2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 新人教B版选修2-1(1)

引申探究 若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值.
解答
由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)， ka＋2b＝(k－2，k,4)， ∵(ka－b)⊥(ka＋2b)， ∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得 k＝－2 或 k＝52，
故所求 k 的值为－2 或52.
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
满足条件
名称
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a⊥b 模
a＝λb(λ∈R)
a·a
a·b＝|aa0|·|bb|
|a|＝______
a1＝λab1b11，＋aa2b22＝＋aλ3bb32＝，0 a3＝ |a|λ＝b3(aλ21＋∈a22R＋)a23
____________________ a1b1a2b2a3b3 a12a22a32 b12b22b32 ________________
A.4
B.15
√C.3
D.7
∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.
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3.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是 答案 解析
A.(1,1,1) C.(2，－3,5)
√B.(－4,6，－2)
D.(－2，－3,5)
若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.
反思与感悟
(1)平行与垂直的判断 ①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共 线. ②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判 断两向量的数量积是否为0. (2)平行与垂直的应用 ①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程. ②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
向量运算 向量表示
坐标表示
加法 减法
a＋b a－b
___(a_1_＋_b_1，__a2_＋_b_2_，_a_3＋__b3_) ___ (a1－b1，a_2－__b2，a3－b3)
______(_λa_1_，_λ_a2_，_λ_a_3)______ _ a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角
用坐标表示空间向量的步骤
反思与感悟
跟踪训练1 已知空间四边形OABC中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，点M在OA 上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则 M→N在基底{a，b，c}下的坐标 为__－__32_，__12_，__12_ _.
答案 解析
∵OM＝2MA，点M在OA上， ∴OM＝23OA， ∴M→N＝M→O＋O→N＝－O→M＋12(O→B＋O→C) ＝－23a＋12b＋12c＝－32，12，12.
跟踪训练3 在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD 和A1C1的中点. 证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
证明
(2)A1G⊥平面EFD.
证明
∵A→1G＝12，1，－1，D→F＝1，－12，0，D→E＝1，0，12， ∴A→1G·D→F＝12－12＋0＝0，A→1G·D→E＝12＋0－12＝0， ∴A1G⊥DF，A1G⊥DE. 又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.
知识点二 空间向量的坐标运算
思考
设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如 何运算？
答案
m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1， λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2.
梳理
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
跟踪训练4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是
边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD 相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所 成角为60°.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
解答
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
解答
当堂训练
1.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于 答案 解析
3.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解 决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化 为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与 对应向量的夹角的取值范围.
本课结束
D→பைடு நூலகம்＝A→G－A→D＝A→B＋12A→D－A→D＝A→B－12A→D＝(1，－12，0).
引申探究 本例中，若以{ D→A ，D→C，D―D―′ →}为基底，试写出A→E，A→G，E→F的坐标.
解答
A→E＝A→D＋D→E＝－D→A＋12D―D→′＝(－1,0，12)， A→G＝A→B＋B→G＝D→C＋(－12D→A)＝－12D→A＋D→C＝(－12，1,0)， E→F＝12D―D→′＋12D→C＝(0，12，12).
解答
因为B→C＝(－2，－1,2)，且 c∥B→C， 所以设 c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝ －2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3， 解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解答
因为 a＝A→B＝(1,1,0)，b＝A→C＝(－1,0,2)， 所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得 k＝2 或 k＝－52.
∴〈A→B，A→C〉＝π3.
与A→B 的A→夹C 角为
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规律与方法
1.在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 A→B＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标. 2.两点间的距离公式：若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则|AB|＝|A→B|＝ A→B2＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.
解答
(2)E→F，E→G，D→G.
解答
E→F＝A→F－A→E＝(A―A→′＋A→D＋12A→B)－(A→D＋12A―A→′) ＝12A―A→′＋12A→B＝ 21，0，12， E→G＝A→G－A→E＝(A→B＋12A→D)－(A→D＋12A→ A′) ＝A→B－12A→D－12A―A→′＝1，－12，－12，
关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式 计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.
跟踪训练2 若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c －a)·(2b)＝－2，则x＝_2_.
命题角度2 空间向量的坐标运算
例2 已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于
A.(2，－4,2)
B.(－2,4，－2)
C.(－2,0，－2)
D.(2,1，－3)
答案 解析
依题意，得b＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1) ＝(2，－4,2).
反思与感悟
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5.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量 π
___. 3 答案 解析
∵A→B＝(0,3,3)，A→C＝(－1,1,0)，
∴|A→B|＝3 2，|A→C|＝ 2， A→B·A→C＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos〈A→B，A→C〉＝|AA→→BB|·|AA→→CC|＝12， 又∵〈A→B，A→C〉∈[0，π]，
答案 解析
据题意，有c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)， 故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
例3 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝A→B，b＝A→C. (1)若|c|＝3，c∥ B→C .求c；
空间直角坐标系及空间向量的坐标 (1)建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向 量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j， k}，这个基底叫做 单位正交基底 .单位向量i，j，k都叫做坐标向量. (2)空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存 在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2 j＋a3k，a1i，a2 j，a3k分别为 向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在 此直角坐标系中的 坐标 .上式可简记作a＝(a1，a2，a3).
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4.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的
值是 答案 A.1
解析
1 B.5
3 C.5
√D.75
依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0， 7
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝5 .
A.(16,0,4)
B.(8，－16,4)
C.(8,16,4)
√D.(8,0,4)
4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4) .
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2.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为
答案 解析
类型三 空间向量的夹角与长度的计算
例4 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，
BB1的中点. (1)求证：EF⊥CF；
证明
(2)求E→F与C→G所成角的余弦值；
解答
因为E→F·C→G＝12×1＋12×0＋(－12)×12＝14，
|E→F|＝
122＋212＋－122＝ 23，
题型探究
类型一 空间向量的坐标表示与运算
命题角度1 空间向量的坐标表示
例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD-
A′B′C′D′ 中 ， E 、 F 、 G 分 别 为 棱 DD′ 、 D′C′ 、 BC 的 中 点 ， 以 { A→B，A→D，A―A→′}为基底，求下列向量的 坐标. (1)A→E，A→G，A→F；
|C→G|＝
12＋02＋122＝ 25，
所以
cos〈E→F，C→G〉＝|EE→→FF·||CC→→GG|＝
1 4 23×
＝ 5 2
15 15 .
(3)求CE的长.
解答
|CE|＝|C→E|＝
02＋－12＋122＝ 25.
反思与感悟
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点 落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点 的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再 利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
章3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
学习目标
1.了解空间向量坐标的定义. 2.掌握空间向量运算的坐标表示. 3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的坐标表示
思考
平面向量的坐标是如何表示的？
答案
梳理