浙江省台州市2021-2022学年中考数学全真模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程2240x x ++=的根的情况是（ ）
A ．有一个实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．没有实数根
2．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（ ）
A ．r ＜5
B ．r ＞5
C ．r ＜10
D ．5＜r ＜10 3．要使式子2a a +有意义，a 的取值范围是（ ） A ．0a ≠ B ．且0a ≠ C ．2a >-. 或0a ≠ D ．2a ≥- 且0a ≠
4．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于
12
MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（ ）
A ．a=b
B ．2a+b=﹣1
C ．2a ﹣b=1
D ．2a+b=1
5．如图，△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于
12
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．55°
D ．45°
6．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、O 都在格点上，则A ∠的正弦值是()
A ．55
B ．510
C ．255
D ．12
7．如果23510a a +-=，那么代数式()()()5323+232a a a a +--的值是（ ）
A ．6
B ．2
C ．-2
D ．-6
8．点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）在反比例函数y =
1x 的图象上，若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 3＜y 1
C ．y 3＜y 2＜y 1
D ．y 2＜y 1＜y 3
9．安徽省在一次精准扶贫工作中，共投入资金4670000元，将4670000用科学记数法表示为（ ）
A ．4.67×107
B ．4.67×106
C ．46.7×105
D ．0.467×107 10．如图，点F 是
ABCD 的边AD 上的三等分点，BF 交AC 于点E ，如果△AEF 的面积为2，那么四边形CDFE
的面积等于( )
A ．18
B ．22
C ．24
D ．46
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度．
12．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x 个，则根据题意，可列出方程：__________．
13．若式子x1
x
+
有意义，则x的取值范围是．
14．已知，则＝_______．
15．已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（1，0），将线段AB绕着点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则A′的坐标为_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）北京时间2019年3月10日0时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将中星6C 卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面C处发射，当火箭达到A点时，从位于地面雷达站D处测得DA 的距离是6km，仰角为42.4︒；1秒后火箭到达B点，测得DB的仰角为45.5︒.(参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02)
(Ⅰ)求发射台与雷达站之间的距离CD；
(Ⅱ)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少(结果精确到0.01)？
18．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC 的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．
(1)求证：四边形FBGH是菱形；
(2)求证：四边形ABCH是正方形．
19．（8分）某学校要了解学生上学交通情况，选取七年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知七年级乘公交车上学的人数为50人．（1）七年级学生中，骑自行车和乘公交车上学的学生人数哪个更多？多多少人？
（2）如果全校有学生2400人，学校准备的600个自行车停车位是否足够？
20．（8分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3
2
与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）．绕
点A旋转的直线l：y＝kx+b1交抛物线于另一点D，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点D在第二象限且满足CD＝5AC时，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为直线l下方抛物线上的一点，直接写出△ACE面积的最大值；
（4）如图2，在抛物线的对称轴上有一点P，其纵坐标为4，点Q在抛物线上，当直线l与y轴的交点C位于y轴负半轴时，是否存在以点A，D，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
21．（8分）现在，某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果某商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？
22．（10分）某公司对用户满意度进行问卷调查，将连续6天内每天收回的问卷数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1．第3天的频数是2．请你回答：
（1）收回问卷最多的一天共收到问卷_________份；
（2）本次活动共收回问卷共_________份；
（3）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少？
（4）按照（3）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖，第4天和第6天分别有10份和2份获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
23．（12分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．求证：AE与⊙O相切于点A；若AE∥BC，BC=27，AC=22，求AD的长．
24．一个口袋中有1个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、1．从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．
（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；
（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
试题分析：△=22-4×4=-12<0，故没有实数根；
故选D．
考点：根的判别式．
2、D
【解析】
延长CD 交⊙D 于点E ，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB=22AC BC +=15， ∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22
， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3
=5，DG=2.5， ∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ，
∴ 510r <<，
故选D.
【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG 的长是解题的关键.
3、D
【解析】
根据二次根式和分式有意义的条件计算即可.
【详解】
解：∵2a a
+ 有意义， ∴a+2≥0且a≠0，
解得a≥-2且a≠0.
故本题答案为：D.
【点睛】
二次根式和分式有意义的条件是本题的考点，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0.
