《应用一元一次方程——水箱变高了》教案 (公开课)2022年
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5.3 应用一元一次方程
——水箱变高了
〖教学目标〗
1.知识与技能
(1)通过分析图形问题中的根本等量关系,建立方程解决问题。
(2)进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。
2.数学思考
认识方程模型的重要性,领悟用方程解决实际问题的关键是找到等量关系。
3.解决问题
体会数学与现实生活的密切联系,增强应用意识,提高运用数学知识与方法解决实际问题的能力。
4.情感与态度
培养敢于面对学习中的困难,增强自信,大胆猜想并发表自己的观点,激发好奇心和主动学习的欲望。
〖教材分析〗
本节课主要通过分析图形问题中的根本等量关系,建立方程解决问题。
教材首先通过一个锻压问题,使学生领悟形体变化问题中的变与不变,体验解决形变而体积不变这一问题的思路和方法。
在此根底上,又通过例题进一步提高运用数学知识与方法解决实际问题的能力。
本节课的重点是:通过对实际问题所涉及的数学关系的理解,寻找图形问题中的等量关系,建立一元一次方程,使实际问题数学化。
本节课的难点是:审清题意,关键是让学生抓住图形问题中的不变量。
〖教学设计〗
(一)创设问题情境,引入新课
同学们,今天这堂课我们共同来学习?应用一元一次方程——水箱变高了?。
我们先做两个小实验,请同学们仔细观察。
1.把准备好的橡皮泥由又“矮〞又“胖〞的圆柱体拉伸成“瘦长〞形的圆柱体。
2.准备一个量桶(细长型)和一个烧杯(矮胖型),把烧杯中的水倒入量桶里(注:水中滴入红墨水加色)。
师:通过对这两个实验的观察,你是否已经领悟出课题“水箱长高了〞的真实含义了?
生1:通过这两个实验我觉得“水箱长高了〞的真实含义是:物体的形状发生了变化,由矮胖的圆柱体变成了“细长〞的圆柱体。
如果反过来,也可以叫做“水箱变矮了〞。
生2:“水箱长高了〞实际上就是物体的变形问题,由一种形状变成了另一种形状,比方把橡皮泥由正方体也可以捏成圆柱体等。
师:他们答复得棒极了!那么在这两个实验中,圆柱由“低〞变“高〞的过程中,圆柱的哪些量发生了变化?有没有不变的量?请小组同学讨论后答复。
生:我组同学一致认为,在圆柱的形状由“低〞变“高〞的过程中,圆柱的半径、高等都发生了变化,而它们的体积和质量始终不变。
师:答复得很好,如果要你说出这个问题中存在的等量关系,应该是什么呢?
板书:变化前的体积=变化后的体积。
变化前的质量=变化后的质量。
(二)新课
师:非常好。
我这儿有一个问题,需请大家帮助解决。
(出示投影1)
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。
现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。
那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原先的4m增高为了多少米?
生:这个问题就和刚刚做的实验一样,其形状变了,但体积不变,
即旧水箱的容积=新水箱的容积。
可列方程解决。
师:这位同学分析得很好,那么水箱的体积等于……?
生:底面积×高,即π×半径2×高
师:如何表示水箱前后的体积呢?请想好后请填写下面的表格。
(投影显示)如果设新水箱的高为x厘米,那么
〔学生独立填写,教师巡视,发现问题及时纠正;再把一些常见的问题展示给学生纠正,师生共析后,由学生独立完成此题解答过程。
)(投影展示学生解答过程) 解:设新水箱的高为x厘米,根据题意,得
π×4×4=π×〔1.6〕2×x。
解得x=6.25。
答:高变成了6.25厘米。
师:我们再看一个例子(出示投影2)。
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。
(1)使得该长方形的长比宽多1.4米,此时长方形的长、宽各为多少米?
(2)使得该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比,面积有何变化?
(3)使得该长方形的长与宽相等,围成一个正方形,此时正方形的边长是多少米?它所围成的面积与(2)中相比有何变化?
学生分组活动:
(1)各小组拿出准备好的细铁丝动手折一个长方形,并在仔细阅题的根底上,观察分析哪些量发生了变化,哪些量没有变化,其中的等量关系是什么,如何列方程来解决。
(2)学生在教师的鼓励下积极思考,争论并得出长方形的长和宽在围合过程中虽然在变化,但其周长并没有变,由此建立等量关系:2(长+宽)=周长。
(3)由小组分工合作,完成此题的三个小问题,最后相互讨论,或通过小组列表格演算,比较长方形的面积变化情况,大胆猜想得出结论。
(4)请小组代表汇报三个问题的解答过程。
(投影展示学生的解答过程)
解:(1)设此时长方形的宽为x米,那么它的长为(x+1.4)米。
根据题意,得
[x+(x+1.4)]×2=10,
2x=5-1.4,
x=1.8,
x+1.4=1.8+1.4=3.2。
此时长方形的长和宽分别为3.2米、1.8米。
(2)设此时长方形的宽为x米,那么它的长为(x+0.8)米,根据题意,得
[x+(x+0.8)]×2=10,
2x=5-0.8,
2x=4.2,
x=2.1,
x+0.8=2.1+0.8=2.9.
