理论力学知识点总结

第二类问题的解题方法是：首先假定物体平衡，对物体物理分析和画出物 体的受力图，用平衡方程求出物体所受的静摩擦力Fs，静摩擦力的方向若不 确定，可假设，若求得Fs是正值，表明假设方向正确，反之，若求得Fs是负 值，表明假设方向错误；接着假定物体处于临界状态，用公式Fmax=fs·FN求出 物体的最大静摩擦力Fmax；最后，将Fs与Fmax比较，来判断物体的运动状态: （1）若Fs＜Fmax,则物体处于静止（平衡）状态； （2）若Fs=Fmax，则物体处于临界状态； （3）若Fs＞Fmax，则物体处于滑动状态。
十一、 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦的系统平衡问题的特点
1. 平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知 数增多。
2. 除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 Fs≤fsFN 。 3. 为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程Fmax = fsFN 。
常见的问题有
● 检验物体是否平衡； ● 临界平衡问题； ● 求平衡范围问题。
• 当拿到一道计算力对轴之矩的题目时,首先观察一下力F 与Z 轴的空间位置,一般有三种情况:
第一种情况:若力F与Z轴平行或相交，则MZ(F )=0; 第二种情况:若力F与Z轴垂直,可根据定义来计算，即通过力F作
一个平面垂直于Z轴，那么力F在该平面上的投影就是它自己， 即F=Fxy，Z轴与该平面的交点为O点，且O点到F=Fxy作用线 的距离d为已知,则MZ(F)=Mo(F)=Mo (Fxy)=±Fd。 第三种情况:若力F与Z轴既不相交、也不平行、也不垂直，此时 可把力F分解为三个分力Fx、Fy、Fz，再运用合力矩定理来 算，即：MZ（F）=MZ（ Fx）+MZ（ Fy）+MZ（ Fz）。
下面给出具体的方法。
方法（分三种情况）： （1）取整个物体系统，若上面的反力能全部解出，就直接 求解反力，不要拆开。 （2）若取整个物体系统，若上面的反力不能全部解出，就 把物体系统拆开（从约束处拆），取已知力作用的物体为对 象，若该对象上的反力能全部解出就直接求解，然后再考虑 其它物体，按照同样的思路，一直到把物体系统上的反力全 部解出为止。注意：若取研究对象上的反力不能全部解出， 则再考虑其它已知力作用的物体为对象进行分析。 （3）若取整个物体系统或取部分为对象，上面的反力均不 能全部解出，这时就找求1～2个反力的突破口（例如，找两 个未知力作用线的交点为矩心，利用力矩平衡方程求出1～2 个反力），当1～2个反力解出后，则物体系统的反力就可全 部解出。
整体平衡； （4）作用力与反作用力是一对同性质的力，即要不是一对拉力 要不是一对压力。
三、平面力系的平衡方程
1、平面汇交力系
Fx 0 Fy 0
2、平面力偶系
Mi 0
列平面力系平衡方程要用到的力偶的两 条性质： 力偶在任意坐标轴上的投影的代数和等 于零；力偶对其所在平面内任一点的矩 恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
vx
dx dt
vy
பைடு நூலகம்
dy dt
vz
dz dt
速度大小
v
vx2
v
2 y
vz2
速度的方向由其方向余弦确定
cos(v, i )
vx
v
c os (v ,
j)
vy
v
cos(v, k )
vz
v
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
加速度大小
a ax2 ay2 az2
【例】结构上作用载荷分布如图，q1＝3 kN/m，q2＝0.5 kN/m，力 偶矩M＝2 kNm，试求固定端A与支座B的约束反力和铰链C的内力。
