果后来被法国数 学家拉普拉斯推广到一般的p(0<p<1)的情形，后世称之 为棣莫弗-拉普拉斯极限定理,这是概率论中第二个基本 极限定理（见中心极限定理）的原始形式。
拉普拉斯关于概率的古典定义带有很大的局限性。当
严密的概率公理化系统建立后，几何概率才能健康地
发展且有广泛的应用。
虽然到了19世纪下半叶，概率论在统计物理学中 的应用及概率论的自身发展已突破了概率的古典定 义，但关于概率的一般定义则始终未能明确化和严 格化。这种情况既严重阻碍了概率论的进一步发展 和应用，又落后于当时数学的其他分支的公理化潮 流。1900年,d.希尔伯特在世界数学家大会上公开提
子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）也
是一随机过程。
研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的 某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道（即过 程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课 题。总之，概率论与实际有着密切的联系，它在自然 科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都 有广泛的应用。概率论还是数理统计学的理论基础。。
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机 现象是指这样的客观现象，当人们观察它时，所得的 结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。 在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。例
如,掷一硬币,可能出现正面或反面；测量一物体长度，
由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能
有差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡,其寿命长短
帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究
了德· 美黑提出的关于骰子赌博的问题。
该问题可以简化为：
甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，
甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢
取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由
于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平 合理。
帕斯卡：若再掷一次，甲胜，甲获全部赌注；乙胜， 甲、乙平分赌注；两种情况可能性相同，所以这两种 情况平均一下。甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。 费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情 况：
概率论公理化体系的建立 早在拉普拉斯给出概率的古典定义之前，人们 就提出了几何概率的概念，这是研究有无穷多个可
能结果的随机现象问题的，著名的布丰（曾译蒲丰）
投针问题(1777)就是几何概率的一个早期例子。19
世纪，几何概率逐步发展起来。但到19世纪末，出
现了一些自相矛盾的结果。
当一随机试验有无穷多个可能结果时，有时很难 客观地规定“等可能”这一概念。这反映了几何概率 的逻辑基础是不够严密的。几何概率这类问题说明了
参差不齐;等等。这些都是随机现象。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,随机 试验的每一可能结果称为一个基本事件,一个或一组 基本事件又通称随机事件，或简称事件。事件的概率 则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随
机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以
在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显
发展简史 概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。 16世纪，意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中 的一些简单问题，例如比较掷两个骰子出现总点数为
9或10的可能性大小。17世纪中叶，法国数学家b.帕
斯卡、p. de.费马及荷兰数学家c.惠更斯基于排列组
合的方法(见组合数学)研究了一些较复杂的赌博问题，
的数量规律性。人们在长期实践中已逐步觉察到某些
这样的规律性，并在实际中应用它。
例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的 频率（出现次数与投掷次数之比）随着投掷次数的 增加逐渐稳定于1/2。又如,多次测量一物体的长度， 其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳 定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的近旁， 越远则越少，因之其分布状况呈现“中间大、两头
情况
胜者
1
甲甲
2
甲乙
3ຫໍສະໝຸດ Baidu
乙甲
4
乙乙
前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获 全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问
题。虽然他们在解答中没有明确定义概率，但是， 他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情 况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率， 所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。
前言
概率论发展简史
生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上 只是概率的问题。 —— 拉普拉斯
《重要的艺术》一书的作者、意大利医生兼数
学家卡当，据说曾大量地进行过赌博。他在赌博
时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。 据说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰 子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的 内容。已知骰子的六个面上分别为1~6点，那么， 赌注下在多少点上最有利？
他们解决了“合理分配赌注问题”（即“得分问 题”）、“输光问题”等等。。
其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算 期望的赢值，从而导致了现今称之为数学期望的概 念（由惠更斯明确提出）。使概率论成为数学的一 个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯 努利,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利 大数律；这一结果发表于他死后8年(1713)出版的遗
物是某年代的产品”,等等。他把一事件的概率看作 是人们根据经验对该事件的可信程度，而与随机试验 没有直接联系，因此，通常称为主观概率。
从凯恩斯起，对主观概率提出了几种公理体系，但
没有一种堪称权威。也许，主观概率的最大影响不在
概率论领域自身，而在数理统计学中近年来出现的贝
叶斯统计学派。和主观概率学派相对立的是以米泽斯 为代表的概率的频率理论学派。米泽斯把一事件的概 率定义为该事件在独立重复随机试验中出现的频率的 极限，并把此极限的存在性作为他的第一条公理。他 的第二条公理是，对随机选取的子试验序列，事件出 现的频率的极限也存在并且极限值相等。
它们是从客观实际中抽象出来的，既概括了概率
的古典定义、几何定义及频率定义的基本特性，又
避免了各自的局限性和含混之处。这一公理体系一 经提出，便迅速获得举世的公认。它的出现，是概 率论发展史上的一个里程碑，为现代概率论的蓬勃 发展打下了坚实的基础。
现代概率论的内容
由于科学技术中许多实际问题的推动以及概率论
1901年李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相
当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理。
他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中
遇到的许多随机变量近似服从正态分布。继李亚普诺 夫之后，辛钦、柯尔莫哥洛夫、莱维及费勒等人在随 机变量序列的极限理论方面作出了重要贡献。到20世 纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论已臻完 备。在此期间,由于实际问题的需要,特别是受物理学 的刺激，人们开始研究随机过程。