4、B
【解析】
试题分析：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，
则P 点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，
∴2a+b=﹣1．故选B ．
5、A
【解析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC ，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
【详解】
由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线，
则AD=DC ，故∠C=∠DAC ，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 6、A
【解析】
由题意根据勾股定理求出OA ，进而根据正弦的定义进行分析解答即可．
【详解】
解：由题意得，2OC =，4AC =，
由勾股定理得，2225
AO AC OC
+=
5
OC
sinA
OA
∴==
故选：A．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
7、A
【解析】
【分析】将所求代数式先利用单项式乘多项式法则、平方差公式进行展开，然后合并同类项，最后利用整体代入思想进行求值即可.
【详解】∵3a2+5a-1=0，
∴3a2+5a=1，
∴5a(3a+2)-(3a+2)(3a-2)=15a2+10a-9a2+4=6a2+10a+4=2（3a2+5a）+4=6，
故选A.
【点睛】本题考查了代数式求值，涉及到单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项等，利用整体代入思想进行解题是关键.
8、D
【解析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x1，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数y=1
x
中，k=1＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，∵x1＜x2＜0＜x1，
∴A、B在第三象限，点C在第一象限，∴y1＜0，y2＜0，y1＞0，
∵在第三象限y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y1．
故选D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．
9、B
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】
将4670000用科学记数法表示为4.67×106，
故选B.
【点睛】
本题考查了科学记数法—表示较大的数，解题的关键是掌握科学记数法的概念进行解答.
10、B
【解析】
连接FC，先证明△AEF∽△BEC，得出AE∶EC=1∶3，所以S△EFC=3S△AEF，在根据点F是□ABCD的边AD上的三等分点得出S△FCD=2S△AFC，四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC，再代入△AEF的面积为2即可求出四边形CDFE 的面积.
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC；
∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF∽△BEC，
∴AF
BC
=
AE
EC
=
1
3
，
∵△AEF与△EFC高相等，
∴S△EFC=3S△AEF，
∵点F是□ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，
∵△AEF 的面积为2，
∴四边形CDFE 的面积=S △FCD + S △EFC =16+6=22.
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用与三角形的面积，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用与三角形的面积的相关知识点.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、30°
【解析】
根据旋转的性质得到∠BOD=45°，再用∠BOD 减去∠AOB 即可.
【详解】
∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后，得到△COD ，
∴∠BOD=45°，
又∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=∠BOD －∠AOB=45°－15°
=30°. 故答案为30°
. 12、300200(110%)20
x x =⨯-- 【解析】 【分析】若设甲每小时检测x 个，检测时间为300x ，乙每小时检测()20x -个，检测时间为20020
x -，根据甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，列出方程即可. 【解答】若设甲每小时检测x 个，检测时间为
300x ，乙每小时检测()20x -个，检测时间为20020x -，根据题意有： ()300200110%20
x x =⨯--. 故答案为()300200110%.20
x x =⨯-- 【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系.
13、x 1≥-且x 0≠
【解析】
∴x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为x≥-1且x≠0.
14、3
【解析】
依据可设a=3k,b=2k，代入化简即可．
【详解】
∵，
∴可设a=3k,b=2k，
∴=3
故答案为3.
【点睛】
本题主要考查了比例的性质及见比设参的数学思想，组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
15、增大．
【解析】
根据二次函数的增减性可求得答案
【详解】
∵二次函数y=x2
的对称轴是y轴，开口方向向上，∴当y随x的增大而增大.
故答案为：增大.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
16、(2，3)
【解析】
作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，证明△ABC≌△BA′C′，可得OC′=OB+BC′=1+1=2，A′C′=BC=3，可得结果．
【详解】
如图，作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，
∵点A 、B 的坐标分别为（-2，1）、（1，0），
∴AC=2，BC=2+1=3，
∵∠ABA′=90°，
∴ABC+∠A′BC′=90°，
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠A′BC′，
∵BA=BA′，∠ACB=∠BC′A′，
∴△ABC ≌△BA′C′，
∴OC′=OB+BC′=1+1=2，A′C′=BC=3，
∴点A′的坐标为（2，3）．
故答案为（2，3）．
【点睛】
此题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标的确定．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
三、解答题（共8题，共72分）
17、 (Ⅰ)发射台与雷达站之间的距离CD 约为4.44km ；(Ⅱ)这枚火箭从A 到B 的平均速度大约是0.51/km s .