【例】组合梁受荷载M、qm、q、P，尺寸如图所示，试分析求 A、B、C支座反力的解题思路。
M
a qm A a
q B
a
a
P
θ
C
α
a
六、空间力的投影计算的两种方法
值得注意得是，此时三个分力Fx、Fy、Fz与Z轴的空间 位置不是相交、就是平行或者垂直，可见又回到第一、 第二种情况，这时可按第一、第二种情况分别算之，然 后代入上式即可。最后要说明得是：上述计算空间力对 轴之矩的方法适用于动力学中动量矩的计算。
八、空间力偶矢量方法：用右手法则表示，即首 先任作一 法线垂直于力偶作用面，该法线的方位就表 示力偶矩矢的方位，然后沿着这条法线按一定比例尺 取一段长度表示力偶矩的大小，力偶矩矢的指向可按 右手法则确定，即以右手握住这条法线，四个手指表 示力偶矩的转向，大拇指向表示力偶矩矢的指向。
轴在轴承孔内，轴为非自由体、 轴承孔为约束．
z
A
x
（2）光滑圆柱铰链
FAz
yA
FAx
（3） 固定铰支座
4、其它类型约束 （1）可动铰支座（滚轴支座）
(2) 球铰链 （3）止推轴承
（4）链杆约束
F
B
FB
二力杆
A
FA
约束力的方向：沿着链杆中心线，指向可以假定。
二力杆（或二力构件）：仅受二力作用而 处于平衡的杆；二力杆不一定是直杆，也 可以是曲杆，但杆两端的两个力一定是沿 杆两端连成直线的平衡力。
二力构件
（5）平面固定端支座
A
B
M A AFAy
B
FAx
（6）蝶铰链
z
E A
D
x
FBz B y
FBx C
（7）空间固定端支座
二、画受力图步骤 1、取所要研究物体为研究对象（分离体），画出其简图； 2、画出所有主动力； 3、按约束性质画出所有约束力。
画受力图注意： （1）若物体有三力作用，则要考虑三力汇交； （2）二力杆受力图先画； （3）画整体受力图时，系统内部的内力不要画，因为它不影响
（2）积分法—形状不规则的物体或图形 用确定物体重心的积分公式来确定物体重心的方法。
（3）分割法（负体积或负面积法）—组合物体或组合图形
求图示平面图形的重心。
xC
xC1A1 xC1A1 xC1A1 A1 A2 A3
xCi Ai Ai
yC
yC1A1 yC1A1 yC1A1 A1 A2 A3
an
a
加速度（全加速度）
M
a
a
a2 an2 ,
α arctg | a | an
加速度（全加速度）在M点的密切面内。
加速度的方向由其方向余弦确定
cos(a, i )
ax
a
c os (a ,
j)
ay
a
c os (a ,
k)
az
a
2、自然法 运动方程
S f (t)
速度
任 一M点 速 度 大 小 ： v ds
dt M点 速 度 方 向: 当 ds 0,则M点 速 度 方 向 沿 弧 坐 标 切线 正 向 ；
【例】分析（解题思路）：如何求力 P 在三轴上的投影和对三 轴的矩。
z
c
P
a
x
b
y
十、空间力系的平衡方程
1、空间汇交力系
F F
x y
0 0
Fz 0
空间力偶系
M M
x y
0 0
M z 0
利用空间力偶系平衡方程求反力的解题方法 （1）将物体上的空间力偶矩用右手法则表示为矢 量； （2）画出物体的受力图，其中反力的方位、方向 可根据空间力偶的性质，即力偶只能和力偶平衡 来确定； （3）建立空间直角坐标系，列出空间力偶系的平 衡方程；考虑求反力的思路，最后把反力求出来。
九、空间力偶矩在某轴上的投影或空间力偶矩对某轴之 矩的计算方法： （1）将空间力偶矩用右手法则表示为矢量； （2）将该矢量向某轴投影，即得到空间力偶矩在某轴上 的投影或空间力偶矩对某轴之矩。
注意：此方法在列空间力偶系或空间任意力系的平衡方 程中经常要用到，下一学期学《材料力学》课程扭转这 一章中也要用到。
3、空间平行力系
4、空间任意力系
F 0 x
F 0
y
F 0
z
M 0 x
M 0
y
M z 0
M M
i l
0, M 0, M
j m
0, M 0, M
k n
0; 0.
