适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《1集合》

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：课题集合与简易逻辑
教学目的
教学内容
1.知识网络
1、集合
2、简易逻辑
二、命题分析
1．高考对集合的考查主要有两种形式：一种是考查集合的概念、集合之间的关系和运算；另一种是以集合为工具，考查对集合语言、集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合在一起，体现出一种小题目综合化的命题趋势，预计2012年高考仍会采用选择题或填空题的方式进行考查，且难度不大．
2．高考对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面：一是考查对四种命题之间关系的理解；二是考查对充分、必要条件的推理与判断；三是考查常用逻辑联结词及全称命题、特称命题的理解、掌握情况．命题时一般以基本概念为考查对象，综合三角、不等式、函数、数列、立体几何、解析几何中的相关知识进行考查，题型以选择、填空题为主打题型，预计2012年这里出解答题的可能性不大．
三、复习建议
1．重视对概念的理解，提高计算速度，强化书写的规范性，注意解题中Venn图或数轴的应用．提高以集合的概念、关系、运算等为考查对象的题目的得分率．
2．重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、立体几何等各类知识的融汇贯通，可在一轮复习中，循序渐进地提高解这类题目的能力和水平．
3．对于四种命题的复习，要注意结合实际问题，明确等价命题的意义，认真体会其中涉及的化归思想和等价转化思想．
4．全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复习，要遵循新课标及考纲的要求，理解要到位、判断要准确，
A ．M ＝N
B ．M ⊂N
C ．M ⊃N
D ．M ⊆N [分析] 根据集合的表示法可先将集合化简，而后看其关系便可获解． [答案] A
[解析] 由x ＝5－4a ＋a 2
(a ∈R)，
得x ＝(a －2)2
＋1≥1，故M ＝{x |x ≥1}．
由y ＝4a 2＋4a ＋2(a ∈R)，得y ＝(2a ＋1)2
＋1≥1. 故N ＝{y |y ≥1}，故M ＝N .故选A.
[点评] 一般地，对于两个或两个以上集合，要判断它们之间的关系，应先将集合进行化简，弄清每一个集合中的元素的个数或范围，然后判断集合间的关系.
3.命题方向：集合的运算
[例3] (2011·广东中山质检)设集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2
＋2(a ＋1)x ＋(a 2
－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．
[分析] 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，而后根据已知条件求参数． [解析] 由x 2
－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}． (1)∵A ∩B ＝{2}，
∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2
＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3； 当a ＝－1时，B ＝{x |x 2
－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件； 综上，a 的值为－1或－3； (2)对于集合B ，
Δ＝4(a ＋1)2
－4(a 2
－5)＝8(a ＋3)． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，
①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋2＝－2(a ＋1)
1×2＝a 2
－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－
52a 2＝7
，矛盾；
综上，a 的取值范围是a ≤－3.
[点评] (1)在解答过程中易出现求得a 值后不验证是否适合题意或在B ⊆A 中漏掉B ＝∅的情况，导致此种错误的原因是：没有熟练掌握集合的概念或集合与空集之间的关系；
(2)解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类整合、数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解．
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 ． 3．充分条件与必要条件
(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的 ． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的 ．
4．特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论． （三）基础自测
1．(2010·江西文)对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“2ac >2
bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 本题考查了充要条件的判定及不等式的性质，难度不大，2ac >2bc ⇒a >b (已认可2
c >0)成立， 而a >b ⇒2
ac >2bc ，∵c ＝0，不适合，故选B.
2．(2010·天津理)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [答案] B
[解析] “若p 则q ”的否命题为“若¬p 则¬q ”，故选B.
3．(2011·银川模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、
p ：α<β，q ：tan α<tan β.
[解析] (1)若a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |
2＝2＝r ，所以直线与圆相切．反之，若
直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝±2， 故p 是q 的充分不必要条件．
(2)若|x |＝x ，则x 2
＋x ＝x 2
＋|x |≥0成立；
反之，若x 2
＋x ≥0，即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1. 当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ， 因此，p 是q 的充分不必要条件． (3)∵l ∥α⇒ l ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α， ∴p 是q 的必要不充分条件．
(4)∵x ∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2时， 正切函数y ＝tan x 是单调递增的，
∴当α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2，且α<β时，tan α<tan β，反之也成立． ∴p 是q 的充要条件．
[点评] 充分条件与必要条件的判断方法有： 1．利用定义判断
(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；
(6)若p ⇒ q ，且q ⇒ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．利用集合判断
记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A ⊂B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；。