全国通用版高中数学第八章立体几何初步典型例题

(名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步典型例题

单选题

1、已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）

A．2πR2B．9

4πR2C．8

3

πR2D．πR2

答案：B

分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出．

设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为ℎ，所以在轴截面三角形中，如图所示：

由相似可得，r

R =3R−ℎ

3R

，所以，ℎ=3R−3r，即圆柱的全面积为

S=2πr2+2πrℎ=2πr2+2πr(3R−3r)=2π(−2r2+3rR)

=2π[−2(r−3

4R)

2

+9

8

R2]≤9π

4

R2，当且仅当r=3

4

R时取等号．

故选：B．

2、如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中B′C′=C′A′=2，A′B′，A′C′分别与x′轴，y′轴平行，则BC=（）

A．2B．2√2C．4D．2√6

答案：D

分析：先确定△A′B′C′是等腰直角三角形，求出A′B′，再确定原图△ABC的形状，进而求出BC.

由题意可知△A′B′C′是等腰直角三角形，A′B′=2√2，

其原图形是Rt△ABC，AB=A′B′=2√2，AC=2A′C′=4，∠BAC=90°，

则BC=√8+16=2√6，

故选：D.

3、下面四个选项中一定能得出平面α/⁄平面β的是（）

A．存在一条直线a，a//α，a//β

B．存在一条直线a，a⊂α，a//β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α

答案：D

分析：对于A，B，C，举出符合条件的特例即可判断；对于D，过直线a作平面γ∩β=c，再证c//α即可. 如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，平面ABCD为平面α，平面ABB1A1为平面β，

对于A，直线C1D1为直线a，显然a//α，a//β，而α与β相交，A不正确；

对于B，直线CD为直线a，显然a⊂α，a//β，而α与β相交，B不正确；

对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，而α与β相交，C不正确；对于D，因a，b是异面直线，且a⊂α，b⊂β，过直线a作平面γ∩β=c，如图，

则c//a，并且直线c与b必相交，而c⊄α，于是得c//α，又b//α，即β内有两条相交直线都平行于平面α，因此，平面α/

⁄平面β.

故选：D

4、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（）

A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3

答案：C

分析：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．

依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．

棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，

∴V=1

3ℎ(S+S′+√SS′)=1

3

×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)

=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．

故选：C．

5、已知三棱锥P−ABC，其中PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A．12πB．16πC．20πD．24π

答案：C

分析：根据余弦定理、正弦定理，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可.

根据题意设底面△ABC的外心为G，O为球心，所以OG⊥平面ABC，因为PA⊥平面ABC，

所以OG//PA，设D是PA中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA，

因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC，所以AG⊥PA，因此OD//AG，

PA=1，

因此四边形ODAG是平行四边形，故OG=AD=1

2

由余弦定理，得

BC=√AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos120°=√4+4−2×2×2×(−1

)=2√3，

2

⇒AG=2，

由正弦定理，得2AG=√3

√3

2

所以该外接球的半径R满足R2=(OG)2+(AG)2=5⇒S=4πR2=20π，

故选：C．

小提示：关键点睛：运用正弦定理、余弦定理是解题的关键.

6、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1=AB=2.下列说法错误的是（）

A．四棱锥B−A1ACC1为“阳马”

B．四面体A1C1CB为“鳖臑”

C．四棱锥B−A1ACC1体积最大为2

3

D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B

答案：C

分析：由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解.

底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.

所以在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，侧棱AA1⊥平面ABC,

在选项A中，因为AA1⊥BC，AC⊥BC，且AA1∩AC=A，则BC⊥平面AA1C1C，

且AA1C1C为矩形，所以四棱锥B−A1ACC1为“阳马”，故A正确；