【解析】
(Ⅰ)在Rt △ACD 中，根据锐角三角函数的定义，利用∠ADC 的余弦值解直角三角形即可；
(Ⅱ)在Rt △BCD 和Rt △ACD 中，利用∠BDC 的正切值求出BC 的长，利用∠ADC 的正弦值求出AC 的长，进而可得AB 的长，即可得答案.
【详解】
(Ⅰ)在Rt ACD 中，6DA km =，42.4A CD ADC cos DC AD
∠∠=︒=，
≈0.74， ∴()642.4 4.44km CD AD cos ADC cos ∠=⋅=⨯︒≈.
答：发射台与雷达站之间的距离CD 约为4.44km . (Ⅱ)在Rt BCD 中， 4.44km 45.5,BC CD BDC tan BDC CD
∠∠==︒=，， ∴()4.4445.5 4.44 1.02 4.5288km BC CD tan BDC tan ∠=⋅=⨯︒≈⨯=.
∵在Rt ACD 中，AC sin ADC AD
∠=， ∴()642.4 4.02km AC AD sin ADC sin ∠=⋅=⨯︒≈.
∴()4.5288 4.020.50880.51km AB BC AC =-=-=≈.
答：这枚火箭从A 到B 的平均速度大约是0.51/km s .
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.
18、（1）见解析 （2）见解析
【解析】
（1）由三角形中位线知识可得DF ∥BG ，GH ∥BF ，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH 是菱形；
（2）连结BH ，交AC 于点O ，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH ，OF=OG ，又AF=CG ，所以OA=OC ．再
根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH 是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．
【详解】
（1）∵点F 、G 是边AC 的三等分点，
∴AF=FG=GC ．
又∵点D 是边AB 的中点，
∴DH ∥BG ．
同理：EH ∥BF ．
∴四边形FBGH 是平行四边形，
连结BH ，交AC 于点O ，
∴OF=OG ，
∴AO=CO ，
∵AB=BC ，
∴BH ⊥FG ，
∴四边形FBGH 是菱形；
（2）∵四边形FBGH 是平行四边形，
∴BO=HO ，FO=GO ．
又∵AF=FG=GC ，
∴AF+FO=GC+GO ，即：AO=CO ．
∴四边形ABCH 是平行四边形．
∵AC ⊥BH ，AB=BC ，
∴四边形ABCH 是正方形．
【点睛】
本题考查正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
19、（1）骑自行车的人数多，多50人；（2）学校准备的600个自行车停车位不足够，理由见解析
【解析】
分析: （1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得答案；
（2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案.
详解:
（1）乘公交车所占的百分比60360=16
， 调查的样本容量50÷16=300人，
骑自行车的人数300×120360
=100人， 骑自行车的人数多，多100﹣50=50人；
（2）全校骑自行车的人数2400×
120360=800人， 800＞600，
故学校准备的600个自行车停车位不足够．
点睛: 本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
20、（1）y ＝12
x 2+x ﹣32；（2）y ＝﹣x +1；（3）当x ＝﹣2时，最大值为94；（4）存在，点D 的横坐标为﹣37或
﹣7． 【解析】 （1）设二次函数的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣1）＝ax 2+2ax ﹣3a ，即可求解；
（2）OC ∥DF ，则1,5
AC AO CD OF == 即可求解； （3）由S △ACE =S △AME ﹣S △CME 即可求解；
（4）分当AP 为平行四边形的一条边、对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
（1）设二次函数的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣1）＝ax 2+2ax ﹣3a ，
即：332a -=-，
解得：12a =， 故函数的表达式为： 21322
y x x =+-①； （2）过点D 作DF ⊥x 轴交于点F ，过点E 作y 轴的平行线交直线AD 于点M ，
∵OC ∥DF ，∴1,5
AC AO CD OF ==OF ＝5OA ＝5， 故点D 的坐标为（﹣5，6），
将点A 、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 得：650m n m n =-+⎧⎨=+⎩，解得：11.m n =-⎧⎨=⎩
即直线AD 的表达式为：y ＝﹣x +1，
（3）设点E 坐标为213,
22x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 则点M 坐标为(),1x x -+， 则221315122222
EM x x x x x =-+--+=--+， ()211912244
ACE AME CME S S S EM x ，=-=⨯⨯=-++ ∵104
a =-<，故S △ACE 有最大值， 当x ＝﹣2时，最大值为94
； （4）存在，理由：
①当AP 为平行四边形的一条边时，如下图，
设点D 的坐标为213,22t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 将点A 向左平移2个单位、向上平移4个单位到达点P 的位置，