此时长方形的长和宽分别是2.9米、2.1米。
它围成的长方形的面积为2.1×2.9=6.09(米2),
而(1)中长方形的面积为3.2×1.8=5.76(米2),
此时长方形的面积比(1)中的面积增大6.09-5.76=0.33(米2)。
(3)设正方形的边长为x米,由题意,得
4x=10,
x=2.5。
正方形的边长为2.5米,所围成的面积为2.5×2.5=6.25(米2),比(2)中面积增大6.25-6.09=0.16(米2)。
师:解决此题的关键是什么,从中你有何收获和体验?(充分展露学生的大胆猜想和创新想法)
师生共析:解答这道题的关键是要认识到在改变长方形的长和宽的同时,长方形的周长不变,始终是铁丝的长度(10米),由此便可建立等量关系;同时我们也发现,虽然长方形的周长不变,但改变长方形的长和宽时,长方形的面积却在发生变化,而且大家发现长和宽越接近面积就越大。
至于围成正方形的时候面积是不是到达最大,同学们不妨课后继续讨论这个问题。
(三)小结
师:通过今天这堂课的学习,谈谈你的收获(由学生发言总结)。
(四)课堂练习
1.略。
(课本第142页)
(此题由学生独立完成或合作完成)(投影展示学生的解答过程)
解:设长方形的长为x厘米,根据题意,得
2(x+10)=10×4+6×2。
解得x=16。
答:小颖所钉长方形的长为16厘米,宽为10厘米。
2.借助烧杯、量筒、正方体盒子等,教师可通过演示操作过程及提供必要的条件,由学生编题(注:本练习仅做为提问式口答练习,只需正确找出等量关系,设未知数列出方程即可)。
参考练习题:
(1)将一个直径为40毫米、高为300毫米的圆柱体量桶装满水,再把水倒入一个底面直径为90毫米的圆柱体玻璃杯中,那么杯中水的高为多少?
(2)将上题圆柱体玻璃杯换成一个底面积为60×60毫米2、高为80毫米的正方体盒子,水能全部倒入盒中吗?假设不能,当盒中装满水时,量桶中的水下降了多少毫米?
(3)在底面直径为90毫米的圆柱体玻璃杯中,装入局部水,再将一个底面半径为15毫米、高为10毫米的盒子全部沉入水中,圆柱体玻璃杯水位上升多少毫米?
(五)课后作业
习题5.6。
〖教学反思〗
本节课由于标题新颖有趣,所以一开始就抓住了学生的求知欲望,课堂气氛活泼,答复以下问题、讨论问题积极主动,总体教学效果良好。
但由于学生发表自己的想法较多,使得教学时间不能很好把握,导致课堂练习时间紧张,今后应予以改进。
〖案例点评〗
本节课的引入新颖自然,从破题入手,通过两个实验(实验1为固态物体变化,实验2为液态物体变化),使学生对课题有了初步的认识,并通过学生对实验的观察发现了在物体形状发生变化时的不变量,从而为列方程找等量关系做了铺垫。
例1中设计的表格发给每个小组,为增强小组讨论结果的展示起到了较好的作用;例2那么通过让学生自己设计表格,将长为10米的铁丝分别取不同的长宽时面积发生的变化,填到表格
内,为结论的得出起到了辅助作用。
另外,课堂练习1的设计能紧扣主题,发挥学生的创造性作用;课堂练习2那么通过观察实验过程,让学生自己编写应用题,对开发学生的思维能力、提高学生的学习兴趣起到了较好的效果。
2.4有理数的加法〔1〕
二、教学目标
1.使学生掌握有理数加法法那么,并能运用法那么进行计算;
2.在有理数加法法那么的教学过程中,注意培养学生的观察、比较、归纳及运算能力.
三、教学重点和难点
重点:有理数加法法那么.
难点:异号两数相加的法那么.
四、教学手段
现代课堂教学手段
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
〔一〕、师生共同研究有理数加法法那么
前面我们学习了有关有理数的一些根底知识,从今天起开始学习有理数的运算.这节课我们来研究两个有理数的加法.
两个有理数相加,有多少种不同的情形?
为此,我们来看一个大家熟悉的实际问题:
足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量.假设我们规定赢球为“正〞,输球为“负〞.比方,赢3球记为+3,输2球记为-2.学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形:
(1)上半场赢了3球,下半场赢了2球,那么全场共赢了5球.也就是
(+3)+(+2)=+5.