F z
M
0 0
x
M y 0
利用空间力系平衡方程求反力的方法是： 先列平衡方程，然后才考虑解题思路。
1、一次投影法（直接投影法）
X F cosα, Y F cos β, Z F cos γ
应用此法必须注意：如果投影轴不通过力矢的始端，则可以 过该力矢始端作出与该投影轴平行并且正向相同的轴，根据 同一个力在所有互相平行且正向相同的轴上的投影都相等，
再按一次投影法计算该力的投影。注意力的投影用Fx 、Fy、 Fz或X、Y、Z表示。
yCi Ai Ai
（3）负面积法
xC
xC1 A1 xC1 A1 xC1 A1 A1 A2 A3
yC
yC1 A1 yC1A1 yC1 A1 A1 A2 A3
【例】分析（解题思路）：
y
图示截面重心如何确定。
20mm
o
x
40mm 50mm
运动学
一、点的运动学
1、直角坐标法
x x(t) y y(t) z z(t)
矩形均布载荷：
Fq ql
三角形分布载荷：
Fq
1 2
ql
注意：列平衡方程前，一定要把分布荷载先化成合力。
五、求物体系统反力的方法（或思路）
当判定物体系统平衡问题是静定问题时，要求物 体系统的未知量，这时，一定要先考虑解题思路，然 后再列平衡方程求未知量。例如可选整个系统为研究 对象，列出部分平衡方程，求出部分未知量，然后再 从系统中选某一物体为研究对象，列出另外的平衡的 方程，求其余未知量，一直这样分析下去，直到所有 未知量全部求出为止。当然，同一个题目的解题思路、 方法可能不止一种，可以多考虑几种解题思路、方法 进行比较，找出一种求物体系统未知量的最简捷的方 法。
2、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即
Fxy F cosθ X Fxy cos φ F cosθ cos φ Y Fxy sin φ F cosθ sin φ
Z F sin θ
七、计算空间力对轴之矩的方法
3、平面平行力系
基本形式
F y
0
二力矩形式
M A 0
M M
A B
0 0
AB两点连线不得与各力平行（或
x轴不垂直AB连线）
4、平面任意力系
基本形式
Fx Fy
0 0
MO 0
二力矩式
F x
0
M A 0
M B 0
其中投影轴x不垂直AB连线
三力矩式
M A 0 M B 0 M C 0
几种情况： （1）物体的尖端与光滑表面接触，其约束反力沿约束表面的法线 方向。
（2）物体的光滑表面与尖端约束接触，其约束反力沿物体表面的 法线方向。
2、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束
柔索只能受拉力，又称张力.用 F表T示．
3 、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支 座等）
（1） 径向轴承（向心轴承） 概念：轴穿入光滑圆柱形圆孔则构成径向轴承。
dt 当 ds 0,则M点 速 度 方 向 沿 弧 坐 标 切线 负 向 。
dt
加速度
切向加速度 大小：
aτ
dv dt
d 2s dt 2
方向：M点的切线。 dv 0 指向M点弧坐标正向；反之， dt
dv 0 dt
指向M点弧坐标负向。
M
a
法向加速度
大小：
an
v2 ρ
方向：在密切面内，沿主法线，指向曲率 中心。
考虑摩擦时物体的平衡问题题型大致可分为两类：一是物体在主动力作 用下平衡，求平衡范围问题（包括求极限平衡问题）；二是物体在主动力作 用下，判断物体的运动状态。
第一类问题的解题方法是：首先取研究对象进行物理分析与受力分析，物
理分析就是确定摩擦力的方位和指向，受力分析就是画受力图，受力图上包 括主动力、反力和摩擦力；接着列方程，除了列出与力系相应的平衡方程外， 还需列出相应数目的补充方程，即Fs=fs·FN；最后解方程，即将平衡方程与补 充方程联立求解。（注意：解此类问题是先列方程，然后考虑求解未知量的 思路）
【例】分析如下问题（解题思路）：重W的方块放在水平面 上，并有一水平力P作用。设方块底面的长度为b, P与底面的 距离为a，接触面间的摩擦系数为f ，问当P逐渐增大时，方 块先行滑动还是先行翻倒？并求方块平衡时的最大拉力。
WP
a
b
十二 、求均质物体的重心（形心）的方法
（1）对称性法—形状规则的物体或图形 重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心上。
其中A、B、C三点不得在一条直线上
四、线分布荷载的合力
合力：
Fq
bqx d x
a
作用点：
bqxdx x
xc a Fq
b
a
xqx
dx
abqxdx
结论： 线分布载荷的合力的大小等于载荷图的
面积，合力作用线通过载荷图的形心（重心）。
上述求平行线分布荷载的合力的简便方法称为
荷载图面积法，在以后的章节和材料力学、以 及专业课中经常要用到。