(完整)初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)(2)

初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想数形结合思想转化思想
本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题
例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC ＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC 上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
思路点拨
1．第（2）题BP＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．解答：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以
315
tan5
44
ED CD C
=⋅∠=⨯=，
25
4
EC=．
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．
所以
4
3
PM DM
QN DN
==．所以
3
4
QN PM
=，
4
3
PM QN
=．
图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．
此时
33
44
QN PM
==．所以
319
4
44
CQ CN QN
=+=+=．
②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
此时31544QN PM =
=．所以1531444
CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3
tan 4
QD DN QPD PD DM ∠===．
在Rt △ABC 中，3
tan 4
BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．
由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．
当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．
①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN =
=．所以45
333
BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CH
C CQ =
，可得5425258
CQ =÷=． 所以QN ＝CN －CQ ＝257
488
-=（如图2所示）
． 此时4736PM QN =
=．所以725
366
BP BM PM =+=+=
． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．
图5 图6
考点伸展：如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256
BP =
． 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线43
4
+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式；
② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不
存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
图1
思路点拨：
1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点． 2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．
3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．
4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 解答：
（1）直线43
4
+-
=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5． 因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．
在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =
，所以45
NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时
211424
(2)22555
S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．
如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时
211424
(2)22555
S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．
图2 图3
②把S ＝4代入22455S t t =
-，得224
455
t t -=． 解得1211t =，2211t =．
因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t = ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3
cos 5
B =
，
所以53
5
t
t
-
=．解得
25
8
t=．
如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，5
t=．不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，当
25
8
t=或者5
t=时，△MON为直角三角形．
图4 图5
考点伸展：在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
图6 图7
三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题
例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2
思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．
2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，
DO与DM、DO与DN为邻边．
解答：(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．
(2) 因为OE＝2EB，所以
2
2
3
E B
x x
==，
2
4
3
E B
y y
==，E(2,4)．
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得
5,
2 4.
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1
2
k=-，5
b=．所
以直线DE的解析式为
1
5
2
y x
=-+．
(3) 由
1
5
2
y x
=-+，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝55．
①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M
的坐标为(5,5
2
)，点N的坐标为(－5,
5
2
)．
②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．
③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．
由△NPO∽△DOF，得NP PO NO
DO OF DF
==，即
51055
NP PO
==．解得5
NP=，
25
PO=．此时点N的坐标为(25,5)
-．
图3 图4
考点伸展
如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．
图5 图6
四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题
例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG 相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．
解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；
（2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有，即，解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，则有，即，解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．
（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t=；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，
由勾股定理得：ON 2+EN 2=OE 2，即：62+（5﹣t ）2=（10﹣t ）2解得：t =3.9．∵≠3.9，∴不存在实
数t ，使得点B ′与点O 重合．
考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在． 拓展练习：
1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

当t= 时，四边形是平行四边形； 当t= 时，四边形是等腰梯形.
（1题图） 备用图
2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 。

（2题图） （3题图）
3、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°
，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．
（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；
②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．
4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1
的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90
AEF
∠=o，且EF交正方形外角DCG
∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF
△≌△，所以AE EF
=．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.
求（1）△PAB为等腰三角形的t值；（2）△PAB为直角三角形的t值；
（3）若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值。

7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC
∥，E是AB的中点，过点E作EF BC
∥交CD于点F．46
AB BC
==
，，60
B=︒
∠.求：（1）求点E到BC的距离；
C
B
E
D
图1
N
M
A B
C
D
E
M
N
图2
A
C
B
E
D
N
M
图3
（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线
ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发
生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由
8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．
(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与
CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿
ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？
A D E B
F C
图4（备用）
A
D E
B
F C
图5（备用）
A D E B
F C
图1 图2
A D E B
F C P
N
M
图3
A D E
B
F C P
N M （第25题）
（8题图）（9题图）9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）求t=1时FC的长度．
（2）求MN=PF时t的值．
（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．
参考答案：
1、解：：（1）要使四边形PQCD 为平行四边形，则PD=CQ ，∵AD=18cm ，即18-t=2t ，解得：t=6； （2）设经过ts ，四边形PQCD 是等腰梯形．过Q 点作QE ⊥AD ，过D 点作DF ⊥BC ，∵四边形PQCD 是等腰梯形，∴PQ=DC ．又∵AD ∥BC ，∠B=90°，∴AB=EQ=DF ．∴△EQP ≌△FDC ．
∴FC=EP=BC-AD=21-18=3．又∵AE=BQ=21-2t ，EP=t-AE ，∴EP=AP-AE=t-（21-2t ）=3．得：t=8． ∴经过8s ，四边形PQCD 是等腰梯形． 2、5；3、解：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300.
∴AB =4,AC
∴AO =12AC
.在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.
∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形，
∴四边形EDBC 是菱形 4、解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB
② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE
(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD. 5、解：（1）正确．
证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，
135AME ∴∠=°．CF
Q 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=Q °，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．
证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ． BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．Q 四边形ABCD 是正方形，
AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴
△≌△（ASA ）．AE EF ∴=．
6、解：解：（1）作AE ⊥BM 于E 。

