结构动力学能量法

结构动力学能量法
势能：设位移函数。

局限性，不能同时考虑多种函数，频率偏高，动位移精度好，动内力
精度低。

考虑梁的轴向、弯曲、剪切和扭转变形的应变能：
（1）或者：
（2）动能：
（3）
（4）
（5）
根据能量守恒，即最大动能等于最大势能，可以求出结构的频率。

若只考虑弯曲变形，梁的频率为：
（6）
如果还有集中质量则，
（7）
式中的y 为位移函数，只要满足位移边界条件即可。

以上两式也叫瑞雷商。

从式（7）还可以推导出：
（8）
（9）应用：如图，
其周期：
例题：两边简支的梁，取
取
余能：保持势能的优点，只设一个位移函数，可以推广到板壳及有限元中，计算频率精度特高，接近实际频率，动位移差，动内力精度高。

1、弯曲梁动力计算的最小余能公式
∑
⎰∙
-
+
+
=
∏R
u
dx
EA
x
N
GA
x
Q
EJ
x
M
l
)
2
)
(
2
)
(
2
)
(
(
2
2
2
μ
（1）式中：最后一项为支座沉陷的余能。

结构运动方程：
)
(
)
(
])
(
[
1
2=
''
+
-''
''x
y
N
x
y
m
x
y
EJω（2）该方程比静力问题多了)
(
2x
y
mω
-这一项，可以把它比拟成弹性地基上的梁。

0)()(])([1=''++''''x y N x ky x y EJ （3）
该简支梁弯曲变形余能为：
12
1212/0
2)22(212k x
dx x x x P EJ l +-=∏⎰ （4）
如果梁是放在弹性系数为k 的地基上时，其弹簧的余能为：
dx k x ky l
⎰0
2
2)]([ dx m x y m EJ x M l
)2)]([2)((2
2
20
2ωω-=∏⎰ （5） 其中M （x ）为假想惯性力引起的弯矩函数。

考虑剪切变形影响时式（5）可以改写成：
dx m x y m GA x Q EJ x M l
)2)]([2)(2)((2
2
220
2ωωμ-+=∏⎰ （6）
设 l
x
a x y πsin
)(= （7）
则假想惯性力为：)()(2
x y mw x q = （8）
⎪⎭
⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂)()
()()(x Q x x M x q x
x Q （9） 可以得到：
⎪
⎭
⎪⎬⎫
+=+=l x a N l x l a m x M l x l
a
N l
x
l
a
m x Q πππωππ
ππ
ωsin sin }()(cos
cos
)(122
12 （10）
将式（10）代入（6）得到
GAl
a N l a EJ N l a m GA N l a m EJ N m l
a m l a m l GA l a m l EJ l μπωμπωωωωπμωπ24222]
2[2)(212)(222122
12
2123221224224222424++++-+=∏ （11）
式（11）对a m 2
ω取导数：
02222121)(12312
2324
52=+++A +=∂∏∂al GA
N a
l EJ N al a m l G a m l EJ a m μπωπμωπω (12)
得到
2
2
441221234512312
122222πμπμππμπμπωl
GA m l EJ m GA N l EJ N l GA m l EJ m GA l N l EJ N l +
--=+--= （13） 式中：分母第一项为弯曲变形ω
2
b
的倒数，第二项为剪切变形ω
2s
令01=N 时可以得到：
ω
ωω
22
2
1
1
1
s
b
+=
（14）
如果将常轴力1N 由压力变为拉力，式（11）变为：
GAl
a N l a EJ N l a m GA N l a m EJ N m l
a m l a m l GA l a m l EJ l μπωμπωωωωπμωπ24222]
2[2)(212)(222122
12
2123221224224222424-----+=∏ （15）
对a N 1取导数，得到
2
212
m l N πω= （16）
此为弦横向振动的基频。

若令式（13）中的02
=ω，则可求得：GA
l EJ N μπ1
1122
1-
=
（17）
强迫振动的余能方法：
t l
x
a t x y θπsin sin
),(= （18）
均布荷载引起的弯矩和剪力：
⎪
⎭⎪⎬⎫-=-=
)(2
)()(2
)(x l q
x Q x x l q x M q q （19） 于是式（10）变成：
⎪
⎭
⎪
⎬⎫-++=-+
+=x x l q
l x a N l x l a m x M x l q l x
l a
N l x l a
m x Q )(2sin sin }()()(2cos
cos
)(12212πππθππππθ （20） 3
232
2522122
12
2123
221224224222424*2129.024222]
2[2)(212)(2πμθπ
θμπθμπθθθθπμθπGA m a ql EJ a qm l GAl a N l a EJ N l a m GA N l a m EJ N m l
a m l a m l GA l a m l EJ l ++++++-+=∏ （21） 0
22129.02222121)(3
3
25
12312
232452*=++
++-A +=∂∏∂πμπμπθπμθπθGA ql
EJ q l al
GA N a l EJ N al a m l G a m l EJ a m （22）
求得a 为：
)
1)(1(4129.022
12213
2
24ω
θμππμπ---+
=
GA N l EJ N GA ql EJ q l a （23）
其中：2
2
4
41
2212
1πμπμπωl GA m l EJ m GA N l EJ N +-
-=
（24） EJ
ql EJ q l 3845129.0424≈π 弯曲变形梁中点得位移
GA
ql GA ql μπμ842
32≈
剪切变形梁中点的位移。