频数与频率典型题解析

初中数学中的两个重要概念,它们都能反映每个对象出现的频繁程度,但也存在区别:在同一个问题中,频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据,所有频数之和是实验的总次数;频率反映的是对象出现频繁程度的相对数据,所有频率之和是1.
1.有关频数与频率概念的辨析题.
例1 判断以下说法是否正确,并说明理由:小明和小芳分别在各自班级里竞选班长.小明得了25票,小芳得了23票.可以断言,小明在班内受欢迎的程度比小芳高.
解 不正确.虽然小明比小芳的得票多,但受欢迎程度不依赖于得票出现的频数,而是依赖于得票出现的频率,由于各班总人数没有给出,因此,无法计算出频率.
说明 频数表示的是某一对象出现的次数,而频率则是某一对象的频数与总次数的比值.从本例可知,频率能更好地反映出某一对象出现的频繁程度.
2.有关频数与频率的简单计算题.
例2 在英语单词frequency (频数)和英语词组relative frequency (频率)中,频数最大的各是哪个字母?它们的频数和频率各是多少?
解析 数出各字母在单词或词组中出现的次数即为频数,而字母出现的频率=所有字母的总个数
字母出现的频数.在单词frequency 和词组relative frequency 中,频数最大的字母都是e .在单词frequency 中,e 的频数是2,频率是
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2.在词组relative frequency 中,e 的频数是4,频率是174. 说明 (1)频率是个比值,它可以用小数、百分数、真分数来表示,但当结果不能除尽时,只能选择用真分数来表示.(2)在两组数据中,某两个对象的频数相等,但频率不一定相等,频数大,不一定频率大.在同一组数据中,某两个对象的频数相等,频率也相等;频数大,频率也大.你能举两个具体的例子吗?
3.频数与频率在实际问题中的应用.
例3 学期结束前,班主任想知道同学们对班长一个学期以来的工作表现的满意程度,特向全班40名学生(除班长外)作问卷调查,其结果如下:
(1)请计算每一种反馈意见的频率;
(2)你认为本次调查对班长下学期的连任有影响吗?为什么?
解析(1)非常满意、较满意、基本满意、不满意、非常不满意的频率分别为0.075,0.5,0.3,0.1,0.025; (2)本次调查对班长下学期的连任没有影响.因为对班长一个学期以来工作表现满意的同学占绝大多数,频率是0.85.
说明在下结论时,要根据调查的数据来说话,不能抛弃数据,只顾发表自己的见解,这样只能以偏盖全,最终达不到发现问题、解决问题的目的.本题的解答让我们体会到收集数据的重要性,体会到频数与频率在对数据进行整理、描述和分析中的重要性,让我们体会到“数据也能说话”:班长的工作是负责的,他可以连任.
频数及其分布应用举例
频数、频率、频数分布表与频数分布图有着广泛地应用，下面举例做一下简单的说明．例1李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示：
上表数据显示，李明投中的频数是______；投中的频率是______；张健投中的频数是______，投中的频率是______，两人中投中率更优秀的是______．
分析：本题已经给出数据，根据该数据可以判断两人在投中率上谁更优秀一些．
从频数上看：李明投50个中30个，而张健投40个中25个，还不太容易看出谁的投中率更优秀一些．
从频率上看：李明为30
50
＝60％，而张健为
25
40
＝62.5%，故高于李明．所以张健的投中
率更优秀一些．
解：李明投中的频数是30，频率是30
50
＝60％
张健投中的频数是25，频率是25
40
＝62.5%
所以张健更优秀一些．
小结：频数和频率是统计中两个重要的数字特征，它们反映了各个对象出现的频繁程度．例2已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是（）．
（A）0.10（B）0.12（C）0.15（D）0.18
分析：可由已知条件得到第一组到第四组数据的频率分别为0.25，0.125，0.175，0.15，这六组的频率之和是1，因此，第六组的频率为1－0.25－0.125－0.175－0.15－0.20＝0.10．解：根据上述分析可知，此题应选（A）．
小结：此题利用各组的频率之和等于1这个性质．
例３某班一次数学测验成绩如下：63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77．
大部分同学处于哪个分数段？成绩的整体分布情况怎样？先将成绩按10分的距离分段，统计每个分数段学生出现的频数，填入下表．
根据上表绘制直方图，如下图．
从图中可以清楚地看出79.5分到89.5分这个分数段的学生数最多，90分以上的同学较少，不及格的学生数最少．
点击频数分布中考题
一、图上获取信息
由于落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比为频率，频率能反映各组频数的大小在总数中所占的份量.所以频数分布直方图能直观清楚地反映数据在各个范围内的分布情况，从而更全面、准确、细致地反映事物的属性.
例1.如图，根据频数分布直方图回答问题：
（1）总共统计了多少名学生的心跳情况?
（2）哪些次数段的学生数最多?占多大比例?
（3）如果半分钟心跳次数为x，且30≤x＜39次属
于正常范围，心跳次数属于正常的学生占多大比例?
（4）说说你从频数折线图中获得的信息.
简析：掌握频数分布直方图的特点是解决问题的关键.从统计图中可以获知各组心跳情况的人数及分布情况.（1）总共统计了2+4+7+5+3+1+2+2+1＝27（人）的心跳情况.（2）30≤x＜33这个次数段的学生数最多，约占26%.（3）30≤x＜39次数段的总人数有7+5+3＝15人，15÷27≈56%，故心跳次数属于正常范围的学生约占56%.（4）从折线统计图中可知：折线呈中间高两边低的趋势，就是说心跳正常的人数较多.
二、根据信息画图
例2 .育才中学为了了解本校学生的身体发育情况，对同年龄的40名女生的身高进行了测量，结果如下（数据均为整数，单位：cm）：
168，160，157，161，158，153，158，164，158，163，158，
157，167，154，159，166，159，156，162，158，159，160，
164，164，170，163，162，154，151，146，151，160，165，
158，149，157，162，159，165，157．
请将上述的数据整理后，列出频数分布表，画出频数直方图，并根据所画的直方图说明：大部分同学处于哪个身高段？身高的整体分布情况如何？
分析:由于有40个数据，最小的数据为146cm，最大数据为170cm，其差为24cm，可将数据分成5组，整理数据列出分布表，画出频数直方图，可从总体上把握数据的分布情况。

解 :列频数分布表如下：
身高x（cm）划记频数（学生数）
146≤x<151 2
151≤x<156 正 5
156≤x<161 正正正18
161≤x<166 正正11
166≤x<171 4
画频数直方图如图所示。

观察频数分布直方图可知，大部分学生处于156cm到166cm之间，占抽查人数的72.5%，低于156cm和高于166cm的学生比较少，分别占17.5%和10%。

总结:用频数分布直方图描述数据是处理数据的一种常用方法，将收集的数据转化为直观的直方图需要经过以下几个步骤：
1. 计算最大值与最小值的差，找出数据的变化范围。

首先通过观察，找出数据中最大的数据和最小的数据，并计算最大的数据与最小的数据之间的差值。

2. 决定组距与组数，分组。

根据最大数据与最小数据的差值，决定组距的大小，组距和组数的确定没有固定的标准，一般数据越多，分成的组数就越多，当数据不超过50个，可以分5~7组；当数据在50~100之间时，一般分8~12组。

3. 列频数分布表。

频数分布表一般由三部分组成，一是数据分组，二是划记，三是频数。

4. 画频数分布直方图。

频数分布直方图的横轴由数据组成，纵轴由频数组成。

每个小长方形高表示相应小组内数据的频数。