则AE=3，∵AB=5，∴BE=√（AB²-AE²）=4 MP=t, BP=9-t ①若AP=AB,∴9-t=2×4∴t=1
②若PA=PB ，∴BP/(1/2AB)=AB/BP ∴（9-t)²=1/2*5*5∴t=9-√5/2(9+√5/2舍去） ③若BA=BP ，∴|9-t|=5∴t=4 、14 ∴综上，t=1、4、9-√5/2、14 （2）①若∠APB=90°∴9-t=4∴t=5
②若∠PAB=90°∴BP/BA=BA/BE ∴(9-t)/5=5/4∴t=11/4 ∴综上，t=5、11/4。

7、解：（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ∵E 为AB 的中点， ∴
1
22BE AB =
=．
在Rt EBG △中，60B =︒∠， ∴30BEG =︒∠． ∴221
12132BG BE EG =
==-=，．
即点E 到BC 3．
（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．
∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥， ∴EP GM =，3PM EG ==． 同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴13
22
PH PM =
= ∴3cos302MH PM =︒=g ． 则35
422
NH MN MH =-=-=．
在Rt PNH △中，2
2
2253722PN NH PH ⎛⎫
⎛⎫=
+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ∴PMN △的周长=374PM PN MN ++=．
②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．
当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．
类似①，3
2MR =
．
∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==． 此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．
图1
A D E
B
F C
G
图2
A D E B
F
C
P
N
M
G H
当MP MN =时，如图4，这时3MC MN MP ===． 此时，
61353x EP GM ===-=． 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，
又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=g ． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(53-时，PMN △为等腰三角形． 8、解：解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵
P Q
v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则
45BP PC CQ BD ====，，
∴点P ，点Q 运动的时间
4
33BP t =
=秒， ∴
515
443Q CQ v t
=
==厘米/秒。

（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得153210
4x x =+⨯，解得80
3x =秒． ∴点P 共运动了80
3803⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过80
3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．
9、解：（1）证明：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°，∠BAE +∠EAC =60°，∠F AC +∠EAC =60°，∴∠BAE =∠F AC 。

∵∠BAD =120°，∴∠ABF =60°。

∴△ABC 和△ACD 为等边
A
Q
D
B
三角形。

∴∠ACF =60°，AC =AB 。

∴∠ABE =∠AFC 。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE =∠F AC ，AB =AC ，∠ABE =∠AFC ，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。

∴BE =CF 。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。

理由如下：由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF 。

∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。

作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，22AECF ABC 1
1S S BC AH BC AB BH 4322
∆==⋅⋅=⋅-=四形边。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，
又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣
S △AEF ()()
22
1
432323332
=-⋅⋅
-=。

∴△CEF 的面积的最大值是3。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

【分析】（1）先求证AB =AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠ACF =60°，AC =AB ，从而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE =CF 。

（2）由△ABE ≌△ACF
可得
S △ABE =S △ACF ，故根据
S
四
边
形
AEC F =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △AB E =S △ABC 即可得四边形AECF 的面积是定值。

当正三角形AEF 的边AE
与BC 垂直时，边AE 最短．△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，根据S △CEF =S 四边形AECF －S △AEF ，则△CEF 的面积就会最大。

10、 考点： 相似形综合题． 分析： （1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t ，再将t=1代入求出FC 的长度；
（2）根据MN=PF ，可得关于t 的方程6﹣t=2t ，解方程即可求解；
（3）分三种情况：求出当1≤t ≤2时；当2＜t ≤时；当＜t ≤3时；求出重叠（阴影）部分图形面积S 与t 的函数关系式；
（4）分M 在OE 上；N 在PF 上两种情况讨论求得△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值． 解答： 解：（1）根据题意，△AOB 、△AEP 都是等腰直角三角形．
∵，OF=EP=t ，
∴当t=1时，FC=1；
（2）∵AP=t，AE=t，PF=OE=6﹣t
MN=QC=2t
∴6﹣t=2t
解得t=2．
故当t=2时，MN=PF；
（3）当1≤t≤2时，S=2t2﹣4t+2；
当2＜t≤时，S=﹣t2+30t﹣32；
当＜t≤3时，S=﹣2t2+6t；
（4）△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度．。