同样把点D 左平移2个单位、向上平移4个单位到达点Q 的位置，
则点Q 的坐标为215222t t t ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭
，， 将点Q 的坐标代入①式并解得：3t ；
=- ②当AP 为平行四边形的对角线时，如下图，
设点Q 坐标为21
3,22t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
，点D 的坐标为（m ，n ）， AP 中点的坐标为（0，2），该点也是DQ 的中点，
则：20
213222,2m t n t t +⎧=⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩ 即： 2111,22m t n t t =-⎧⎪⎨=--+⎪⎩
将点D 坐标代入①式并解得：7m =．
故点D 的横坐标为：3-77．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、平行四边形的性质等，关键是（4）中，用图形平移的方法求解点的坐标，本题难度大．
21、（1）当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算；（2）小张买卡合算，能节省400元钱；（3）这台冰箱的进价是2480元．
【解析】
（1）设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等，根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，列出方程，解方程即可；根据x的值说明在什么情况下购物合算
（2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算，以及节省的钱数；
（3）设进价为y元，根据售价-进价=利润，则可得出方程即可．
【详解】
解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．
根据题意，得300+0.8x＝x，
解得x＝1500，
所以当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等；
当顾客消费少于1500元时，300+0.8x>x不买卡合算；
当顾客消费大于1500元时，300+0.8x<x买卡合算；
（2）小张买卡合算，
3500﹣（300+3500×0.8）＝400，
所以，小张能节省400元钱；
（3）设进价为y元，根据题意，得
（300+3500×0.8）﹣y＝25%y，
解得y＝2480
答：这台冰箱的进价是2480元．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22、18 60分
【解析】
分析：（1）观察图形可知，第4天收到问卷最多，用矩形的高度比=频数之比即可得出结论；
（2）由于组距相同，各矩形的高度比即为频数的比，可由数据总数=某组的频数÷频率计算；
（3）根据概率公式计算即可；
（4）分别计算第4天，第6天的获奖率后比较即可．
详解：（1）由图可知：第4天收到问卷最多，设份数为x，则：4：6=2：x，解得：x=18；
（2）2÷[4÷（2+3+4+6+4+1）]=60份；
（3）4183P 6010==∴第天，抽到第4天回收问卷的概率是310
； （4）第4天收回问卷获奖率105189=，第6天收回问卷获奖率23
． ∵5293
<， ∴第6天收回问卷获奖率高．
点睛：本题考查了对频数分布直方图的掌握情况，根据图中信息，求出频率，用来估计概率．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）证明见解析；（2）AD=214．
【解析】
（1）如图，连接OA ，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO ，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO ，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA ⊥BC ，由垂径定理得：AB AC =，FB=
12
BC ，根据勾股定理计算AF 、OB 、AD 的长即可． 【详解】
（1）如图，连接OA ，交BC 于F ，
则OA=OB ，
∴∠D=∠DAO ，
∵∠D=∠C ，
∴∠C=∠DAO ，
∵∠BAE=∠C ，
∴∠BAE=∠DAO ，
∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE ⊥OA ，
∴AE 与⊙O 相切于点A ；
（2）∵AE ∥BC ，AE ⊥OA ，
∴OA ⊥BC ，
∴AB AC =，FB=12BC ， ∴AB=AC ，
∵BC=27，AC=22，
∴BF=7，AB=22，
在Rt △ABF 中，AF=()()22227-=1，
在Rt △OFB 中，OB 2=BF 2+（OB ﹣AF ）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt △ABD 中，AD=22648214BD AB -=-=．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
24、（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为：
．
【解析】
试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）由（1）得：两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，∴两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为：．
考点：列表法与树状图法．。