①
(2)上半场输了2球,下半场输了1球,那么全场共输了3球.也就是
(-2)+(-1)=-3.
②现在,请同学们说出其他可能的情形.
答:上半场赢了3球,下半场输了2球,全场赢了1球,也就是
(+3)+(-2)=+1;
③上半场输了3球,下半场赢了2球,全场输了1球,也就是
(-3)+(+2)=-1;
④上半场赢了3球下半场不输不赢,全场仍赢3球,也就是
(+3)+0=+3;
⑤上半场输了2球,下半场两队都没有进球,全场仍输2球,也就是
(-2)+0=-2;
上半场打平,下半场也打平,全场仍是平局,也就是
0+0=0.
⑥上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形,并根据它们的具体意义得出了它们相加的和.但是,要计算两个有理数相加所得的和,我们总不能一直用这种方法.现在我们大家仔细观察比较这7个算式,看能不能从这些算式中得到启发,想方法归纳出进行有理数加法的法那么?也就是结果的符号怎么定?绝对值怎么算?
这里,先让学生思考2~3分钟,再由学生自己归纳出有理数加法法那么:
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0;
3.一个数同0相加,仍得这个数.
〔二〕、应用举例变式练习
例1 计算以下算式的结果,并说明理由:
(1)(+4)+(+7); (2)(-4)+(-7); (3)(+4)+(-7); (4)(+ 9)+(-4);
(5)(+4)+(-4); (6)(+9)+(-2); (7)(-9)+(+2); (8) (-9)+0;
(9)0+(+2); (10)0+0.
学生逐题口答后,教师小结:
进行有理数加法,先要判断两个加数是同号还是异号,有一个加数是否为零;再根据两个加数符号的具体情况,选用某一条加法法那么.进行计算时,通常应该先确定“和〞的符号,再计算“和〞的绝对值.
解:(1) (-3)+(-9) (两个加数同号,用加法法那么的第2条计算) =-(3+9) (和取负号,把绝对值相加)
=-12.
下面请同学们计算以下各题:
(1)(-0.9)+(+1.5); (2)(+2.7)+(-3); (3)(-1.1)+(-2.9);
全班学生书面练习,四位学生板演,教师对学生板演进行讲评.
〔三〕、小结
这节课我们从实例出发,经过比较、归纳,得出了有理数加法的法那么.今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题.
应用有理数加法法那么进行计算时,要同时注意确定“和〞的符号,计算“和〞的绝对值两件事.
七、练习设计
1.计算:
(1)(-10)+(+6); (2)(+12)+(-4); (3)(-5)+(-7); (4)(+6)+( +9);
(5)67+(-73); (6)(-84)+(-59); (7)33+48; (8 )(-56)+37.
2.计算:
(1)(-0.9)+(-2.7); (2)3.8+(-8.4);
(3)(-0.5)+3;
(4)3.29+1.78;(5)7+(-3.04);
(6)(-2.9)+(-0.31);
(7)(-9.18)+6.18; (8)4.23+(-6.77); (9)(
-0.78)+0.
4*.用“>〞或“<〞号填空:
(1)如果a>0,b>0,那么a+b ______0;
(2)如果a<0,b<0,那么a+b ______0;
(3)如果a>0,b<0,|a|>|b|,那么a+b ______0;
(4)如果a<0,b>0,|a|>|b|,那么a+b ______0.
5*.分别根据以下条件,利用|a|与|b|表示a与b的和:
(1)a>0,b>0; (2) a<0,b<0;
(3)a>0,b<0,|a|>|b|; (4)a>0,b<0,|a|<|b|.
九、教学后记
“有理数加法法那么〞的教学,可以有多种不同的设计方案.大体上可以分为两类:一类是较快地由教师给出法那么,用较多的时间(30分钟以上)组织学生练习,以求熟练地掌握法那么;另一类是适当加强法那么的形成过程,从而在此过程中着力培养学生的观察、比较、归纳能力,相应地适当压缩应用法那么的练习,如本教学设计.
现在,试比较这两类教学设计的得失利弊.
第一种方案,教学的重点偏重于让学生通过练习,熟悉法那么的应用,这种教法近期效果较好.第二种方案,注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法那么的过程,主动获取知识.这样,学生在这节课上不仅学懂了法那么,而且能感知到研究数学问题的一些根本方法.这种方案减少了应用法那么进行计算的练习,所以学生掌握法那么的熟练程度可能稍差,这是教学中应当注意的问题.但是,在后续的教学中学生将千万次应用“有理数加法法那么〞进行计算,故这种缺陷是可以得到弥补的.第一种方案削弱了得出结论的“过程〞,失去了培养学生观察、比较、归纳能力的一次时机.权衡利弊,我们主张采用第二种教学方。